Ein Zwanzigeck oder Ikosagon (von altgriechisch εἰκοσάγωνος eikoságōnos, deutsch ‚zwanzigeckig‘)[1] ist ein Polygon mit 20 Seiten und 20 Ecken. Oft ist damit ein ebenes, regelmäßiges Zwanzigeck gemeint, bei dem alle Seiten gleich lang sind und alle Eckpunkte auf einem gemeinsamen Umkreis liegen. Im Folgenden wird nur noch das regelmäßige Zwanzigeck und das regelmäßige überschlagene Zwanzigeck betrachtet.

Regelmäßiges Zwanzigeck
Regelmäßiges Zwanzigeck

Der Mittelpunktswinkel beträgt

 

Die Seitenlänge im Vergleich zum Umkreisradius   beträgt:

 
 

mit

 

Diagonalen

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Das Zwanzigeck besitzt 170 Diagonalen:

  • 20 Diagonalen über 2 (bzw. 18) Seiten
  • 20 Diagonalen über 3 (bzw. 17) Seiten
  • 20 Diagonalen über 4 (bzw. 16) Seiten
  • 20 Diagonalen über 5 (bzw. 15) Seiten
  • 20 Diagonalen über 6 (bzw. 14) Seiten
  • 20 Diagonalen über 7 (bzw. 13) Seiten
  • 20 Diagonalen über 8 (bzw. 12) Seiten
  • 20 Diagonalen über 9 (bzw. 11) Seiten
  • 10 Diagonalen über 10 Seiten

Die Längen im Verhältnis zum Umkreisradius betragen:

  • Die Diagonale über zwei Seiten entspricht der Seite eines Zehnecks mit gleichem Umkreis:
    •  
  • Die Diagonale über drei Seiten:
    •  
  • Die Diagonale über vier Seiten entspricht der Seite eines Fünfecks mit gleichem Umkreis:
    •  
  • Die Diagonale über fünf Seiten entspricht der Seite eines Quadrats mit gleichem Umkreis:
    •  
  • Die Diagonale über sechs Seiten:
    •  
  • Die Diagonale über sieben Seiten:
    •  
  • Die Diagonale über acht Seiten:
    •  
  • Die Diagonale über neun Seiten:
    •  
  • Die Diagonale über zehn Seiten entspricht dem Durchmesser des Umkreises:
    •  

Die Fläche eines regelmäßigen Zwanzigecks mit der Seitenlänge   und dem Umkreisradius   wird durch die folgenden Formeln berechnet.

 
 

Konstruktion

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Das regelmäßige Zwanzigeck ist als Konstruktion mit Zirkel und Lineal darstellbar, die hauptsächlichen Konstruktionsmerkmale werden bereits im Fünfeck bzw. im Zehneck verwendet.

Konstruktion bei gegebenem Umkreis

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Die Konstruktion im Bild 1 ist nahezu gleich der des Zehnecks bei gegebenem Umkreis.[2]

Es beginnt mit dem gegebenen Durchmessers   und dessen Halbierung im Mittelpunkt   Nach dem Ziehen des Umkreises um   durch   wird senkrecht zum Durchmesser   die Mittelachse eingezeichnet; Schnittpunkte sind die beiden ersten Eckpunkte   und   des entstehenden Zwanzigecks. Es folgt die Halbierung der Strecke   in  , dabei ergeben sich die Schnittpunkte   und   auf dem Umkreis. Nun wird ein Kreisbogen um   mit dem Radius   gezogen, bis er die Strecke   in   schneidet. Die Strecke   ist somit nach dem goldenen Schnitt mit äußerer Teilung geteilt. Noch einen kurzen Kreisbogen um   mit dem Radius   der den Umkreis im Eckpunkt   schneidet, anschließend die Verbindung des Eckpunktes   mit dem Punkt  , jetzt auch zugleich   dann ist die erste Seitenlänge   des Zwanzigecks konstruiert. Abschließend die Seitenlänge   fünfzehn Mal gegen den Uhrzeigersinn auf den Umkreis abtragen und die benachbarten Eckpunkte miteinander verbinden, das regelmäßige Zwanzigeck ist somit konstruiert.

