Weierstraßscher Doppelreihensatz

Der weierstraßsche Doppelreihensatz ist ein Resultat aus der Funktionentheorie des Mathematikers Karl Weierstraß. Er beschäftigt sich mit der Frage, wann die Summe unendlich vieler Potenzreihen konvergiert und wenn, welchen Wert sie annimmt.

Formulierung

Es sei

$f_{k}(z)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{kn}(z-z_{0})^{n},\ \ k\in \mathbb {N} _{0},\ \ a_{n},z_{0}\in \mathbb {C}$

eine Folge von Potenzreihen, die in der Kreisscheibe $B_{r}(z_{0})$ konvergent für $r>0$ ist. Ist außerdem die Reihe

$\sum _{k=0}^{\infty }f_{k}(z)$

kompakt konvergent. Dann ist die Grenzfunktion

$f(z):=\sum _{k=0}^{\infty }f_{k}(z)$

analytisch in $B_{r}(z_{0})$ und es gilt

$f(z)=\sum _{k=0}^{\infty }A_{k}(z-z_{0})^{k}$

mit $\textstyle A_{k}=\sum _{n=0}^{\infty }a_{kn}$.

Weblinks

• Weierstrass‘s Double Series Theorem (Wolfram MathWorld)
• Weierstrass double series theorem (Planetmath)