Eine Galois-Darstellung ist eine Darstellung einer Galoisgruppe auf einem Vektorraum oder allgemeiner einem Modul über einem kommutativen Ring. Häufig fordert man Stetigkeit bezüglich der Krulltopologie der Galoisgruppe und einer Topologie auf dem Koeffizientenring.

Motivation

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Eines der fundamentalen Objekte der Zahlentheorie sind algebraische Zahlkörper. Erkenntnisse über Zahlkörper haben unmittelbare Konsequenzen für die Lösbarkeit von Diophantischen Gleichungen. Eine wichtige Invariante eines Zahlkörpers   ist seine absolute Galoisgruppe  , das ist die Gruppe der  -linearen Körperautomorphismen eines fixierten algebraischen Abschlusses   von  . Ihre Struktur ist so reichhaltig, dass es sich schwierig gestaltet, sie mit rein gruppentheoretischen Methoden zu untersuchen. Man untersucht in speziellen Situationen Darstellungen von  , um somit indirekt etwas über   und damit letztlich über   zu erfahren.

Artin-Darstellungen

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Sei   ein Zahlkörper. Eine Artin-Darstellung von   ist eine stetige Darstellung von   auf einem endlich-dimensionalen komplexen Vektorraum. Emil Artin formulierte mithilfe dieser Darstellungen das Artinsche Reziprozitätsgesetz. Die bis heute unbewiesene Artin-Vermutung besagt, dass die Artinsche L-Funktion einer nicht trivialen irreduziblen Artin-Darstellung eine eindeutige holomorphe Fortsetzung auf   hat.

Da Artin-Darstellungen endliches Bild haben, ist die Kategorie der Artin-Darstellungen einer gegebenen proendlichen Gruppe eine halbeinfache Tannaka-Kategorie.

l-adische Darstellungen

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Sei   eine proendliche Gruppe und   ein  -adischer lokaler Körper, das heißt eine endliche Körpererweiterung von   mit der  -adischen Topologie. Eine  -adische Darstellung von   über   ist ein endlich-dimensionaler  -Vektorraum zusammen mit einem stetigen Homomorphismus  . Man spricht von einer  -adischen Galois-Darstellung, wenn   eine Galoisgruppe ist.

Sei   der Ganzheitsring von  . Jede  -adische Darstellung stabilisiert einen freien  -Untermodul von  , der   als  -Vektorraum erzeugt. So kann eine  -adische Darstellung auch auf einem freien  -Untermodul endlichen Ranges definiert werden.

Manchmal wird als Koeffizientenkörper   mit der Vereinigungstopologie endlicher Erweiterungen von   genommen. Diese Definition ist im Wesentlichen äquivalent, da jede solche Darstellung einer proendlichen Gruppe über einer endlichen Erweiterung von   definiert ist.

Beispiele für  -adische Darstellungen sind der  -adische zyklotomische Charakter oder der  -adische Tate-Modul einer abelschen Varietät.

Mod-l-Darstellungen

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Eine mod- -Darstellung einer proendlichen Gruppe   ist ein endlich-dimensionaler Vektorraum   über einem endlichen Körper der Charakteristik   zusammen mit einem stetigen Homomorphismus  .

Mod- -Darstellungen entstehen durch Reduktion modulo   aus  -adischen Darstellungen. Die Reduktion einer  -adischen Darstellung über einem endlich-dimensionalen Vektorraum ist bis auf Isomorphie eindeutig bestimmt.

Darstellungen der Weil-Gruppe

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Ist   ein globaler oder lokaler Körper, so ist zu der entsprechenden Klassenformation eine Weil-Gruppe   definiert. Durch Verkettung mit dem kanonischen Homomorphismus   wird jede stetige Darstellung von   zu einer stetigen Darstellung von  . Die lokal proendliche Gruppe   hat echt mehr stetige Darstellungen als  . So ist beispielsweise durch den Betrag ein Charakter   mit unendlichem Bild gegeben. Durch den Klassenkörperisomorphismus   definiert das einen Charakter von   mit unendlichem Bild, die folglich nicht von einem Charakter von   kommt.

p-adische Hodge-Theorie

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Ist   ein  -adischer lokaler Körper, so beschäftigt sich die p-adische Hodge-Theorie mit der Klassifikation  -adischer Darstellungen von  .

Galois-Kohomologie

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Man kann Gruppenkohomologie auch für proendliche Gruppen definieren. Für Galoisgruppen spricht man dann von Galois-Kohomologie.

Literatur

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