Benutzer:Physikaficionado/Eikonal-Andy

Als Eikonal (Altgriechisch εἰκών eikon = Bild, Abbild) wird in der geometrischen Optik die Strecke eines Lichtstrahls zwischen Ausgangs- und Endpunkt bezeichnet. Verwandt damit ist das Bruns-Eikonal.

Von der Wellengleichung zum Eikonal

Die elektrische Feldstärke ${\vec {E}}$ von Licht als elektromagnetischer Welle in einem Medium mit dem Brechungsindex n erfüllt die Wellengleichung:

$\nabla ^{2}{\vec {E}}-{\frac {n^{2}}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}{\vec {E}}}{\partial t^{2}}}=0$

mit der Lichtgeschwindigkeit c im Vakuum. Für einfache harmonische Schwingungen mit der Kreisfrequenz ω, bei denen eine beliebige Komponente von ${\vec {E}}$ die Form $f(x,y,z){\text{e}}^{{\text{i}}\omega t}$ hat, gilt die zeitunabhängige Gleichung

$\nabla ^{2}f+n^{2}k^{2}f=0$		(1)

mit der Wellenzahl $k=2\pi /\lambda =\omega /c$. Für den Grenzfall kleiner Wellenlängen λ bzw. großer Wellenzahlen k sucht man eine Lösung dieser Gleichung durch eine näherungsweise ebene Welle

$f=u(x,y,z){\text{e}}^{{\text{i}}kL(x,y,z)}$

mit der langsam veränderlichen Amplitude $u(x,y,z)$ und einem nur wenig von der Linearität abweichenden optischen Weglänge $L(x,y,z)$ oder auch Eikonal genannt. Mit

${\begin{aligned}\nabla f&=\left(\nabla u+{\text{i}}ku\nabla L\right){\text{e}}^{{\text{i}}kL(x,y,z)}\\\nabla ^{2}f&=\left[\nabla ^{2}u+2{\text{i}}k\nabla u\cdot \nabla L+{\text{i}}k\nabla ^{2}L-k^{2}u\left(\nabla L\right)^{2}\right]{\text{e}}^{{\text{i}}kL(x,y,z)}\end{aligned}}$

wird die zeitunabhängige Wellengleichung (1) zu

$k^{2}u(n^{2}-|\nabla L|^{2})+{\text{i}}k(u\nabla ^{2}L+2\nabla u\cdot \nabla L)+\nabla ^{2}u=0$

Nun ist k eine sehr große Zahl, solange also $u\nabla ^{2}L+2\nabla u\cdot \nabla L$ und $\nabla ^{2}u$ ausnahmsweise nicht zu groß werden, kann man sich auf das höchste Glied beschränken und erhält die Eikonalgleichung der geometrischen Optik

$|\nabla L|^{2}=n^{2}$		(2)

Diese Näherung versagt an Brennflächen, Brennlinien oder Brennpunkten, an denen $\nabla ^{2}L$ groß wird. Auch an optischen Schattengrenzen wird $\nabla u$ groß und damit gilt die geometrische Optik nicht mehr und es treten dann Beugungserscheinungen auf.

Eigenschaften des Eikonals

Ist L(x,y,z) eine Lösung der Eikonalgleichung (2), so werden die Flächen mit konstantem L zu Flächen konstanter optischer Phase und definieren damit die Wellenfronten. Die Strahlengänge stehen überall senkrecht auf den Wellenfronten und sind somit ebenfalls durch die Gleichung (2) bestimmt. In einem optisch homogenen Medium mit konstanter Brechzahl n ergeben sich folgende Lösungen von (2):

• Lösung mit geraden Linien:

$L=n(\alpha x+\beta y+\gamma z)\quad {\text{mit }}\alpha ^{2}+\beta ^{2}+\gamma ^{2}=1\quad {\text{und }}\nabla L=n\left({\begin{array}{c}\alpha \\\beta \\\gamma \end{array}}\right)$

Die Wellenfront des Eikonals L wird z.B. durch zwei Konstanten α und β beschrieben und ist damit eine Ebene. Die Strahlen verlaufen als parallele Geraden in Richtung α : β : γ.

