Torus-Satz von Alexander

Im mathematischen Teilgebiet der Topologie ist der Torus-Satz von Alexander ein Lehrsatz über verknotete Tori in der 3-dimensionalen Sphäre $S^{3}$.

Satz von Alexander

Der Torus-Satz von Alexander besagt: Jeder differenzierbar eingebettete Torus

$T^{2}\subset S^{3}$

berandet einen in der $S^{3}$ eingebetteten Volltorus.

Historische Anmerkung: Alexander bewies diesen Satz ursprünglich nicht für differenzierbare, sondern für PL-Einbettungen.

Verallgemeinerungen

Der Satz von Alexander gilt analog auch in höheren Dimensionen:

Sei

$f\colon S^{p}\times S^{q}\to S^{p+q+1}$

eine differenzierbare Einbettung mit $p,q\geq 1$. Wenn entweder $1\leq p\leq q$ und $p+q\not =3$ oder $p=1$ und $q=2$ gilt, dann ist der Abschluss einer der beiden Komponenten von

$S^{p+q+1}\setminus f(S^{p}\times S^{q})$

diffeomeorph zu $D^{p+1}\times S^{q}$.

Dagegen gibt es differenzierbar eingebettete 3-Tori $T^{3}\subset S^{4}$, die keine zu $D^{2}\times T^{2}$ homöomorphe Untermannigfaltigkeit beranden.