Abelsche Lie-Gruppe

Abelsche Lie-Gruppen sind ein Begriff aus der mathematischen Theorie der Lie-Gruppen und Lie-Algebren.

Definition

Eine Lie-Gruppe heißt abelsch, wenn ihre Gruppenmultiplikation kommutativ ist.

Für zusammenhängende Lie-Gruppen ist dies äquivalent dazu, dass die Lie-Algebra der Lie-Gruppe eine abelsche Lie-Algebra, also die Lie-Klammer identisch null ist.

Eigenschaften

Für eine abelsche Lie-Gruppe $G$ und ihre Lie-Algebra ${\mathfrak {g}}$ ist die Exponentialabbildung $\exp \colon {\mathfrak {g}}\to G$ ein Homomorphismus, es gilt also

$\exp(X+Y)=\exp(X)\exp(Y)$

für alle $X,Y\in {\mathfrak {g}}$. Dies folgt aus der Tatsache, dass die Multiplikationsabbildung $m\colon G\times G\to G$ das Differential $(X,Y)\to X+Y$ hat und für abelsche Gruppen (und nur diese) $m$ ein Homomorphismus ist, sowie aus $\exp(Dm(X,Y))=m(\exp(X),\exp(Y))$.

Weiterhin ist für abelsche Gruppen die Exponentialabbildung surjektiv und hat einen diskreten Kern.

Beispiele

Die Kreisgruppe $S^{1}$ ist eine abelsche Lie-Gruppe. Sie ist isomorph zur speziellen orthogonalen Gruppe $SO(2)$ und zur unitären Gruppe $U(1)$.

Ebenso ist der Torus $\mathbb {T} ^{2}=S^{1}\times S^{1}$ eine abelsche Lie-Gruppe.

Klassifikation

Jede kompakte, zusammenhängende, abelsche Lie-Gruppe ist ein $n$-Torus $\mathbb {T} ^{n}=\underbrace {\mathbb {S} ^{1}\times \cdots \times \mathbb {S} ^{1}} _{n\ {\text{mal}}}$ für ein $n\in \mathbb {N}$.

Jede zusammenhängende, abelsche Lie-Gruppe ist isomorph zu $\mathbb {R} ^{k}\times \mathbb {T} ^{n}$ für natürliche Zahlen $k,n$.

Jede abelsche Lie-Gruppe ist isomorph zu $F\times \mathbb {R} ^{k}\times \mathbb {T} ^{n}$ für eine endliche abelsche Gruppe $F$ und $k,n\in \mathbb {N}$.