• Lösung mit singulärem Punkt ist eine Kugelwelle mit geradem Strahlengang:

$L=nr\quad {\text{mit }}r={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}\quad {\text{und }}\nabla L={\frac {n}{r}}\left({\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}}\right)$

• Lösung mit singulärer Linie ist eine Zylinderwelle mit geradem Strahlengang:

$L=n\rho \quad {\text{mit }}\rho ={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\quad {\text{und }}\nabla L={\frac {n}{\rho }}\left({\begin{array}{c}x\\y\end{array}}\right)$

Der Einheitsvektor ${\vec {s}}$ in der Richtung der Flächennormalen $L(x,y,z)={\text{konstant}}$ ist proportional zu $\nabla L(x,y,z)$, und aus (2) folgt

$n{\vec {s}}=\nabla L,\qquad |{\vec {s}}|=1$		(3)

Bei der Näherung braucht n nicht konstant zu sein. Daher kann man n als Ortsfunktion eines inhomogenen Mediums ansehen. Die Strahlen sind dann gekrümmt. Der Lichtweg von P₀ nach P wird in jedem Fall durch das über einen Strahl erstreckte Linienintegral

$\int _{P_{0}}^{P}n{\text{d}}s=L(P)-L(P_{0})$

dargestellt. Das obige Integral ist wegunabhängig, da $n{\vec {s}}$ nach (2) Gradient des Potentials L ist, denn $\nabla \times (n{\vec {s}})=\nabla \times \nabla L=0$.

Von der Eikonalgleichung zur Strahlengleichung der geometrischen Optik

Für den Strahlengang ${\vec {r}}(s)$ eines Lichtstrahls wählt man geeigneterweise den Parameter der Bogenlänge s

$\mathrm {d} s=|\mathrm {d} {\vec {r}}\,|={\sqrt {\mathrm {d} {\vec {r}}\cdot \mathrm {d} {\vec {r}}}}$

d.h. vom Anfangspunkt ${\vec {r}}_{0}$ zum Punkt ${\vec {r}}$ beträgt die Bogenlänge der Bahn

$s=\int _{{\vec {r}}_{0}}^{\vec {r}}\mathrm {d} s=\int _{{\vec {r}}_{0}}^{\vec {r}}{\sqrt {\mathrm {d} {\vec {r}}\cdot \mathrm {d} {\vec {r}}}}$

Damit ist der Tangentenvektor eine Einheitsvektor:

${\vec {s}}={\frac {{\text{d}}{\vec {r}}}{{\text{d}}s}}=\left({\begin{array}{c}{\text{d}}x/{\text{d}}s\\{\text{d}}y/{\text{d}}s\\{\text{d}}z/{\text{d}}s\end{array}}\right)\qquad |{\vec {s}}|=\left|{\frac {{\text{d}}{\vec {r}}}{{\text{d}}s}}\right|=1$

Für ein beliebiges a gilt daher allgemein

${\frac {{\text{d}}a}{{\text{d}}s}}={\frac {{\text{d}}x}{{\text{d}}s}}{\frac {{\text{d}}a}{{\text{d}}x}}+{\frac {{\text{d}}y}{{\text{d}}s}}{\frac {{\text{d}}a}{{\text{d}}y}}+{\frac {{\text{d}}z}{{\text{d}}s}}{\frac {{\text{d}}a}{{\text{d}}z}}={\vec {s}}\cdot \nabla a\qquad {\text{oder }}{\frac {{\text{d}}\,\,\,}{{\text{d}}s}}={\vec {s}}\cdot \nabla$

Eine weitere Ableitung der vektoriellen Eikonalgleichung (3) ergibt

${\frac {{\text{d}}\,\,\,}{{\text{d}}s}}\left(n{\frac {{\text{d}}{\vec {r}}}{{\text{d}}s}}\right)={\frac {{\text{d}}\,\,\,}{{\text{d}}s}}(n{\vec {s}})={\frac {{\text{d}}\,\,\,}{{\text{d}}s}}\nabla L={\vec {s}}\cdot \nabla (\nabla L)={\frac {\nabla L}{n}}\cdot \nabla (\nabla L)={\frac {\nabla (\nabla L)^{2}}{2n}}={\frac {\nabla n^{2}}{2n}}=\nabla n$

