Polyzyklische Gruppe

Polyzyklische Gruppen sind spezielle im mathematischen Teilgebiet der Gruppentheorie betrachtete Gruppen. Sie setzen sich aus zyklischen Gruppen zusammen.

Definition

Eine Gruppe $G$ heißt polyzyklisch, falls es eine endliche Kette

$\{1\}=G_{0}\vartriangleleft G_{1}\vartriangleleft \ldots \vartriangleleft G_{n}=G$

gibt, so dass jede Faktorgruppe $G_{i+1}/G_{i}$ zyklisch ist. Das Symbol $\vartriangleleft$ steht dabei, wie üblich, für "ist Normalteiler in".

Beispiele

• Jede zyklische Gruppe ist polyzyklisch.
• Jede endliche, auflösbare Gruppe ist polyzyklisch, denn eine Auflösung kann zu einer solchen mit einfachen Faktoren verfeinert werden, und einfache abelsche Gruppen sind zyklisch.
• Jede überauflösbare Gruppe ist polyzyklisch, insbesondere sind endlich erzeugte nilpotente Gruppen polyzyklisch.
• Die unendliche Diedergruppe ist polyzyklisch, aber nicht nilpotent.

Eigenschaften

• Untergruppen, homomorphe Bilder und Erweiterungen polyzyklischer Gruppen sind wieder polyzyklisch.
• Polyzyklische Gruppen erfüllen die Maximalbedingung für Untergruppen, das heißt jede nicht-leere Menge von Untergruppen besitzt ein maximales Element.

Beweis: Für zyklische Gruppen ist das klar und die Maximalbedingung setzt sich auf Erweiterungen fort.

• Jede Untergruppe einer polyzyklischen Gruppe ist endlich erzeugt, denn das ist äquivalent zur Maximalbedingung.
• Jede polyzyklische Gruppe ist residuell endlich, das heißt zu jedem von 1 verschiedenen Element gibt es einen Normalteiler mit endlichem Index, der das Element nicht enthält.
• Die Frattinigruppe einer polyzyklischen Gruppe ist nilpotent.
• Ist G eine Gruppe, die eine polyzyklische Untergruppe mit endlichem Index enthält, so ist der Gruppenring $K[G]$ bzgl. eines Körpers K noethersch.

Äquivalente Charakterisierungen

• Eine Gruppe ist genau dann polyzyklisch, wenn sie auflösbar ist und der Maximalbedingung genügt.
• Eine Gruppe G ist genau dann polyzyklisch, wenn es eine Reihe $\{1\}=G_{0}\vartriangleleft G_{1}\vartriangleleft \ldots \vartriangleleft G_{n}=G$ aus Normalteilern $G_{i}\vartriangleleft G$ gibt, so dass alle Faktoren $G_{i+1}/G_{i}$ entweder eine endlich erzeugte freie abelsche Gruppe oder eine endliche elementar abelsche Gruppe ist.
• Die polyzyklischen Gruppen sind bis auf Isomorphie genau die auflösbaren Untergruppen der $\mathrm {GL} _{n}(\mathbb {Z} )$, der ganzzahligen allgemeinen linearen Gruppe.

Dass auflösbare Untergruppen der $\mathrm {GL} _{n}(\mathbb {Z} )$ polyzyklisch sind, wurde bereits 1951 von Anatoli Malzew bewiesen. Der Beweis der von Philip Hall vermuteten Umkehrung gelang 1967 Louis Auslander, der Beweis konnte von Richard Swan erheblich vereinfacht werden.

Hirsch-Länge

Die zyklische Reihe $\{1\}=G_{0}\vartriangleleft G_{1}\vartriangleleft \ldots \vartriangleleft G_{n}=G$ in der Definition der polyzyklischen Gruppe ist nicht eindeutig festgelegt, wie schon das einfache Beispiel $\mathbb {Z} _{6}\cong \mathbb {Z} _{3}\oplus \mathbb {Z} _{2}$ zeigt. Aber die Anzahl der zu $\mathbb {Z}$ isomorphen Faktoren hängt nicht von der zyklischen Reihe ab. Diese Anzahl heißt die Hirsch-Länge der polyzyklischen Gruppe, benannt nach K. A. Hirsch.