Absolute Galoisgruppe

Die absolute Galoisgruppe $G_{K}$ eines Körpers $K$ ist die Galoisgruppe, welche zum separablen Abschluss $K^{\mathrm {sep} }/K$ gehört. Sie ist eindeutig bis auf Isomorphie. Im Allgemeinen ist die Körpererweiterung $K^{\mathrm {sep} }/K$ von unendlichem Grad, weshalb der Hauptsatz der Galoistheorie als solcher nicht mehr anwendbar ist. Das Studium von $G_{K}$ verspricht Information über sämtliche endlichen galoisschen Körpererweiterungen $L/K$, insbesondere Hinweise zur Lösung des Umkehrproblems der Galoistheorie.

Beispiele

• Für einen perfekten Körper $K$ ist der separable Abschluss gleich dem algebraischen Abschluss, also $K^{\mathrm {sep} }={\overline {K}}$.
  • Wegen ${\overline {\mathbb {R} }}=\mathbb {C}$ ist $G_{\mathbb {R} }=\{\mathrm {id} ,c\}$, wobei $c$ die komplexe Konjugation bezeichnet.
  • Für $K=\mathbb {Q}$ wurde bisher keine explizite Charakterisierung von $G_{K}$ gefunden. Man erhofft sich Aussagen aus dem Satz von Belyi, nach dem $G_{K}$ treu auf bestimmten Graphen, den sogenannten dessins d' enfants, operiert. Die Absolute Galoisgruppe über den rationalen Zahlen ist wichtig in der Zahlentheorie und Gegenstand der inzwischen bewiesenen Serre-Vermutung.
  • Wenn $\mathbb {F} _{q}$ der Körper mit $q$ Elementen ist, gilt $G_{\mathbb {F} _{q}}=\lim _{\longleftarrow }\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} =:{\hat {\mathbb {Z} }}$, wobei auf der rechten Seite der projektive Limes von $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} ~(n\in \mathbb {N} )$, die Gruppe der proendlichen Zahlen, steht.

Literatur

• Jürgen Neukirch: Algebraische Zahlentheorie, Springer-Verlag.