Das ist die Strahlengleichung der geometrischen Optik:

${\frac {{\text{d}}\,\,\,}{{\text{d}}s}}\left(n{\frac {{\text{d}}{\vec {r}}}{{\text{d}}s}}\right)=\nabla n$		(4)

Die Ableitung des Tangentenvektors ${\vec {s}}(s)$ führt auf den zu ihm senkrechten Hauptnormalenvektor ${\vec {e}}_{\text{N}}(s)$ (siehe auch die Frenetschen Formeln:

${\vec {e}}_{\text{N}}(s)=\rho {\frac {{\text{d}}{\vec {s}}}{{\text{d}}s}}$

mit dem lokalen Krümmungsradius ρ>0. Damit wird der Hauptnormalenvektor ein Einheitsvektor $|{\vec {e}}_{\text{N}}(s)|=1$ und weist in Richtung des Kreismittelpunkt des des Krümmungskreises der Kurve an der Stelle s. Bei Ausführung der Ableitungen in der Strahlengleichung (4) gilt:

$\nabla n={\frac {{\text{d}}\,\,\,}{{\text{d}}s}}(n{\vec {s}})={\frac {{\text{d}}n}{{\text{d}}s}}{\vec {s}}+n{\frac {{\text{d}}{\vec {s}}}{{\text{d}}s}}={\frac {{\text{d}}n}{{\text{d}}s}}{\vec {s}}+{\frac {n}{\rho }}{\vec {e}}_{\text{N}}$

Da der Hauptnormalenvektor ${\vec {e}}_{\text{N}}$ senkrecht auf den Tangentenvektor ${\vec {s}}$ des Lichtstrahls steht gilt ${\vec {e}}_{\text{N}}\cdot {\vec {s}}=0$ und damit

${\vec {e}}_{\text{N}}\cdot \nabla n={\frac {{\text{d}}n}{{\text{d}}s}}({\vec {e}}_{\text{N}}\cdot {\vec {s}})+{\frac {n}{\rho }}({\vec {e}}_{\text{N}}\cdot {\vec {e}}_{\text{N}})={\frac {n}{\rho }}>0$

Der Lichtstrahl krümmt sich immer in Richtung der maximalen Zunahme des Brechungsindexes n.

Anwendungen der Strahlengleichung der geometrischen Optik

Fata Morgana

Fata Morgana am Chott el Djerid in Tunesien

Einfachste Fall ist eine lineare Abhängigkeit des Brechungsindex $n=n_{0}+\zeta z$ von der Höhe z, wie dies bei der horizontal geschichteten Atmosphäre auftritt ($\zeta \ll 1$). Die Strahlengleichung (4) für den Lichtstrahl ${\vec {r}}=(x,z(x))^{\top }$ lautet dann:

${\begin{aligned}{\frac {{\text{d}}\,\,\,}{{\text{d}}s}}\left(n{\frac {{\text{d}}x}{{\text{d}}s}}\right)&={\frac {{\text{d}}n}{{\text{d}}x}}=0\quad \Rightarrow \quad n{\frac {{\text{d}}x}{{\text{d}}s}}=C\\{\frac {{\text{d}}\,\,\,}{{\text{d}}s}}\left(n{\frac {{\text{d}}z}{{\text{d}}s}}\right)&={\frac {{\text{d}}n}{{\text{d}}z}}=\zeta \end{aligned}}$

Für die Konstante kann man hier C = 1 setzen, denn damit wird nur die x-Koordinate skaliert. Für die Strahlengleichung der z-Koordinate gilt dann mit dx/ds=1/n:

${\frac {{\text{d}}\,\,\,}{{\text{d}}s}}\left(n{\frac {{\text{d}}z}{{\text{d}}s}}\right)={\frac {{\text{d}}x}{{\text{d}}s}}{\frac {{\text{d}}\,\,\,}{{\text{d}}x}}\left(n{\frac {{\text{d}}x}{{\text{d}}s}}{\frac {{\text{d}}z}{{\text{d}}x}}\right)={\frac {1}{n}}{\frac {{\text{d}}^{2}z}{{\text{d}}x^{2}}}={\frac {{\text{d}}n}{{\text{d}}z}}=\zeta$

