Woodbury-Matrix-Identität

Die Woodbury-Matrix-Identität, benannt nach Max A. Woodbury, besagt, dass die Inverse einer Rang-$k$-Korrektur einer Matrix $A$ als eine Rang-$k$-Korrektur der Inversen $A^{-1}$ ausgedrückt werden kann. Gängig sind auch die Bezeichnungen Sherman-Morrison-Woodbury-Formel oder nur Woodbury-Formel. Doch die Gleichung wurde schon vor Woodburys Bericht erwähnt.

Die Woodbury-Gleichung lautet

$\left(A+UCV\right)^{-1}=A^{-1}-A^{-1}U\left(C^{-1}+VA^{-1}U\right)^{-1}VA^{-1}$,

wobei $A$, $U$, $C$ und $V$ Matrizen des korrekten Formats bezeichnen. Genauer ist $A$ eine $n\times n$-Matrix, $U$ eine $n\times k$-Matrix, $C$ eine $k\times k$-Matrix und $V$ eine $k\times n$-Matrix.

Im Spezialfall $k=1$ und $C=1$, wird die Gleichung auch Sherman-Morrison-Formel genannt. Wenn $C$ die Einheitsmatrix $I$ ist, wird die Matrix $I+VA^{-1}U$ oft Kapazitätsmatrix genannt.

Anwendung

Die Identität ist nützlich in vielen numerischen Berechnungen, in denen $A^{-1}$ bereits berechnet ist und $(A+UCV)^{-1}$ benötigt wird. Mit der Inversen von $A$ ist es nur nötig, die Inverse von $C^{-1}+VA^{-1}U$ zu berechnen. Wenn $C$ eine wesentlich kleinere Dimension hat als $A$, ist das viel effizienter als $A+UCV$ direkt zu invertieren.

Die Formel wird auch in der Herleitung zu speicherplatzeffizienten Darstellungen von Quasi-Newton-Verfahren benutzt.

Siehe auch

• Reguläre Matrix

Weblinks

• Some matrix identities
• Eric W. Weisstein: Woodbury formula. In: MathWorld (englisch).