Tucker-Kreis

Ein Tucker-Kreis eines Dreiecks, benannt nach Robert Tucker (1832–1905), ist einer der besonderen Kreise der Dreiecksgeometrie. Hierbei besitzt ein gegebenes Dreieck nicht nur einen einzelnen Tucker-Kreis, sondern eine Schar von Tucker-Kreisen. Diese umfasst eine Reihe spezieller Kreise des Dreiecks, darunter der Umkreis, der erste Lemoinesche Kreis, der zweite Lemoinesche Kreis, der dritte Lemoinesche Kreis und der Taylor-Kreis.

Tucker-Kreis (braun) parametrisiert mit Parameter t, Umkreis (lila), erster Lemoine-Kreis (grün), zweiter Lemoine-Kreis (rot), dritter Lemoine-Kreis (orange), Taylor-Kreis (blau)

Definition

Ein Tucker Kreis (rot) und Tucker-Hexagon mit grünen Antiparallelen und blauen Parallelen, Winkel gleicher Farbe sind gleich groß

Man beginnt mit einem Punkt auf einer der (verlängerten) Seiten eines Dreiecks und konstruiert dann sukzessive fünf weitere Punkte, indem man abwechselnd die Parallele oder Antiparallele zu einer Dreiecksseite durch den letzten erhaltenen Punkt mit der (verlängerten) anderen Dreiecksseite schneidet und so den nächsten Punkt erhält. Beginnt man zum Beispiel mit einem Punkt $Q_{c}$ auf $AB$, dann schneidet die Antiparallele zu $AC$ durch $Q_{c}$ $BC$ in $P_{a}$. Die Parallele zu $AB$ durch $P_{a}$ schneidet $AC$ in $Q_{b}$. Die Antiparallele zu $BC$ durch $Q_{b}$ schneidet $AB$ in $P_{c}$. Die Parallele zu $AC$ durch $P_{c}$ schneidet $BC$ in $Q_{a}$. Die Antiparallele zu $AB$ durch $Q_{a}$ schneidet $AC$ in $P_{b}$. Schließlich schneidet die Parallele zu $BC$ durch $P_{b}$ $AB$ in $Q_{c}$. Man ist also nach abwechselnd je drei Parallelen und Antiparallelen wieder am Ausgangspunkt $Q_{c}$ angekommen. Dies ist eine allgemeine Eigenschaft eines so konstruierten Streckenzuges $Q_{c}P_{a}Q_{b}P_{c}Q_{b}P_{b}Q_{c}$, zudem liegen dessen sechs Punkte auf einem gemeinsamen Kreis, dem Tucker-Kreis. Das durch geschlossenen Streckenzug gebildete Hexagon wird als Tucker-Hexagon bezeichnet.

Eigenschaften und Beziehungen

Ein Tucker-Kreis und Tucker-Hexagon (braun)

Brocard-Inellipse (rot) als Hüllkurve der Tucker-Kreise mit Mittelpunkten auf der Geraden $KO$, sowie Brocard-Punkte $B_{1},B_{2}$

Im Folgenden bezeichnet $K$ den Lemoinepunkt und $O$ den Umkreismittelpunkt eines Dreiecks $\triangle ABC$ mit einem Tucker-Hexagon $Q_{c}P_{a}Q_{b}P_{c}Q_{b}P_{b}$, dessen antiparallele Seiten $Q_{c}P_{a}$, $Q_{b}P_{c}$ und $Q_{a}P_{b}$ sind. $T$ ist der Mittelpunkt des zugehörigen Tucker-Kreises. $L$ ist der Schnittpunkt der Geraden $AK$ mit $Q_{b}P_{c}$, $M$ der Schnittpunkt der Geraden $BK$ mit $Q_{c}P_{a}$ und $N$ der Schnittpunkt der Geraden $CK$ mit $Q_{a}P_{b}$. $H_{a}$, $H_{b}$ und $H_{c}$ sind die Fußpunkte der Höhen des Dreiecks $\triangle ABC$. Mit diesen Bezeichnungen gelten die folgenden Aussagen:

• Die drei antiparallelen Seiten des Tucker-Hexagons sind gleich lang, das heißt, es gilt: $|Q_{b}P_{c}|=|Q_{c}P_{a}|=|Q_{a}P_{b}|$. Zudem werden sie von den Verbindungsgeraden der Ecken mit dem Lemoinepunkt halbiert, also: $|Q_{b}L|=LP_{c}|=|Q_{c}M|=|MP_{a}|=|Q_{a}N|=|NP_{b}|$.

