Umhüllungssatz

mathematischer Satz

Der Umhüllungssatz (auch Envelope-Theorem, Enveloppen-Theorem oder Einhüllenden-Satz genannt) ist ein grundlegender Satz der Variationsrechnung, der häufig Anwendung in der Mikroökonomie findet. Er beschreibt, wie sich der Optimalwert der Zielfunktion eines parametrisierten Optimierungsproblems bei Änderung der Parameter verhält.

Man unterscheidet üblicherweise zwischen zwei Versionen des Envelope-Theorems: eine für Optimierungsprobleme ohne und eine für solche mit Nebenbedingungen, wobei die erste Version ein Spezialfall der zweiten ist.

Darstellung

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Optimierungsproblem ohne Nebenbedingungen

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(Envelope-Theorem für Optimierungsprobleme ohne Nebenbedingungen[1]:) Sei   eine stetig differenzierbare Funktion mit   und   einem Skalar – kurz:  . Gegeben ist das Problem

 

das eine Lösung   besitzt, welche stetig differenzierbar ist. Dann ist durch   die so genannte Optimalwertfunktion von   gegeben (das heißt die ursprüngliche Funktion evaluiert an der – hier nur noch von   abhängigen – Stelle, an der sie ihr Maximum annimmt). Der Umhüllungssatz besagt dann:

 

Es zeigt sich, dass bei der Berechnung des Effektes erster Ordnung einer Variation von   auf   die Änderung von   keinen Einfluss hat.

Erweiterung: Der Satz gilt analog für mehrere Parameter. Es gilt dann für das Maximierungsproblem   mit   ( ,  ) und   für beliebiges   ( ):

 

Optimierungsproblem mit Nebenbedingungen

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(Verallgemeinertes Envelope-Theorem für Optimierungsprobleme mit Nebenbedingungen[2]:) Sei   eine stetig differenzierbare Funktion mit   und   einem Skalar – kurz:  . Gegeben ist das Problem

  unter den Nebenbedingungen  

das eine Lösung   besitzt, welche stetig differenzierbar ist. Es ist   die korrespondierende Lagrange-Funktion. Auch die Langrange-Multiplikatoren   seien stetig differenzierbar. Außerdem besitze die Jacobi-Matrix   den Rang  .

Dann ist   eine Optimalwertfunktion von   und besagt der Umhüllungssatz:

 

Erweiterung: Der Satz ist auch in Fällen mit mehreren Parametern anwendbar. Mit analogen Definitionen gilt dann für beliebiges   ( ):

 

Bemerkungen

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  ist die Einhüllende der Kurvenschar  , daher der Name des Satzes.

Beispiel ohne Nebenbedingungen

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Sei exemplarisch folgendes Problem gegeben:

  mit  .

Bedingung erster Ordnung des Maximierungsproblems ist

 .

Stellt man diese Bedingung um, folgt für das „optimale“  :  . Setzt man dieses wieder in die ursprüngliche Funktion ein, liefert das die Optimalwertfunktion  . Es interessiert nun, wie sich diese Optimalwertfunktion ändert, wenn sich   verändert. Dies soll zunächst mit dem Umhüllungssatz und zur Illustration danach „direkt“ gezeigt werden. Mit dem Umhüllungssatz folgt sofort:

 

und

 

Dasselbe Resultat hätte man auch „direkt“ berechnen können. Hierzu muss man die Optimalwertfunktion allerdings explizit berechnen:

 

Und damit ebenfalls

 

Anwendung

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Eine Anwendung findet sich in der Mikroökonomie. Dort kann man den Umhüllungssatz sowohl in der Theorie der Unternehmungen als auch in der Theorie der Haushalte einsetzen.

Im Bereich der Theorie der Unternehmungen bezeichnet   die Produktionsmenge in Abhängigkeit vom Input  , so ergibt sich, indem man   als den Preisvektor für Output- und Inputgut setzt, und mit   als Produzentengewinn,  , Hotellings Lemma. Es ist allerdings auch möglich, das Envelope-Theorem in der Kostenminimierung einzusetzen. Dies funktioniert analog zu Shephards Lemma.

In der Theorie der Haushalte wird das Envelope-Theorem im Zusammenhang mit indirekten Nutzenfunktionen verwendet. Dabei kann leicht mittels Roy’s Identität analysiert werden, was bei einer Einkommens- oder einer Preisveränderung passiert. Dafür wird die indirekte Nutzenfunktion partiell abgeleitet nach Einkommen und Preis.

Siehe auch

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Literatur

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  • Andreu Mas-Colell, Michael Whinston, Jerry Green: Microeconomic Theory. Oxford University Press, Oxford 1995, ISBN 0-19-507340-1. [Zum Umhüllungssatz S. 964–966.]
  • Carl P. Simon, Lawrence Blume: Mathematics for Economists. W. W. Norton, New York und London 1994, ISBN 0-393-95733-0. [Zum Umhüllungssatz S. 453–457.]
  • Thorsten Pampel: Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler. Springer-Verlag 2009, ISBN 3-642-04489-1, Kapitel 15.3: Der Umhüllungssatz

Einzelnachweise

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  1. Vgl. Simon/Blume 1994, S. 453 f.
  2. Vgl. Simon/Blume 1994, S. 455 f.; Mas-Colell/Whinston/Green 1995, S. 965 f.