Serre-Vermutung

mathematischer Satz

Die Serre-Vermutung ist ein mathematischer Satz über Galois-Darstellungen und Modulformen, der im Jahr 2006 von Chandrashekhar Khare, Jean-Pierre Wintenberger und Mark Kisin bewiesen wurde. Die Serre-Vermutung impliziert den Modularitätssatz und damit auch den großen Satz von Fermat. Die Serre-Vermutung geht auf eine Vermutung von Jean-Pierre Serre zurück.[1][2]

Unabhängig von Khare und Wintenberger bewies auch Luis Dieulefait 2004 Spezialfälle der Serre-Vermutung, die für den Beweis des großen Satzes von Fermat ausreichen.

Formulierung

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Die Vermutung betrifft Darstellungen (Galois-Darstellungen) der absoluten Galoisgruppe   der rationalen Zahlen  . Die absolute Galoisgruppe enthält alle Galoisgruppen von Automorphismen von algebraischen Zahlkörpern, die als endliche galoissche Erweiterungen des Körpers der rationalen Zahlen gegeben sind.

Sei   eine absolut irreduzible, stetige und ungerade[3] zweidimensionale Darstellung von   über einem endlichen Körper

 

der Charakteristik  ,

 

Nach der Vermutung von Serre wird jede solche Darstellung durch eine Darstellung im Raum der Spitzenformen zur Kongruenzuntergruppe   der Stufe  , Gewicht  , und Nebentypus[4]

 

festgelegt, wobei Modulformen in Charakteristik   mit Koeffizienten der Fourierentwicklung in   betrachtet werden. Die Wirkung der absoluten Galoisgruppe in dieser Darstellung wird durch die Hecke-Operatoren beschrieben, linearen Abbildungen im Raum der Spitzenformen dieses Typs. Es gibt eine normierte Hecke-Eigenform, sie ist simultane Eigenfunktion aller Heckeoperatoren, mit der Fourierentwicklung

 

Spezielle Elemente der absoluten Galoisgruppe  , die Frobeniuselemente   zur Primzahl p, beinhalten wesentliche Informationen zur Arithmetik der Zahlkörper. Nach der Vermutung von Serre gilt weiter für alle Primzahlen  , teilerfremd zu  :

 

und

 

Das heißt, Spur und Determinante – und damit im Wesentlichen die Wirkung der Frobeniusabbildung in der betrachteten Darstellung – werden durch die Hecke-Eigenform festgelegt. Serre vermutete sogar (und zeigte dies explizit an Beispielen), dass sich die Parameter der Darstellung   (Stufe, Gewicht, Nebentypus) explizit berechnen lassen (starke Serre-Vermutung).

Es war bereits sehr lange durch tiefe Sätze von Gorō Shimura, Pierre Deligne, Barry Mazur und Robert Langlands[5] bekannt, dass man jeder Hecke-Eigenform   eine Darstellung (wie oben gefordert) zuordnen kann. Die Serre-Vermutung behauptet die Umkehrung: Jede irreduzible, stetige und ungerade Darstellung stammt von einer Modulform.

Literatur

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Originalarbeiten der Beweise:

  • Chandrashekhar Khare: Serre's modularity conjecture: The level one case, Duke Mathematical Journal, Band 134, 2006, S. 557–589
  • Chandrashekhar Khare, Jean-Pierre Wintenberger: Serre’s Modularity Conjecture, Teil 1,2, Inventiones Mathematicae, Band 158, 2009, S. 485–504, 505–586, Teil I (PDF-Datei; 344 kB), Teil II (PDF-Datei; 974 kB)
  • Khare, Wintenberger: On Serre’s reciprocity conjecture for 2-dimensional mod p representations of Gal( ), Annals of Mathematics, Band 169, 2009, S. 229–253
  • Luis Dieulefait: The level 1 weight 2 case of Serre's conjecture, Revista Matemática Iberoamericana, Band 23, 2007, S. 1115–1124.
  • Mark Kisin: Modularity of 2-adic Barsotti-Tate representations, Inventiones Mathematicae, Band 178, 2009, S. 587–634, Preprints, Kisin

Zur Serre-Vermutung:

  • William A. Stein, Ken Ribet: Lectures on Serre’s conjecture, in: Brian Conrad, Karl Rubin (Hrsg.), Arithmetical algebraic geometry (Park City 1999), IAS/Park City Lectures 9, American Mathematical Society, 2001, S. 143–232, pdf
  • Gabor Wiese: Der Zusammenhang zwischen Modulformen und Zahlkörpern, Essener Unikate Nr. 33, 2007, pdf
  • L. J. P. Kilford: Modular forms, Imperial College Press 2008, Kapitel 6.2 (Galois representations attached to mod p modular forms), S. 152ff

Einzelnachweise

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  1. Serre, Valeurs propres de opérateurs de Hecke modulo l, Astérisque, Band 24/25, 1975, S. 109–117
  2. Serre, Sur les représentations modulaires de degré 2 de  , Duke Mathematical Journal, Band 54, 1987, S. 179–230
  3. Ungerade bedeutet, dass das Element der Galoisgruppe, das der komplexen Konjugation entspricht, in der Darstellung durch die Matrix -1 repräsentiert ist
  4. Für die Definition der Begriffe siehe Modulform
  5. Siehe Theorem 3.26 in Haruzo Hida: Modular Forms and Galois cohomology. Cambridge University Press, Cambridge 2000.
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