Arcsin-Verteilung

Die Arcsin-Verteilung, auch Arkussinus-Verteilung genannt, ist eine univariate Wahrscheinlichkeitsverteilung. Sie ist ein Spezialfall der Beta-Verteilung mit den Parametern $p=q={\tfrac {1}{2}}$ und spielt eine wichtige Rolle in der Theorie der brownschen Bewegung.

Arcsin-Verteilung
Dichtefunktion
Verteilungsfunktion
Parameter	keine
Träger	$x\in [0,1]$
Dichtefunktion	${\frac {1}{\pi {\sqrt {x(1-x)}}}}$
Verteilungsfunktion	${\frac {2}{\pi }}\arcsin \left({\sqrt {x}}\right)$
Erwartungswert	${\frac {1}{2}}$
Median	${\frac {1}{2}}$
Modus	$\{0,1\}$
Varianz	${\frac {1}{8}}$
Schiefe	$0$

Definition

Die Arcsin-Verteilung ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung auf $[0,1]$. Sie ist definiert durch ihre Verteilungsfunktion

$F(x)={\frac {2}{\pi }}\arcsin \left({\sqrt {x}}\right),\ \ \ x\in [0,1]$

und ihre Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion

$f(x)={\begin{cases}{\frac {1}{\pi {\sqrt {x(1-x)}}}}&{\text{wenn}}\;x\in (0,1)\\0&{\text{wenn}}\;x\in \{0,1\}\\\end{cases}}$.

Eigenschaften

Es sei $X$ eine arcsin-verteilte Zufallsvariable.

Erwartungswert und Varianz

Der Erwartungswert ergibt sich zu

$\operatorname {E} (X)={\frac {1}{2}}$

und die Varianz zu

$\operatorname {Var} (X)={\frac {1}{8}}$.

Symmetrie

Die Arcsin-Verteilung ist symmetrisch um 0,5.

Arcsin-Gesetze

Es gibt eine Vielzahl von Arcsin-Gesetzen. Veröffentlichungen dazu stammen unter anderem von Paul Lévy, Paul Erdős, Mark Kac und Erik Sparre Andersen. Nach ihnen sind die Arcsin-Gesetze zum Teil benannt.

Die folgenden Arcsin-Gesetze treffen Aussagen über die Dauer, wie lange sich ein stochastischer Prozess im positiven Bereich aufhält. Es können stattdessen auch die Abbildungen:

• frühester Zeitpunkt eines Maximums und
• dem Zeitpunkt, wann zum letzten Mal der Ursprung gekreuzt wird

betrachtet werden, wobei dann gegebenenfalls weitere Annahmen getroffen werden müssen.

Arcsin-Gesetz von Paul Lévy

Die Zeitlängen, die ein eindimensionaler Standard-Wiener-Prozess $(W_{t})_{t\in [0,1]}$ positiv ist, sind arcsin-verteilt. Das heißt für

$U:=\lambda (\{t\in [0,1]\mid W_{t}>0\}),\ \ \ x\in [0,1]$,

gilt

$P(U\leq x)=F(x),\ \ \ x\in [0,1]$,

wobei $\lambda$ das eindimensionale Lebesgue-Maß bezeichnet.

Arcsin-Gesetz von Paul Erdős und Mark Kac

Sei $(X_{i})_{i\in \mathbb {N} }$ eine Folge von eindimensionalen, unabhängigen und identisch verteilten Zufallsvariablen. Weiter wird angenommen, dass sie Erwartungswert 0 und Varianz 1 haben. Die fortlaufenden Anzahlen der Summen

$S_{k}:=X_{1}+\dotsb +X_{k},\ \ \ k\in \mathbb {N}$,

die positiv sind, sind definiert durch

$N_{n}:=|\{k\in \{1,\dotsc ,n\}\mid S_{k}>0\}|,\ \ \ n\in \mathbb {N}$.

Dann gilt die folgende Konvergenz in Verteilung

$\lim _{n\rightarrow \infty }P\left({\frac {N_{n}}{n}}\leq x\right)=F(x),\ \ \ x\in [0,1]$.

Die Annahmen können variiert werden, sofern der Zentrale Grenzwertsatz weiterhin für $(X_{i})_{i\in \mathbb {N} }$ gilt.

Arcsin-Gesetz von Erik Sparre Andersen

Sei $(X_{i})_{i\in \mathbb {N} }$ eine Folge von Zufallsvariablen. Zu jeder Auswahl von endlich vielen Zufallsvariablen existieren die gemeinsamen Dichten und diese sind invariant bezüglich s-Permutationen. Eine s-Permutation besteht aus der Kompositionen einer Permutation und Vorzeichenwechsel in beliebigen Koordinaten. Dann gilt analog zum Arcsin-Gesetz von Erdős und Kac für die Summen $S_{k},\ k\in \mathbb {N} ,$ und die die Anzahl von positiven Zufallsvariablen $N_{n},n\in \mathbb {N} ,$ die folgende Konvergenz in Verteilung

$\lim _{n\rightarrow \infty }P\left({\frac {N_{n}}{n}}\leq x\right)=F(x),\ \ \ x\in [0,1]$.

Diskrete Arcsin-Verteilung

Beispiele zur Wahrscheinlichkeitsfunktion $g_{n}(m)$ der diskreten Arcsin-Verteilung, wobei $n$ einem Parameter und $m\in \{0,\dotsc ,n\}$ einer Ausprägung entspricht.

In der Fluktuationstheorie konnte Erik Sparre Andersen zeigen, dass die sogenannte diskrete Arcsin-Verteilung von Bedeutung ist. Diese ist für jeden Parameter $n\in \mathbb {N} \cup \{0\}$ durch ihre Wahrscheinlichkeitsfunktion

$g_{n}(m)=(-1)^{n}{\binom {-{\frac {1}{2}}}{m}}{\binom {-{\frac {1}{2}}}{n-m}},\ \ \ m\leq n$

und ihre Verteilungsfunktion

$G_{n}(x)=\sum \limits _{m=0}^{\lfloor x\rfloor }(-1)^{n}{\binom {-{\frac {1}{2}}}{m}}{\binom {-{\frac {1}{2}}}{n-m}},\ \ \ x\in [0,n]$

definiert.

Der Name ist durch ihr Konvergenzverhalten zur Arcsin-Verteilung begründet, so gilt die gleichmäßige Konvergenz

$\lim _{n\rightarrow \infty }\sup _{x\in [0,1]}\mid G_{n}(n\cdot x)-F(x)\mid =0$.

Erik Sparre Andersen zeigte die entsprechende Konvergenz in Verteilung im gleichen Zug mit dem vorigen Arcsin-Gesetz.

Literatur

• William Feller: An introduction to probability theory and its applications. Band 2. Wiley, 1971. 
• Konrad Jacobs: Discrete Stochastics. Birkhäuser, Basel 2012, ISBN 3-0348-8645-4.