Verklebungslemma

Das Verklebungslemma (englisch glueing lemma bzw. gluing lemma oder pasting lemma) ist ein elementarer Lehrsatz des mathematischen Teilgebiets der Allgemeinen Topologie. Es zeigt, wie unter gewissen Bedingungen stetige Abbildungen auf topologischer Räumen aus solchen auf Unterräumen stückweise zusammengefügt und damit gewissermaßen „zusammengeklebt“ werden können.

Formulierung des Lemmas

Es lässt sich zusammengefasst und in allgemeiner Darstellung formulieren wie folgt:

Gegeben seien zwei topologische Räume $X$ und $Y$.

Weiter gegeben seien eine Überdeckung $(A_{i})_{i\in I}$ von $X$ und dazu eine Familie stetiger Abbildungen $f_{i}\colon \,A_{i}\to Y$.

Dabei möge gelten:

(1) Für $i,j\in I$ und $x\in A_{i}\cap A_{j}$ sei stets $f_{i}(x)=f_{j}(x)$.

(2) Die $A_{i}$ seien entweder allesamt offene Teilmengen oder aber allesamt abgeschlossene Teilmengen von $X$, wobei letzterenfalls zusätzlich gelten solle, dass die Familie $(A_{i})_{i\in I}$ eine lokalendliche Überdeckung von $X$ darstelle.

Dann gilt:

Durch die Zuordnungsvorschrift

$x\mapsto f(x):=f_{i}(x)\;(i\in I\;,\;x\in A_{i})$

ist eine Abbildung

$f\colon \,X\to Y$

gegeben und diese ist stetig.

Folgerung

Das Lemma schließt das folgende häufig benutzte Kriterium in sich ein:

Hat ein topologischer Raum $X$ eine offene Überdeckung $(A_{i})_{i\in I}$ oder eine endliche abgeschlossene Überdeckung $(A_{i})_{i=1,\ldots ,n}\;(n\in \mathbb {N} )$, so ist eine auf ihm gegebene Abbildung $f\colon \,X\to Y$ in einen weiteren topologischen Raum $Y$ genau dann stetig, wenn jede einzelne eingeschränkte Abbildung $f|_{A_{i}}$ stetig ist.

Zum Beweis

Der Beweis des Lemmas beruht wesentlich auf der folgenden, für jede Teilmenge $B\subseteq Y$ gültigen Gleichung

$f^{-1}(B)=\bigcup _{i\in I}{f_{i}}^{-1}(B)$

sowie der Tatsache, dass (unter den jeweiligen Bedingungen!) eine Teilmenge $A\subseteq X$ offen (beziehungsweise abgeschlossen) in $X$ ist dann und nur dann, wenn jede der Schnittmengen $A\cap A_{i}\;(i\in I)$ offen (beziehungsweise abgeschlossen) in $A_{i}$ ist.

Siehe auch

• Finaltopologie

Literatur

• Thorsten Camps, Stefan Kühling, Gerhard Rosenberger: Einführung in die mengentheoretische und die algebraische Topologie (= Berliner Studienreihe zur Mathematik. Band 15). Heldermann Verlag, Lemgo 2006, ISBN 3-88538-115-X (MR2172813). 
• Fred H. Croom: Principles of Topology. Saunders, Philadelphia 1989, ISBN 0-03-012813-7. 
• Lutz Führer: Allgemeine Topologie mit Anwendungen. Vieweg Verlag, Braunschweig 1977, ISBN 3-528-03059-3. 
• I. M. Singer, J. A. Thorpe: Lecture Notes on Elementary Topology and Geometry (= Undergraduate texts in mathematics). Springer Verlag, New York / Heidelberg / Berlin 1976, ISBN 0-387-90202-3 (MR0413152). 
• Horst Schubert: Topologie. 4. Auflage. B. G. Teubner Verlag, Stuttgart 1975, ISBN 3-519-12200-6 (MR0423277).