Die Von-Neumann-Ungleichung ist eine Ungleichung aus dem mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis. Für eine lineare Kontraktion auf einem Hilbertraum und ein Polynom kann die Operatornorm von gegen eine Norm des Polynoms abgeschätzt werden.

Definitionen

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Eine Kontraktion auf einem  -Hilbertraum   ist ein stetiger, linearer Operator   mit Operatornorm  . Ist   ein Polynom mit komplexen Koeffizienten  , so kann man in der Algebra der stetigen, linearen Operatoren auf   die Einsetzung   und davon die Operatornorm   bilden. Auf der Algebra der Polynome ist durch die Formel   eine Norm definiert, wobei   die Einheitskreisscheibe sei. Die hier vorgestellte Ungleichung vergleicht diese beiden Größen.

Ist   eine Kontraktion auf einem Hilbertraum und ist   ein Polynom, so gilt

 .[1][2][3]

Bemerkungen

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  • Ist   eine Kontraktion, so ist das Spektrum   im Einheitskreis enthalten. Nach dem spektralen Abbildungssatz ist   und daher nach Definition des Spektralradius  :
 .
Aber zwischen Spektralradius und Operatornorm hat man nur die Abschätzung   und eine umgekehrte Abschätzung besteht im Allgemeinen nicht. Daher ist die Von-Neumann-Ungleichung echt stärker als die gerade gegebene Abschätzung des Spektralradius.
  • Ist   zusätzlich normal, so ist auch   normal und es gilt Norm = Spektralradius für normale Operatoren. In diesem Fall liefert obige Abschätzung des Spektralradius also bereits die Von-Neumann-Ungleichung. In diesem Sinne ist die Von-Neumann-Ungleichung für normale Operatoren einfach.
  • Beim klassischen Beweis zieht man sich auf den Hardy-Raum   als konkreten Hilbertraum zurück und verwendet dort die Struktur der Funktionen in  . Das erfordert ein gewisses Maß an Analysis und ist in[2] beschrieben. Ein alternativer Beweis besteht darin, auf einem größeren Hilbertraum   in geeigneter Weise einen unitären Operator   zu finden, so dass  , das heißt   ist eine Dilatation von   auf  , gefolgt von der Orthogonalprojektion auf  , um dann das Problem auf die obige einfache Abschätzung für normale Operatoren zurückzuführen, denn unitäre Operatoren sind normal.[1]

Zu John von Neumanns Originalarbeit

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Die hier behandelte Ungleichung wurde erstmalig 1952 in[4] bewiesen. John von Neumann betrachtete zu einem stetigen, linearen Operator   (die Bezeichnungen sind diesem Artikel angepasst und weichen daher von der Originalarbeit ab) auf einem Hilbertraum eine abgeschlossene Teilmenge   und nennt   eine Sprektralmenge zu  , wenn für alle rationalen Funktionen   mit   folgendes gilt:   existierst, das heißt ist   mit teilerfremden Polynomen   und  , so ist   invertierbar und daher  , und es ist  .

Er ging dann der Frage nach, für welche Operatoren   die Einheitskreisscheibe   eine Spektralmenge ist, und kam zu dem Satz:

  ist Spektralmenge für          .

Die Richtung „ “ ist klar, denn das Polynom   ist eine rationale Funktion mit  , und daher muss   sein, aber  , also  . Für die wesentlich schwierigere Umkehrung „ “ wurden Sätze von Issai Schur über analytische Funktionen verwendet. Es wurde gezeigt, dass für eine Kontraktion   die Ungleichung   für alle rationalen Funktionen   mit   und Polen außerhalb  .

Mittels Skalierung folgt sofort   für alle auf   beschränkten rationalen Funktionen und von Neumanns Resultat erscheint stärker als obige Ungleichung, die ja nur für Polynome formuliert ist. Da man aber jede in einer Umgebung von   holomorphe Funktion gleichmäßig auf   durch Polynome (etwa durch Taylorpolynome) approximieren kann, sind die beiden Ungleichungen im Wesentlichen gleichwertig.

Mehrere Kontraktionen

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Parrot stellte in[5] die Frage, ob für je   untereinander kommutierende Kontraktionen   und alle Polynome   in   Unbestimmten die Ungleichung

 

gilt. Diese Frage wurde von Sz.-Nagy und Foias in den Notes zu Kapitel I ihres unten angegebenen Lehrbuchs[6] aufgegriffen und mit Verweis auf ein Ergebnis von Ando für Dilatationen kommutierender Kontraktionen[7] für   bestätigt. Später haben Crabb und Davie auf einem 8-dimensionalen Hilbertraum drei Kontraktionen (letztlich also drei kommutierende  -Matrizen mit Norm  ) angegeben, für die obige Ungleichung verletzt ist.[8] Für mehr als zwei Kontraktionen gilt obige Ungleichung also nicht.

Die Ungleichung in Banachräumen

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Ersetzt man den Hilbertraum durch einen beliebigen Banachraum, so ist obige Ungleichung im Allgemeinen falsch. Um auch hier zu einer Abschätzung zu gelangen, kann man zu einer anderen Polynomnorm   übergehen, wobei   für die Kreisscheibe mit Radius   steht. Damit kann man beweisen:

Ist   eine Kontraktion auf einem Banachraum,   ein Polynom und ist  , so gilt

 [9]

Einzelnachweise

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  1. a b Paul Halmos: A Hilbert Space Problem Book. Springer, New York 1974, ISBN 978-1-4684-9330-6, S. 123, Problem 180 (englisch).
  2. a b Nikolai Nikolski: Toeplitz Matrices and Operators. Cambridge University Press, 2020, ISBN 978-1-107-19850-0, S. 55 f. (englisch).
  3. Włodzimierz Mlak: Hilbert Spaces and Operator Theory. Polish Scientific Publishers, Warschau 1991, ISBN 83-01-09965-8, S. 233 (englisch).
  4. John von Neumann: Eine Spektraltheorie für allgemeine Operatoren eines unitären Raums. In: Mathematische Nachrichten. Band 4, 1952, S. 258–281.
  5. Stephen Parrot: Unitary Dilations for Commuting Contractions. In: Pacific Journal of Mathematics. Band 34, Nr. 2, 1970, S. 481–490 (englisch).
  6. Bela Sz.-Nagy, Ciprian Foias: Harmonic Analysis of Operators on Hilbert Space. North Holland Publishing Company, 1970, ISBN 0-444-10046-6, Kapitel I (englisch).
  7. T. Ando: On a Pair of Commutative Contractions. In: Acta Scientarum Mathematicorum. Band 24, 1963, S. 88–90 (englisch).
  8. R. J. Crabb, A. M. Davie: Von Neumann Inequality for Hilbert Space Operators. In: Bulletin London Mathematical Society. Band 7, 1975, S. 49–50 (englisch).
  9. Nikolai Nikolski: Toeplitz Matrices and Operators. Cambridge University Press, 2020, ISBN 978-1-107-19850-0, S. 59 (englisch).