Mit $n{\frac {{\text{d}}n}{{\text{d}}z}}={\frac {1}{2}}{\frac {{\text{d}}n^{2}}{{\text{d}}z}}$ und $n^{2}\approx n_{0}^{2}+2\zeta z$ für $\zeta \ll 1$ ergibt sich die Differentialgleichung

${\frac {{\text{d}}^{2}z}{{\text{d}}x^{2}}}=n{\frac {{\text{d}}n}{{\text{d}}z}}={\frac {1}{2}}{\frac {{\text{d}}n^{2}}{{\text{d}}z}}=\zeta ,$

die leicht zu integrieren ist:

$z(x)={\textstyle {\frac {1}{2}}}\zeta (x-x_{0})^{2}+z_{0}$

Nimmt der Brechungsindex mit der Höhe zu (ζ > 1), was bei Luft über dem heißen Asphalt an einem Sommertag der Fall ist, so ist der Strahlenverlauf entlang eine nach oben geöffnete flache Parabel. Das ist bei einer unteren Fata Morgana der Fall

Gradientenindexfasern

In der optischen Kommunikationstechnik werden bestimmte Lichtwellenleiter, sogenannte Gradientenindexfasern, eingesetzt, deren Brechungsindex radial nach außen hin allmählich abnimmt. Bei Multimode-Fasern hat dies den Vorteil, dass die Dispersion der verschiedenen Moden geringer ist als bei Fasern mit einem stufenförmig abfallenden Brechungsindex. Um die durch das Brechzahlprofil verursachte Krümmung eines Lichtstrahls zu bestimmen, wird die Strahlengleichung (4) herangezogen. In der paraxialen Näherung ds $\approx$ dz und unter Annahme einer zylindrisch symmetrischen Faser (ρ = (x²+y²)^½, z) vereinfacht sich diese Gleichung erheblich:

${\frac {{\text{d}}\,\,\,}{{\text{d}}z}}\left(n{\frac {{\text{d}}(\rho \,{\vec {e}}_{\rho })}{{\text{d}}z}}\right)={\frac {\partial n}{\partial \rho }}\,{\vec {e}}_{\rho }\quad \Rightarrow \quad {\frac {{\text{d}}\,\,\,}{{\text{d}}z}}\left(n{\frac {{\text{d}}\rho }{{\text{d}}z}}\right)={\frac {\partial n}{\partial \rho }}$

Für ein parabolisches Brechzahlprofil

$n(\rho )=\left\{{\begin{array}{ll}n_{1}\left[1-\Delta \cdot \left(\rho /a\right)^{2}\right]&\rho \leq a\\n_{2}&\rho \geq a\\\end{array}}\right.$

mit der Brechzahldifferenz Δ = (n₁ - n₂)/n₁ bei dem der Brechungsindex von einem Maximalwert n₁ bei ρ = 0 auf n₂ bei ρ = a abnimmt, ergibt sich eine Bewegungsgleichung, die der eines harmonischen Oszillators entspricht.

${\frac {{\text{d}}^{2}\rho }{{\text{d}}z^{2}}}+{\frac {2\Delta }{a^{2}}}\,\rho =0$

Daraus lässt sich direkt ableiten, dass der Lichtstrahl Pendelbewegungen mit dem maximalen Ausschlag ρ₀ = a um die Achse z ausführt:

$\rho (z)=\rho _{0}\sin {\sqrt {\frac {2\Delta }{a^{2}}}}\,z$

Hamilton's charakteristische Funktion

William Rowan Hamilton verfolgt die Lichtstrahlen, die von einem Punkt P(x₀,y₀,z₀) im Objektraum ausgehen. Dann konstruiert er die Fläche konstanten Lichtwegs

$L(x_{0},y_{0},z_{0};x_{1},y_{1},z_{1})=L(P_{0};P_{1})=\int _{P_{0}}^{P_{1}}n\,{\vec {s}}\cdot {\text{d}}{\vec {r}}={\text{konstant}}$

