Benutzer:EyeShape/InBearbeitung/Symmetrische Algebra

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Die Symmetrische Algebra ist ein mathematischer Begriff, der aus dem mathematischen Teilgebiet der Algebra stammt und insbesondere in der kommutativen Algebra sowie der Darstellungstheorie eine Rolle spielt. Bei ihr handelt es sich um eine kommutative, assoziative und unitäre Algebra, die spezielle universelle Eigenschaften erfüllt.

Definition

Sei V ein Vektorraum über einem Körper $k$. Die Symmetrische Algebra ist nun ein Quotient einer größeren Algebra, der Tensoralgebra, nach einem geeigneten Ideal, welches die gewünschte Identifikation von Elementen und damit die charakteristischen Eigenschaften der Symmetrischen Algebra bewirkt. Genauer gilt folgendes: in der Tensoralgebra

$TV=\bigoplus _{n\geq 0}V^{\otimes {}n}=k\oplus V\oplus (V\otimes V)\oplus (V\otimes V\otimes V)\oplus \cdots$

definiert man ein Ideal

$J:=\langle \{x\otimes y-y\otimes x\,|\,x,y\in V\}\rangle ,$

welches gerade von allen Ausdrücken $x\otimes y-y\otimes x$ erzeugt wird. Die Symmetrische Algebra ist dann schließlich der Quotient

$SV:=TV/J=\left(\bigoplus _{n\geq 0}V^{\otimes {}n}\right)/J$.

Eigenschaften

bla

Test

asg

Test2

asdf