• Die drei antiparallelen Seiten des Tucker-Hexagons sind parallel zu den Seiten des Höhenfußpunktdreiecks $\triangle H_{a}H_{b}H_{c}$, das heißt, es gilt: $Q_{b}P_{c}\parallel H_{b}H_{c}$, $Q_{c}P_{A}\parallel H_{c}H_{a}$ und $Q_{a}P_{b}\parallel H_{a}H_{b}$.

• Das Dreieck $\triangle LNM$ ist eine zentrische Streckung des Dreiecks $\triangle ABC$ mit dem Lemoinepunkt $K$ als Streckzentrum und dem Streckfaktor ${\frac {|KL|}{|KA|}}={\frac {|KM|}{|KB|}}={\frac {|KN|}{|KC|}}$.

• Die Verbindungsgeraden der Eckpunkte mit dem Umkreismittelpunkt stehen senkrecht auf den (verlängerten) anitparallelen Seiten des Tucker-Hexagons. Es gilt: $Q_{b}P_{c}\perp AO$, $Q_{c}P_{a}\perp BO$ und $Q_{a}P_{b}\perp CO$.

• Der Mittelpunkt $T$ eines Tucker-Kreises liegt auf $KO$, der Verbindungsgeraden von Lempoinepunkt und Umkreismittelpunkt. Dabei entspricht das Verhältnis ${\frac {|KT|}{|KO|}}$ dem Streckfaktor der zentrischen Streckung, die das Dreieck$\triangle ABC$ in das Dreieck $\triangle LNM$ überführt. Es gilt also ${\frac {|KT|}{|KO|}}={\frac {|KL|}{|KA|}}={\frac {|KM|}{|KB|}}={\frac {|KN|}{|KC|}}$.

• Die Brocard-Inellipse des Dreiecks $\triangle ABC$ ist die Enveloppe der Tucker-Kreise des Dreiecks.

• Den Umkreis erhält man als Tucker-Kreis, wenn das Tucker-Hexagon $Q_{c}P_{a}Q_{b}P_{c}Q_{b}P_{b}$ in das Dreieck $\triangle ABC$ übergeht, also $Q_{b}=P_{c}=A$, $Q_{c}=P_{a}=A$ und $Q_{a}=P_{b}=C$ gilt.

Parametrisiert man die Schar der Tucker-Kreise eines Dreiecks anhand der orientierten Länge der Strecke $Q_{b}P_{c}$:

$t={\begin{cases}\ \ \,|Q_{b}P_{c}|,&{\text{ falls }}A\notin {\text{ Strecke }}P_{c}B\\-|Q_{b}P_{c}|,&{\text{ falls }}A\in {\text{ Strecke }}P_{c}B\end{cases}}$

Dann ergibt sich für den Radius eines Tucker-Kreises die folgende Formel in Abhängigkeit von $t$:

$R(t)={\sqrt {\frac {t^{2}(a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+a^{2}c^{2})-t(a^{2}+b^{2}+c^{2})abc+a^{2}b^{2}c^{2}}{(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}}}$

Für spezielle Tucker-Kreise ergeben sich dabei die Parameter in der Tabelle.

Tucker-Kreis	Parameter
Umkreis	$t=0$
erster Lemoine-Kreis	$t={\frac {abc}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}$
zweiter Lemoine-Kreis	$t={\frac {2abc}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}$
dritter Lemoine-Kreis	$t={\frac {3abc}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}$
Taylor-Kreis	$t={\frac {1}{4}}{\frac {(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}{abc}}$
Apollonius-Kreis	$t=-{\frac {a+b+c}{2}}$

Literatur

• Roger A. Johnson: Advanced Euclidean Geometry. Dover 2007, ISBN 978-0-486-46237-0, S. 274–277 (Erstveröffentlichung 1929 bei der Houghton Mifflin Company (Boston) unter dem Titel Modern Geometry)
• A. Emmerich: Die Brocardschen Gebilde und ihre Beziehungen zu den verwandten merkwürdigen Punkten und Kreisen des Dreiecks. Verlag Georg Reimer, Berlin 1891, S. 53–67
• Ross Honsberger: Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry. MAA, 1995, S. 87–98 (Digitalisat)
• Sandor Nagydobai Kiss, Paul Yiu: On the Tucker Circles. In: Forum Geometricorum, Band 17 (2017), S. 157–175 (Digitalisat)

Weblinks

Commons: Tucker-Kreise – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

• Eric W. Weisstein: Tucker Circles. In: MathWorld (englisch).
• Tucker circles auf cut-the-knot.org