Verklebesatz von Reshetnyak

Der Verklebesatz von Reshetnyak (engl. Reshetnyak gluing theorem) ist ein Lehrsatz der Geometrie, der anschaulich besagt, dass man durch Verkleben negativ gekrümmter Räume wieder negativ gekrümmte Räume erhält. Er ist nach Juri Reschetnjak benannt, der ihn 1968 bewies.

Ein klassischer (und viel einfacherer) Spezialfall betrifft das Verkleben zweier Riemannscher Mannigfaltigkeiten mittels einer Isometrie total geodätischer Untermannigfaltigkeiten. Wenn die Schnittkrümmung der beiden Mannigfaltigkeiten durch $\kappa$ nach oben beschränkt ist, dann gilt das auch für die Schnittkrümmung der durch Verkleben erhaltenen Mannigfaltigkeit.

Aussage

Sei $\kappa \in \mathbb {R}$. Seien $X_{1}$ und $X_{2}$ zwei vollständige lokalkompakte geodätische metrische Räume, die $\operatorname {CAT} (\kappa )$-Räume sind, d. h. jedes Dreieck ist mindestens so dünn, wie sein Vergleichsdreieck im $2$-dimensionalen Modellraum mit konstanter Krümmung $\kappa$.

Seien $C_{1}\subset X_{1}$ und $C_{2}\subset X_{2}$ konvexe Teilmengen und es gebe eine Isometrie $f\colon C_{1}\to C_{2}$.

Durch Verkleben der isometrischen Mengen $C_{1}$ und $C_{2}$ erhält man einen metrischen Raum

$X=X_{1}\cup _{f}X_{2}.$

Der Verklebesatz von Reshetnyak besagt, dass $X$ ebenfalls ein $\operatorname {CAT} (\kappa )$-Raum ist.

Literatur

• Y. Reshetnyak: Inextensible mappings in a space of curvature no greater than K. Siberian Mathematical Journal 9 (4), 683-689 (1968)
• D. Burgao, Y. Burago, S. Ivanov: A course in metric geometry. Graduate Studies in Mathematics. 33. Providence, RI: American Mathematical Society (AMS). xiv, 415 p. (2001).