Zyklischer Untervektorraum

In der Mathematik der Linearen Algebra versteht man unter einem Zyklischen Untervektorraum einen Untervektorraum eines Vektorraums zusammen mit einem Vektor und einem Endomorphismus des Obervektorraums. Für einen Endomorphismus $f$ und einen Vektor $v$ von $V$ nennt man diesen auch $f$-zyklischen Untervektorraum zu $v$ und $v$ zyklischen Vektor von $f$. Zyklische Unterräume sind ein wichtiger Bestandteil des zyklischen Zerlegungssatzes der Linearen Algebra.

Definition

Sei $V$ ein endlich-dimensionaler Vektorraum, $f:V\rightarrow V$ ein Endomorphismus und $v$ ein Vektor aus $V$. Der $f$-zyklische Untervektorraum von $V$ zu $v$, im Englischen meist $Z(v;f)$ geschrieben, ist der $f$-invariante Untervektorraum von $V$ mit dem Aufspann:$\langle v,f(v),f^{2}(v),\ldots ,f^{r}(v),\ldots \rangle$.

Nach Definition des Aufspanns eines Vektorraums ist dies also äquivalent dazu, dass jeder Vektor aus $Z(v;f)$ sich als $g(f)v$ schreiben lässt, wobei $g(x)$ aus dem Polynomring $K[x]$ stammt, wobei der Körper $K$ jener ist, über den der Vektorraum induziert wird.

Beispiele

1. Für alle $V$ und $f$ ist $Z(0;f)$ der Nullvektorraum.
2. Ist $I$ die Identitätsabbildung so ist $Z(v;I)$ null- oder ein-dimensional.
3. $Z(v;f)$ ist genau dann ein-dimensional, wenn $v$ ein Eigenvektor von $f$ ist.
4. Sei $V$ der zwei-dimensionale $\mathbb {R}$-Vektorraum und sei $f$ der Endomorphismus von $V$ mit darstellender Matrix ${\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}$ bezüglich der kanonischen Einheitsbasis von $V$. Sei $v={\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}$. Dann gilt: $f(v)={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}},\quad f^{2}(v)=0,\ldots ,f^{r}(v)=0,\ldots$Also folgt: $\langle v,f(v),f^{2}(v),\ldots ,f^{r}(v),\ldots \rangle =\left\langle {\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}\right\rangle$ und somit $Z(v;f)$ $=V$ . Damit ist $v$ ein zyklischer Vektor zu $f$.

Begleitmatrix

Sei $f:V\rightarrow V$ Endomorphismus eines $n$-dimensionalen $K$-Vektorraums $V$ und sei $v$ ein zyklischer Vektor zu $f$. Dann bilden die Vektoren

$\mathrm {B} =\{v_{1}=v,v_{2}=f(v),v_{3}=f^{2}(v),\ldots ,v_{n}=f^{n-1}(v)\}$

eine Basis von $V$. Dies lässt sich leicht per Widerspruch zur Minimalität des Minimalpolynom beweisen. Sei nun das charakteristische Polynom von $f$ durch

$p(x)=c_{0}+c_{1}x+c_{2}x^{2}+\cdots +c_{n-1}x^{n-1}+x^{n}$. gegeben.

Dann folgt:

${\begin{aligned}f(v_{1})&=v_{2}\\f(v_{2})&=v_{3}\\f(v_{3})&=v_{4}\\\vdots &\\f(v_{n-1})&=v_{n}\\f(v_{n})&=-c_{0}v_{1}-c_{1}v_{2}-\cdots c_{n-1}v_{n}\end{aligned}}$

Also hat die darstellende Matrix von $f$ bezüglich der Basis $\mathrm {B}$ die Form:

${\begin{pmatrix}0&0&0&\cdots &0&-c_{0}\\1&0&0&\ldots &0&-c_{1}\\0&1&0&\ldots &0&-c_{2}\\\vdots &&&&&\\0&0&0&\ldots &1&-c_{n-1}\end{pmatrix}}$

Die Matrix nennt man auch die Begleitmatrix von $p(x)$.

Siehe auch

• Begleitmatrix
• Krylowraum

Weblinks

• PlanetMath: cyclic subspace