Tsirelsons stochastische Differentialgleichung

Stochastische Differentialgleichung die nur eine schwache Lösung besitzt und keine starke Lösung.

Tsirelsons stochastische Differentialgleichung (auch Tsirelsons Drift oder Tsirelsons Gleichung) ist eine stochastische Differentialgleichung, welche eine schwache Lösung besitzt aber keine starke Lösung. Sie ist somit ein Gegenbeispiel und benannt nach ihrem Entdecker Boris Tsirelson.[1] Tsirelsons Gleichung ist von der Form

wobei die eindimensionale brownsche Bewegung ist. Tsirelson wählte den Drift so, dass dieser eine beschränkte messbare Funktion ist, welche von den vergangenen Zeitpunkten von abhängt, aber unabhängig von der natürlichen Filtration der brownschen Bewegung ist. Folglich existiert eine schwache Lösung, aber da der Prozess nicht -messbar ist, keine starke Lösung.

Tsirelsons Drift

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Sei

  •   und   die natürliche brownsche Filtration, welche die üblichen Bedingungen erfüllt,
  •   und   eine absteigende Folge   so dass  ,
  •   und  ,
  •   der Nachkommateil.

Tsirelson definierte nun folgenden Drift

 

Sei nun

 

die Abkürzung für

 

Nach einem Satz von Tsirelson und Yor gilt:

1) Die natürliche Filtration von   hat folgende Zerlegung

 

2) Für jedes   ist   gleichverteilt auf   und unabhängig von   resp.  .

3)   ist trivial, d. h. alle Ereignisse haben die Wahrscheinlichkeit   oder  .[2][3]

Literatur

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  • L. C. G. Rogers und David Williams: Diffusions, Markov Processes and Martingales: Volume 2, Itô Calculus. Hrsg.: Cambridge University Press. Vereinigtes Königreich 2000, S. 155–156 (englisch).

Einzelnachweise

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  1. B. S. Tsirel’son: An example of a stochastic differential equation that has no strong solution. In: Teor. Verojatnost. i Primenen. Band 20, Nr. 2, 1975, S. 427–430, doi:10.1137/1120049.
  2. L. C. G. Rogers und David Williams: Diffusions, Markov Processes and Martingales: Volume 2, Itô Calculus. Hrsg.: Cambridge University Press. Vereinigtes Königreich 2000, S. 156.
  3. Kouji Yano und Marc Yor: Around Tsirelson's equation, or: The evolution process may not explain everything. In: Probab. Surveys. Band 12, 2010, S. 1–12, doi:10.1214/15-PS256.