Ungleichung von Hornich-Hlawka

Die Ungleichung von Hornich-Hlawka, manchmal auch nur als Ungleichung von Hlawka (engl. Hlawka's inequality) bezeichnet, ist ein mathematischer Lehrsatz an der Schnittstelle zwischen den Teilgebieten der Linearen Algebra und der Funktionalanalysis. Die Ungleichung geht zurück auf die beiden österreichischen Mathematiker Hans Hornich und Edmund Hlawka und ist eine in allen Prähilberträumen gültige Verallgemeinerung der Dreiecksungleichung.

Formulierung

Der Lehrsatz lässt sich wie folgt formulieren:^[1]

Gegeben sei ein Prähilbertraum $X$ über dem Körper $\mathbb {K}$ der reellen oder der komplexen Zahlen mit der durch das zugehörige Skalarprodukt erzeugten Norm $x\mapsto |x|={\sqrt {xx}}$ ( $x\in X$ ).^[2]

Dann gilt:

(I) Je drei beliebige (nicht notwendig verschiedene) Vektoren $a,b,c\in X$ erfüllen stets die Ungleichung

$|a+b|+|b+c|+|c+a|\leq |a|+|b|+|c|+|a+b+c|$ . (Ungleichung von Hornich-Hlawka)

(II) Die Ungleichung von Hornich-Hlawka ergibt sich mit Hilfe der Dreiecksungleichung aus der folgenden Identität von Hlawka :

$(|a|+|b|+|c|-|a+b|-|b+c|-|c+a|+|a+b+c|)(|a|+|b|+|c|+|a+b+c|)$

$=$

$(|a|+|b|-|a+b|)(|c|-|a+b|+|a+b+c|)$

$+$

$(|b|+|c|-|b+c|)(|a|-|b+c|+|a+b+c|)$

$+$

$(|c|+|a|-|c+a|)(|b|-|c+a|+|a+b+c|)$

(III) Die Ungleichung von Hornich-Hlawka umfasst ihrerseits als Spezialfall die Dreiecksungleichung.

Beweisskizzen

Schritt 1 – Beweisskizze zu (II)

Die Identität von Hlawka gewinnt man durch Verifikation. Dazu werden zunächst die Terme auf beiden Seiten der Identität unter Berücksichtigung des Distributivgesetzes ausmultiplziert. Nach Streichung beidseitig auftretender Terme sieht man, dass der Nachweis der zu zeigenden Identität mit dem Nachweis der Identität

(H)

{|a|}^{2}+{|b|}^{2}+{|c|}^{2}+{|a+b+c|}^{2}={|a+b|}^{2}+{|b+c|}^{2}+{|c+a|}^{2}

gleichwertig ist. Diese wiederum ergibt sich mittels folgender Rechnung:^[3]

{\begin{aligned}{|a+b+c|}^{2}&=aa+ab+ac+ba+bb+bc+ca+cb+cc\\&={|a|}^{2}+{|b|}^{2}+{|c|}^{2}+(ab+{\overline {ba}})+(ac+{\overline {ca}})+(bc+{\overline {cb}})\\&={|a|}^{2}+{|b|}^{2}+{|c|}^{2}+2\mathrm {Re} (ab)+2\mathrm {Re} (ac)+2\mathrm {Re} (bc)\\&={|a+b|}^{2}+({|c+a|}^{2}-{|a|}^{2})+({|b+c|}^{2}-{|b|}^{2}-{|c|}^{2})\\\end{aligned}}

Schritt 2 – Beweisskizze zu (I)

Da im Falle $c=0$ die zu zeigende Ungleichung auf eine Gleichung hinausläuft, somit nichts zu zeigen ist, genügt es, den Beweis auf den Fall $c\neq 0$ zu beschränken.

Hier nun berücksichtigt man, dass auf der rechten Seite der schon bewiesenen Identität von Hlawka allein nichtnegative Summanden stehen, denn es gilt die Dreiecksungleichung und damit auch die Vierecksungleichung, weswegen sich alle beteiligten Terme innerhalb der rechtsseitig auftretenden Klammern als nichtnegativ erweisen. Als Folgerung hat man, dass auch das auf der linken Seite stehende Produkt nichtnegativ ist.

