Unendliche Diedergruppe

Die unendliche Diedergruppe ist eine im mathematischen Teilgebiet der Gruppentheorie betrachtete Gruppe. Es handelt sich um eine abzählbar unendliche Version der Diedergruppen.

Geometrische Definition

So wie die Diedergruppen $D_{n}$ als die Symmetriegruppen einer geometrischen Figur, nämlich eines regelmäßigen n-Ecks, eingeführt werden können, kann die unendliche Diedergruppe $D_{\infty }$ als die Gruppe aller Isometrien, die eine Teilmenge eines euklidischen Raums in sich abbilden, definiert werden. $D_{\infty }$ ist die Gruppe aller Isometrien auf $\mathbb {R} =\mathbb {R} ^{1}$, die $\mathbb {Z} \subset \mathbb {R}$ in sich abbilden.

Diese Isometrien sind Translationen um $n$

$\tau _{n}\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} ,\quad x\mapsto x+n$

für eine ganze Zahl $n\in \mathbb {Z}$ und Spiegelungen an $n/2$

$\sigma _{n}\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} ,\quad x\mapsto n-x$

für eine ganze Zahl $n\in \mathbb {Z}$. Die Gruppe dieser Isometrien heißt die unendliche Diedergruppe $D_{\infty }$. Manche Autoren bezeichnen diese Gruppe mit $D_{0}$ oder nach der englischen Bezeichnung „dihedral group“ für Diedergruppe auch mit $\mathrm {Dih} _{\infty }$.

Die unendliche Diedergruppe wird schon von $\tau :=\tau _{1}$ und $\sigma :=\sigma _{0}$ erzeugt, denn offenbar gilt

$\tau _{n}=\tau \circ \ldots \circ \tau$, n-fache Hinteinanderausführung für $n>0$

$\tau _{n}=\tau _{-n}^{-1}$ für $n<0$

$\tau _{0}$ ist das neutrale Element

$\sigma _{n}=\tau _{n}\circ \sigma$ für alle $n\in \mathbb {Z}$,

das heißt, die von $\{\tau ,\sigma \}$ erzeugte Untergruppe enthält bereits alle Isometrien $\tau _{n}$ und $\sigma _{n}$ und das heißt, dass $D_{\infty }$ von $\tau$ und $\sigma$ erzeugt wird.

Ferner besteht die Beziehung

$\sigma \circ \tau \circ \sigma =\tau ^{-1}$,

denn für jedes $r\in \mathbb {R}$ gilt

$\sigma (\tau (\sigma (r)))=\sigma (\tau (-r))=\sigma (-r+1)=r-1=\tau ^{-1}(r)$,

und es gilt

$\sigma ^{2}=1$,

wobei 1 das neutrale Element bezeichne, denn $\sigma$ ist eine Spiegelung.

D_∞ als Untergruppe der Symmetriegruppe des Kreises

Sei $s$ die Spiegelung des Einheitskreises an der x-Achse und $d$ eine Drehung des Kreises um $2\pi r$ für eine irrationale Zahl $r$. Die von $d$ erzeugte zyklische Untergruppe der Symmetriegruppe des Kreises ist wegen der Irrationalität von $r$ unendlich und daher zu $\mathbb {Z}$ isomorph. Dann gilt offenbar

$s^{2}=1,\,sds=d^{-1}$

und man kann zeigen, dass $\sigma \mapsto s,\,\tau \mapsto d$ einen Isomorphismus von $D_{\infty }$ auf die von $\{s,d\}$ erzeugte Untergruppe der Symmetriegruppe des Kreises definiert. Insbesondere hängt deren Isomorphieklasse nicht von der Wahl der irrationalen Zahl $r$ ab.

Präsentationen von D_∞

Nach Obigem erfüllen die Erzeuger $\tau$ und $\sigma$ die Relationen

$\sigma \circ \tau \circ \sigma =\tau ^{-1}$   und   $\sigma ^{2}=1$.

Man kann zeigen, dass keine weiteren, davon unabhängigen Relationen bestehen. Präzise heißt das, dass $D_{\infty }$ die Präsentation

$D_{\infty }\,=\,\langle x,y\mid x^{2}=1,\,xyx=y^{-1}\rangle$

besitzt. Die zweite Relation kann man wegen $x^{2}=1$ auch als $xy=y^{-1}x$ schreiben. Jedes Produkt aus den Erzeugern $x$ und $y$ kann daher durch wiederholte Anwendung der Relationen auf die Form $x^{i}y^{n}$ mit $i\in \{0,1\}$ und $n\in \mathbb {Z}$ gebracht werden. Für das Rechnen in der Gruppe gilt demnach

$D_{\infty }=\{x^{i}y^{n}\mid i\in \{0,1\},n\in \mathbb {Z} \}$   und   $x^{i}y^{n}\cdot x^{j}y^{m}=x^{i+j}y^{(1-2j)n+m}$,

wobei der Exponent $i+j$ modulo 2 zu verstehen ist.

Setzt man $z:=xy$, so ist

$z^{2}=xyxy=y^{-1}y=1$.

