In den mathematischen Gebieten der Gruppentheorie und linearen Algebra bezeichnet die Tits-Alternative eine Eigenschaft von Matrixgruppen, nämlich entweder fast-auflösbar zu sein oder eine nichtabelsche freie Untergruppe zu enthalten. Sie ist benannt nach dem belgisch-französischen Mathematiker Jacques Tits.

Tits-Alternative

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Es sei   ein beliebiger Körper und   die allgemeine lineare Gruppe, d. h. die Gruppe der invertierbaren Matrizen mit Einträgen aus dem Körper  .

Dann trifft für jede endlich erzeugte Untergruppe   genau eine der beiden folgenden Alternativen zu:

  •   ist fast-auflösbar, d. h., es enthält eine auflösbare Untergruppe von endlichem Index, oder
  •   enthält eine freie Untergruppe   vom Rang  .

Die beiden Möglichkeiten schließen sich gegenseitig aus.

Dieser Satz wurde von Bass und Serre vermutet und 1972 von Jacques Tits bewiesen. Ein wesentliches Ingredient im Beweis war das Ping-Pong-Lemma.

Allgemein spricht man davon, dass eine Klasse von Gruppen die Tits-Alternative erfüllt, wenn alle Gruppen aus dieser Klasse entweder fast-auflösbar sind oder eine freie Untergruppe vom Rang   enthalten.

Beispiele

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Die Tits-Alternative gilt für zahlreiche Klassen von Gruppen, darunter die folgenden:

Gegenbeispiele

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Eine Gruppe, für die die Tits-Alternative nicht gilt, muss entweder

oder aber

  • nicht mittelbar sein, aber keine freie Untergruppe vom Rang   enthalten.

Gruppen mit einer dieser beiden Eigenschaften sind schwer zu konstruieren und gelten als exotisch. Man kennt inzwischen aber eine Reihe von Beispielen:

Es gibt endlich erzeugte auflösbare Gruppen, deren Automorphismengruppen nicht der Tits-Alternative genügen.[8]

Literatur

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Tits, J.: "Free subgroups in linear groups". Journal of Algebra 20 (2), 250–270 (1972). online (pdf)

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Tointon: The Tits Alternative, Archivlink abgerufen am 27. Februar 2022

Einzelnachweise

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  1. Gromov,M.: Hyperbolic groups. Essays in group theory, Publ., Math. Sci. Res. Inst. 8, 75-263 (1987).
  2. Ivanov, N.V.: Algebraic properties of the Teichmüller modular group. Sov. Math., Dokl. 29, 288-291 (1984); McCarthy, John: A “Tits-alternative” for subgroups of surface mapping class groups. Trans. Am. Math. Soc. 291, 583-612 (1985).
  3. Bestvina, Mladen; Feighn, Mark; Handel, Michael: The Tits alternative for Out(Fn). I: Dynamics of exponentially-growing automorphisms. Ann. Math. (2) 151, No. 2, 517-623 (2000). The Tits alternative for Out(Fn). II: A Kolchin type theorem. Ann. Math. (2) 161, No. 1, 1-59 (2005).
  4. Sageev, Michah; Wise, Daniel T.: The Tits alternative for CAT(0) cubical complexes. Bull. Lond. Math. Soc. 37, No. 5, 706-710 (2005).
  5. Lamy, Stéphane: The Tits alternative for Aut[ℂ2]. (L’alternative de Tits pour Aut[ℂ2].) J. Algebra 239, No. 2, 413-437 (2001).
  6. Oguiso, Keiji: Tits alternative in hyper-Kähler manifolds. Math. Res. Lett. 13, No. 2-3, 307-316 (2006).
  7. Cantat, Serge: Sur les groupes de transformations birationnelles des surfaces. Ann. Math. (2) 174, No. 1, 299-340 (2011).
  8. Hartley, Brian: A conjecture of Bachmuth and Mochizuki on automorphisms of soluble groups. Can. J. Math. 28, 1302-1310 (1976).