Transitive Hülle (Menge)

Die transitive Hülle einer Menge $X$ (oft mit $TC(X)$ für transitive closure bezeichnet) ist die kleinste Obermenge von $X$ , die transitiv ist. Die Existenz und Eindeutigkeit lassen sich in ZF (das Auswahlaxiom ist dafür nicht notwendig) beweisen. Maßgeblich gehen dabei das Ersetzungsschema und Unendlichkeitsaxiom ein. Da $TC(X)$ die kleinste transitive Obermenge von $X$ ist, gilt $TC(X)=X$ genau dann, wenn $X$ transitiv ist.

Konstruktion

Durch Induktion über $\mathbb {N}$ lässt sich zeigen, dass für jede Menge $X$ eine Funktion $f_{X}$ ^[1] mit $\operatorname {dom} (f_{X})=\mathbb {N} _{0}$ existiert, die

$f_{X}(0)=X$
$\forall n\in \mathbb {N} _{0}:f_{X}(n+1)=\bigcup f_{X}(n)$

erfüllt. Das Ersetzungsschema sichert nun die Existenz der Menge

M_{X}:=\{f_{X}(n)|n\in \mathbb {N} _{0}\}

^[1]

und aufgrund des Vereinigungsaxioms^{[A 1]} existiert

\bigcup M_{X}

,

welchem man schnell die von $TC(X)$ geforderten Eigenschaften nachweist. Es gilt also

TC(X)=\bigcup _{n\in \mathbb {N} _{0}}f_{X}(n)

.

Bemerkungen

Es wird hier eine iterierte Mengenvereinigung definiert, nämlich

f_{X}(n)={\bigcup }^{n}X

, speziell

X=\{x|x\in X\},\ \;\bigcup X=\{x|(\exists y\in X)x\in y\}

.

Fasst man die Element-Relation $\in$ als homogene Relation auf, dann steht auf der rechten Seite gerade die n-fache Verkettung von $\in$ mit sich selbst, also deren n. Potenz ${\in }^{n}$ (siehe Relation §Homogene Relationen: Potenzen). Damit kann weiter vereinfacht werden zu

f_{X}(n)={\bigcup }^{n}X=\{x|x{\in }^{n+1}X\}

, sowie

M_{X}=\{{\bigcup }^{n}X|n\in \mathbb {N} _{0}\}=\{X,\bigcup X,\bigcup \bigcup X,\bigcup \bigcup \bigcup X,\bigcup \bigcup \bigcup \bigcup X,\ldots \}

.

Die transitive Hülle wird dann zu

TC(X)=\bigcup M_{X}=\bigcup _{n=1}^{\infty }\{x|x\in ^{n}X\}=\bigcup _{n=0}^{\infty }{\bigcup }^{n}X

.^[2]^[3]

Anwendung

In vielen Beweisen in der Mengenlehre braucht man für ein bestimmtes Argument die Transitivität einer Menge. Kann man zusätzlich zeigen, dass die Aussage für eine Menge $X$ gilt, wenn man eine Obermenge $Y\supseteq X$ findet, für die sie gilt, so bietet es sich an, von $X$ zur transitiven Hülle überzugehen.

Eine ähnliche Vorgehensweise findet man zum Beispiel im Beweis des Epsilon-Induktions-Verfahren wieder.

Verallgemeinerung

Sei $X$ eine Menge mit einer homogene Relation $R$ darauf. Die $R$ -transitive Hülle ist dann gegeben durch

TC_{R}(X):=\bigcup _{n=0}^{\infty }\{x|(\exists y\in X)x\,R^{n}y\}=\{x|(\exists y\in X)x\,R^{*}y\}

^[2]^[4]

Dies ist das Urbild von $X$ unter $R^{*}$ , der reflexiv-transitiven Hülle der Relation $R$ . $TC_{R}(X)$ ist die kleinste Obermenge von $X$ , die $R$ -transitiv ist. Im Fall $R=\in$ repliziert die verallgemeinerte Definition den obigen Spezialfall.

Siehe auch

Transitive Hülle (Relation)

Anmerkungen

↑ Das Vereinigungsaxiom wurde natürlich schon vorher zum Existenzbeweis der Funktion $f_{X}$ benötigt.

↑ ^a ^b $f_{X},M_{X}$ sind ad-hoc-Bezeichnungen
↑ ^a ^b Mit $\in$ aufgefasst als homogene Relation und ${\in }^{+}:=\textstyle \bigcup _{n\in {\mathbb {N} }}{\in }^{n}$ lässt sich die transitive Hülle auch noch verstehen als
$TC(X)=\{x|x{\in }^{+}X\}$ .
Siehe z. B. G. O’Regan: $R^{*}:=\textstyle \bigcup _{n\in {\mathbb {N} _{0}}}R^{n},\ \;R^{+}:=\textstyle \bigcup _{n\in {\mathbb {N} }}R^{n}$ für homogene Relationen $R$ , Gerard O’Regan: Guide to Discrete Mathematics. Sets, Relations and Functions (= Texts in Computer Science (TCS)). Springer International Publishing, Schweiz 2016, S. 25–51, hier S. 39, doi:10.1007/978-3-319-44561-8_2 (springer.com [PDF; 1000 kB]).
↑ Using Replacement to prove transitive closure is a set without recursion, auf: StackExchange Mathematics, Stand: 2018
↑ Wolfram Pohlers: Mengenlehre (PDF), Universität Münster, Institut für mathematische Logik und Grundlagenforschung, Vorlesungsskript, SS 1994, Seite 31. Die dort angegebene Definition ähnelt der hier unter Konstruktion angegebenen, und wurde aber in eine äquivalente, leichter lesbare überführt.

[2] Das Vereinigungsaxiom wurde natürlich schon vorher zum Existenzbeweis der Funktion $f_{X}$ benötigt.

[adhoc-1] $f_{X},M_{X}$ sind ad-hoc-Bezeichnungen

[Huelle-3] Mit $\in$ aufgefasst als homogene Relation und ${\in }^{+}:=\textstyle \bigcup _{n\in {\mathbb {N} }}{\in }^{n}$ lässt sich die transitive Hülle auch noch verstehen als
$TC(X)=\{x|x{\in }^{+}X\}$ .
Siehe z. B. G. O’Regan: $R^{*}:=\textstyle \bigcup _{n\in {\mathbb {N} _{0}}}R^{n},\ \;R^{+}:=\textstyle \bigcup _{n\in {\mathbb {N} }}R^{n}$ für homogene Relationen $R$ , Gerard O’Regan: Guide to Discrete Mathematics. Sets, Relations and Functions (= Texts in Computer Science (TCS)). Springer International Publishing, Schweiz 2016, S. 25–51, hier S. 39, doi:10.1007/978-3-319-44561-8_2 (springer.com [PDF; 1000 kB]).

[4] Using Replacement to prove transitive closure is a set without recursion, auf: StackExchange Mathematics, Stand: 2018

[5] Wolfram Pohlers: Mengenlehre (PDF), Universität Münster, Institut für mathematische Logik und Grundlagenforschung, Vorlesungsskript, SS 1994, Seite 31. Die dort angegebene Definition ähnelt der hier unter Konstruktion angegebenen, und wurde aber in eine äquivalente, leichter lesbare überführt.

[1]

[A 1]

[2]

[3]

[4]