Da man umgekehrt das Element $y$ mittels $y=xz$ aus $x$ und $z$ zurückgewinnen kann, wird $D_{\infty }$ von den zwei Involutionen $x$ und $z$, das heißt von Elementen, deren Quadrat das neutrale Element ist, erzeugt, und man kann sich überlegen, dass keine weiteren Relationen bestehen. Wir erhalten also eine zweite Präsentation

$D_{\infty }=\langle x,z\mid x^{2}=1,\,z^{2}=1\rangle$.

Demnach ist die unendliche Diedergruppe die größte von zwei Involutionen erzeugte Gruppe, jede andere ist isomorph zu einer Faktorgruppe davon.

Geometrisch entspricht der Erzeuger $z$ dem Produkt $\sigma \tau$, und das ist die Spiegelung an $\textstyle -{\frac {1}{2}}$. Die oben geometrisch beschriebene unendliche Diedergruppe wird also auch von den beiden Spiegelungen an 0 und $\textstyle -{\frac {1}{2}}$ erzeugt. Das wird sofort verständlich, indem man sich klarmacht, dass die Spiegelung an $\textstyle -{\frac {1}{2}}$, gefolgt von der Spiegelung an 0, nichts anderes als die Translation um 1 ist.

D_∞ als semidirektes Produkt

Betrachte den Homomorphismus $\alpha \colon \mathbb {Z} _{2}\rightarrow \mathrm {Aut} (\mathbb {Z} )$ von der Gruppe ℤ₂ in die Automorphismengruppe von $\mathbb {Z}$, der die Restklasse von 1 auf $\alpha _{1}\colon \mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {Z} ,\,n\mapsto -n$ abbildet. Mit diesem $\alpha$ bilde das semidirekte Produkt

$\mathbb {Z} \rtimes _{\alpha }\mathbb {Z} _{2}:=\{(n,i)\mid n\in \mathbb {Z} ,i\in \{0,1\}\}$.

Die Verknüpfung ist bekanntlich durch die Formel

$(n,i)\cdot (m,j):=(n+\alpha _{i}(m),i+j)$

definiert, wobei $\alpha _{0}:=\mathrm {id} _{\mathbb {Z} }$ und die Summe $i+j$ modulo 2 zu verstehen ist. Daraus liest man die Isomorphie zu $D_{\infty }$ ab.

Nun ist obiges $\alpha \colon \mathbb {Z} _{2}\rightarrow \mathrm {Aut} (\mathbb {Z} )$ sogar ein Isomorphismus, denn neben $\alpha _{1}$ gibt es keine weiteren nichttrivialen Automorphismen auf $\mathbb {Z}$.

Daher ist $D_{\infty }$ der Holomorph von $\mathbb {Z}$, das heißt

$D_{\infty }\cong \mathbb {Z} \rtimes _{\alpha }\mathbb {Z} _{2}\cong \mathbb {Z} \rtimes \mathrm {Aut} (\mathbb {Z} )=\mathrm {Hol} (\mathbb {Z} )$.

D_∞ als freies Produkt

Die unendliche Diedergruppe ist das kleinste denkbare freie Produkt nichttrivialer Gruppen, es gilt

$D_{\infty }\cong \mathbb {Z} _{2}*\mathbb {Z} _{2}$.

Es ist klar, dass $\mathbb {Z} _{2}*\mathbb {Z} _{2}$ von zwei Involutionen erzeugt wird. Daher erhält man aus obiger Präsentation einen Epimorphismus $D_{\infty }\rightarrow \mathbb {Z} _{2}*\mathbb {Z} _{2}$, von dem man zeigt, dass er ein Isomorphismus ist. Manche Autoren definieren die unendliche Diedergruppe auf diese Weise.

D_∞ als Matrizengruppe

Wir betrachten die Menge

$M:={\bigl \{}{\begin{pmatrix}e&n\\0&1\end{pmatrix}};\,e\in \{-1,+1\},n\in \mathbb {Z} {\bigr \}}$

von $2\times 2$-Matrizen. Das Matrizenprodukt

${\begin{pmatrix}(-1)^{i}&n\\0&1\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}(-1)^{j}&m\\0&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}(-1)^{i+j}&(-1)^{i}m+n\\0&1\end{pmatrix}}$

zeigt, dass die Menge $M$ mit dem Matrizenprodukt als Multiplikation eine zu $D_{\infty }$ isomorphe Gruppe ist.

Untergruppen von D_∞

Die unendliche Diedergruppe $D_{\infty }=\langle x,y\mid x^{2}=1,\,xyx=y^{-1}\rangle$ enthält folgende Untergruppen ($k,n,r$ ganze Zahlen):

$U_{k}:=\langle y^{k}\rangle$   für   $k\geq 0$,

$V_{0,n}:=\langle y^{n}x\rangle \cong \mathbb {Z} _{2}$   für   $n\in \mathbb {Z}$,

$V_{k,r}:=\langle y^{k},y^{r}x\rangle \cong D_{\infty }$   für   $0\leq r<k$.

Das sind bereits alle Untergruppen von $D_{\infty }$.

Wegen $\{1\}\leq \langle y\rangle \leq D_{\infty }$ mit $D_{\infty }/\langle y\rangle \cong \mathbb {Z} _{2}$ ist die unendliche Diedergruppe auflösbar, sogar überauflösbar, metabelsch und polyzyklisch.