Bild 1: Regelmäßiges Zwanzigeck bei gegebenem Umkreis
Bild 2: Alternative Konstruktion des regelmäßigen Zwanzigecks
Anzahl der Konstruktionsschritte nahezu gleich denen im Bild 1

Konstruktion bei gegebener Seitenlänge

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Bild 3: Regelmäßiges Zwanzigeck bei gegebener Seitenlänge
Animation siehe

Die Konstruktion im Bild 3 ist nahezu gleich der des Zehnecks bei gegebener Seitenlänge. Die gepunkteten Linien sind für die Konstruktion nicht erforderlich, sie dienen lediglich zur Veranschaulichung der folgenden Beschreibung.

Zuerst werden die Enden der Seitenlänge   mit den ersten Eckpunkten   (rechts) und   bezeichnet. Es folgt je ein Kreisbogen mit dem Radius   um die Punkte   und  ; deren Schnittpunkte sind   und   Anschließend wird eine Halbgerade ab   durch   gezogen; sie halbiert die Seitenlänge   in   Eine Senkrechte auf   ab   schließt sich an und erzeugt den Schnittpunkt   Verlängert man nun die Strecke   über   hinaus um ca. den gleichen Längenbetrag und schlägt danach einen Kreisbogen um   mit dem Radius  , wird der Schnittpunkt   auf der Verlängerung erzeugt. Die Strecke   ist somit nach dem goldenen Schnitt mit äußerer Teilung geteilt. Jetzt wird um   ein Kreisbogen mit dem Radius   geschlagen, der die senkrechte Halbgerade in   schneidet. In dem damit entstandenen gleichschenkligen Dreieck   entspricht der Winkel am Winkelscheitel   dem Zentriwinkel   eines regelmäßigen Zehnecks,

denn bei einer Seitenlänge   gilt im rechtwinkligen Dreieck  

 

mit eingesetzten Werten

 

daraus folgt für Winkel  

 

somit ist der Winkel   und damit gleich dem Zentriwinkel des Zehnecks.

Es geht weiter mit dem Kreisbogen um den Punkt   mit dem Radius  , der die Halbgerade, die ab   durch   verläuft, in   und in   schneidet. Wegen   ist nach dem Zentriwinkelsatz der Winkel   am Winkelscheitel   halb so groß, als der Zentriwinkel   des Zehnecks. Aufgrund dessen ist   der Mittelpunkt des gesuchten Zwanzigecks mit dessen Zentriwinkel   Jetzt nur noch den Umkreis um den Mittelpunkt   ziehen, die Seitenlänge   sechzehn Mal gegen den Uhrzeigersinn auf den Umkreis abtragen und die benachbarten Eckpunkte miteinander verbinden, danach ist das regelmäßige Zwanzigeck konstruiert.

Regelmäßige überschlagene Zwanzigecke

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Ein regelmäßiges überschlagenes Zwanzigeck ergibt sich, wenn beim Verbinden der zwanzig Eckpunkte jedes Mal mindestens einer übersprungen wird und die somit erzeugten Sehnen gleich lang sind. Notiert werden solche regelmäßigen Sterne mit Schläfli-Symbolen  , wobei   die Anzahl der Eckpunkte angibt und jeder  -te Punkt verbunden wird.

Es gibt nur drei regelmäßige Zwanzigstrahlsterne, auch Ikosagramme genannt.

Die „Sterne“ mit den Schläfli-Symbolen {20/2} und {20/18} sind regelmäßige Zehnecke, die mit den Schläfli-Symbolen {20/4} und {20/16} sind Fünfecke, die mit den Schläfli-Symbolen {20/5} und {20/15} sind Quadrate. Der Stern mit den Schläfli-Symbolen {20/6} und {20/14} ist ein Zehnstrahlstern, auch Dekagramm genannt.

Vorkommen

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Wiktionary: Zwanzigeck – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

Einzelnachweise

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  1. Wilhelm Pape, Max Sengebusch (Bearb.): Handwörterbuch der griechischen Sprache. 3. Auflage, 6. Abdruck. Vieweg & Sohn, Braunschweig 1914 (zeno.org [abgerufen am 2. Juli 2024]).
  2. Henry Green: Euclid's Plane Geometry, Books III–VI, Practically Applied, or Gradations in Euclid, Part II. In: books.google.de. London: Simpkin, Marshall,& CO., im Jahr 1861, S. 116, abgerufen am 10. Februar 2018.