Topologische Komplexität

In der Mathematik ist die topologische Komplexität $\operatorname {TC} (X)$ (TC für eng. topological complexity) eines topologischen Raumes $X$ eine topologische Invariante, die von Michael Farber im Jahr 2003 eingeführt wurde.

Definition

Sei $X$ ein topologischer Raum und $PX=C([0,1],X)$ der Wegraum von $X$, also der Raum aller stetigen Wege in $X$. Es gibt eine stetige Projektion $\pi :PX\to \,X\times X$ durch $\pi (\gamma )=(\gamma (0),\gamma (1))$. Die topologische Komplexität ist die kleinste Nummer $n$, sodass:

• eine offene Überdeckung $(U_{i})_{i=1}^{k}$von $X\times X$ existiert,
• für jedes $i=1,\ldots ,k$ ein lokaler Schnitt $s_{i}\colon U_{i}\rightarrow PX$ existiert, also eine stetige Abbildung mit $\pi \circ s_{i}=\operatorname {id} _{U_{i}}$.

Lemmata

• Ein topologischer Raum $X$ ist genau dann zusammenziehbar, wenn $\operatorname {TC} (X)=1$.
• Die topologische Komplexität hängt mit der Lusternik–Schnirelmann-Kategorie zusammen über:

  $\operatorname {cat} (X)\leq \operatorname {TC} (X)\leq 2\operatorname {cat} (X)-1$

• Für wegzusammenhängende metrische Räume gilt:

  $\operatorname {TC} (X\times Y)\leq \operatorname {TC} (X)+\operatorname {TC} (Y)+1$

Beispiele

• Für die topologische Komplexität der Sphäre $S^{n}$ gilt:

  $\operatorname {TC} (S^{n})={\begin{cases}2&{\text{für }}n{\text{ ungerade}}\\3&{\text{für }}n{\text{ gerade}}\end{cases}}$

• Für die topologische Komplexität des $n$-fachen Produktes von $m$-Sphären gilt:

  $\operatorname {TC} ((S^{m})^{n})={\begin{cases}n+1&{\text{für }}m{\text{ ungerade}}\\2n+1&{\text{für }}m{\text{ gerade}}\end{cases}}$

• Insbesondere folgt mit $m=1$ der Spezialfall $\operatorname {TC} (T^{n})=n+1$ für die topologische Komplexität der Tori.
• Für die topologische Komplexität der Σ-Flächen gilt:

  $\operatorname {TC} (\Sigma _{g})={\begin{cases}3&;g\leq 1\\5&;g>1\end{cases}}$

• Es gilt $\operatorname {TC} (\mathbb {R} P^{2})=3$, $\operatorname {TC} (\mathbb {C} P^{2})=\operatorname {TC} ({\overline {\mathbb {C} P^{2}}})=4$ und $\operatorname {TC} (S^{2}\times S^{2})=4$.
• Ist $\operatorname {Conf} (\mathbb {R} ^{m},n)$ der Konfigurationsraum von $n$ getrennten Punkten im $m$-dimensionalen euklidischen Raum, dann ist:

  $\operatorname {TC} (\operatorname {Conf} (\mathbb {R} ^{m},n))={\begin{cases}2n-1&{\text{für }}m{\text{ ungerade}}\\2n-2&{\text{für }}m{\text{ gerade}}\end{cases}}$

• Die topologische Komplexität der Kleinschen Flasche ist 5.

Weblinks

• Topologische Komplexität auf nLab (englisch)