Zyklisch angeordnete Gruppe

In der Mathematik ist eine zyklisch angeordnete Gruppe eine Gruppe mit einer von der Links- und Rechtsmultiplikation erhaltenen zyklischen Anordnung. Wenn die zyklische Anordnung nur von der Linksmultiplikation erhalten wird, spricht man von einer linkszyklisch angeordneten Gruppe (engl.: left circularly ordered group).

Zyklisch angeordnete Gruppen

Eine Gruppe $G$ ist genau dann zyklisch angeordnet, wenn sie sich als Quotient $G=L/Z$ einer angeordneten Gruppe $L$ nach einer von einem zentralen Element erzeugten kofinalen Untergruppe $Z$ ist.

Eine Gruppe $G$ ist genau dann zyklisch angeordnet, wenn sie Untergruppe eines Produkts $T\times L$ der Kreisgruppe $T$ mit einer angeordneten Gruppe $L$ ist.

Linkszyklisch angeordnete Gruppen

Eine abzählbare Gruppe ist genau dann eine linkszyklisch angeordnete Gruppe, wenn sie eine Untergruppe von $Homeo^{+}(S^{1})$, der Gruppe der orientierungs-erhaltenden Homöomorphismen des Kreises ist.

Zu einer Untergruppe von $Homeo^{+}(S^{1})$ hat man ihre Euler-Klasse $e$. Die linkszyklisch angeordnete Gruppe ist genau dann eine links angeordnete Gruppe, wenn $e=0$ ist.

Literatur

• D. Calegari: Foliations and the geometry of 3-manifolds. Oxford Mathematical Monographs, 2007.