Weiter ist in Rechnung zu stellen, dass wegen $c\neq 0$ stets

|a|+|b|+|c|+|a+b+c|>0

gilt. Also muss auch

|a|+|b|+|c|-|a+b|-|b+c|-|c+a|+|a+b+c|\geq 0

gelten und damit (I).

Schritt 3 – Beweisskizze zu (III)

Der Beweis ergibt sich durch zweifache Substitution. Dazu macht man für $x,y\in X$ die Setzung $a=c=y,b=x-y$ , mit der sich

2|x|\leq |x+y|+|x-y|

ergibt. Anschließend macht man für $u,v\in X$ die Setzung $x={\frac {u+v}{2}},y={\frac {v-u}{2}}$ , aus der schließlich

|u+v|\leq |u|+|v|

und damit die Dreiecksungleichung folgt.

Anmerkungen

Hans Hornich hat in seiner Arbeit von 1948 gezeigt, dass die Ungleichung von Hornich-Hlawka in euklidischen Räumen weiter verallgemeinert werden kann.^[4] Diese Verallgemeinerung wird dann eher als Ungleichung von Hornich (engl. inequality of Hornich) bezeichnet.^[5]
Die obige Identität (H) wird explizit von Hornich genannt.^[6] Sie (und folglich auch die Identität von Hlawka) umfassen als Spezialfall die Parallelogrammgleichung. Diese gewinnt man, indem man für $x,y\in X$ die Setzung $a=c=y,b=x-y$ macht.

Weblinks

Literatur

Hans Hornich: Eine Ungleichung für Vektorlängen. In: Math. Z. Band 48, 1942, S. 268–274 (MR0008417).
Max Koecher: Lineare Algebra und analytische Geometrie (= Springer-Lehrbuch: Grundwissen Mathematik). 4., ergänzte und aktualisierte Auflage. Springer-Verlag, Berlin (u. a.) 1997, ISBN 3-540-62903-3.
D. S. Mitrinović: Analytic Inequalities. In cooperation with P. M. Vasić (= Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen mit besonderer Berücksichtigung der Anwendungsgebiete. Band 165). Springer Verlag, Berlin (u. a.) 1970, ISBN 3-540-62903-3 (MR0274686).

Einzelnachweise und Fußnoten

↑ Koecher: S. 177.
↑ In abkürzender Schreibung wird für $x,y\in X$ auch $xy=x\cdot y={\langle x,y\rangle }$ geschrieben.
↑ Ist der zugrunde liegende Körper $\mathbb {K} ={\mathbb {R} }$ , also gleich dem Körper der reellen Zahlen, so ist für $x,y\in X$ stets $xy\in {\mathbb {R} }$ und damit ${\overline {xy}}=\mathrm {Re} (xy)=xy$ .
↑ Hornich: Eine Ungleichung für Vektorlängen. In: Math. Z. Band 48, S. 268 ff.
↑ Mitrinović: S. 172–173.
↑ Hornich: Eine Ungleichung für Vektorlängen. In: Math. Z. Band 48, S. 274.

[Koecher-1] Koecher: S. 177.

[2] In abkürzender Schreibung wird für $x,y\in X$ auch $xy=x\cdot y={\langle x,y\rangle }$ geschrieben.

[3] Ist der zugrunde liegende Körper $\mathbb {K} ={\mathbb {R} }$ , also gleich dem Körper der reellen Zahlen, so ist für $x,y\in X$ stets $xy\in {\mathbb {R} }$ und damit ${\overline {xy}}=\mathrm {Re} (xy)=xy$ .

[4] Hornich: Eine Ungleichung für Vektorlängen. In: Math. Z. Band 48, S. 268 ff.

[5] Mitrinović: S. 172–173.

[6] Hornich: Eine Ungleichung für Vektorlängen. In: Math. Z. Band 48, S. 274.

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