Als Funktion vom Anfangspunkt P(x₀,y₀,z₀) im Objektraum zum Endpunkt P₁(x₁,y₁,z₁) im Bildraum ist L Hamilton's charakteristische Funktion. Als Funktion der Koordinaten ${\vec {r}}_{1}=$ (x₁,y₁,z₁) des Endpunkts P₁(x₁,y₁,z₁) genügt sie der Gleichung

$n_{1}{\vec {s}}_{1}={\frac {\partial L}{\partial {\vec {r}}_{1}}}=\nabla _{1}L$		(5)

mit den Nabla-Operator $\nabla _{1}=(\partial /\partial x_{1},\partial /\partial y_{1},\partial /\partial z_{1})$. Entsprechend der Bedeutung des Linienintegrals gilt für die Ableitung nach x₀, y₀, z₀:

$-n_{0}{\vec {s}}_{0}={\frac {\partial L}{\partial {\vec {r}}_{0}}}=\nabla _{0}L$		(6)

Zusammengefasst lautet beide Gleichungen (5) und (6)

${\text{d}}L=-n_{0}{\vec {s}}_{0}\cdot {\text{d}}{\vec {r}}_{0}+n_{1}{\vec {s}}_{1}\cdot {\text{d}}{\vec {r}}_{1}$		(7)

Durch die Anwendung des Fermatschen Prinzips der extremalen Laufzeit, das Hamilton sein Prinzip der kleinsten Wirkung nannte, versuchte er, eine einzige Funktion zu finden, die jeden Weg durch ein optisches System charakterisiert. Da sie die Eingangsstrahlen den Ausgangsstrahlen zuordnete, war sie die allgemeinste Charakterisierung eines definierten optischen Systems. Die charakteristische Funktion definiert Flächen mit konstanter Wirkung, deren Normalenvektoren die Strahlen des optischen Systems sind.

Bruns-Eikonal

Eine ähnliche Funktion, die jeden Weg durch ein optisches System charakterisiert, fand Bruns später unabhängig von Hamilton. Das Bruns-Eikonal oder Brunssche Eikonal ist eine Funktion, die nach dem Fermatschen Prinzip den kürzesten Weg zwischen zwei durch optische Medien getrennten Punkten beschreibt. Sie wurde vom deutschen Mathematiker Heinrich Bruns 1895 veröffentlicht und in der Strahlenoptik benutzt. Der Name Eikonal stammt von Bruns, das Verfahren war aber schon William Rowan Hamilton bekannt, der es charakteristische Funktion nannte (Hamilton-Jacobi-Gleichung) und in Optik und Mechanik anwandte.

Man erhält den Ansatz von Bruns aus dem von Hamilton durch folgende Transformation. Auf einem Strahl wählt man zwei Punkte im Objektraum, ${\vec {a}}_{0}(\xi _{0},\eta _{0},\zeta _{0})$ und ${\vec {r}}_{0}(x_{0},y_{0},z_{0})$ im Abstand ${\rho }_{0}=|{\vec {r}}_{0}-{\vec {a}}_{0}|$, und zwei Punkte ${\vec {a}}_{1}(\xi _{1},\eta _{1},\zeta _{1})$ und ${\vec {r}}_{1}(x_{1},y_{1},z_{1})$ im Bildraum, im Abstand ${\rho }_{1}=|{\vec {r}}_{1}-{\vec {a}}_{1}|$; und zwar so

${\begin{aligned}{\vec {r}}_{0}&={\vec {a}}_{0}+{\rho }_{0}{\vec {s}}_{0}\qquad {\text{mit}}\qquad {\text{d}}{\vec {r}}_{0}={\text{d}}{\vec {a}}_{0}+{\rho }_{0}{\text{d}}{\vec {s}}_{0}+{\vec {s}}_{0}{\text{d}}{\rho }_{0}\\{\vec {r}}_{1}&={\vec {a}}_{1}+{\rho }_{1}{\vec {s}}_{1}\qquad {\text{mit}}\qquad {\text{d}}{\vec {r}}_{1}={\text{d}}{\vec {a}}_{1}+{\rho }_{1}{\text{d}}{\vec {s}}_{1}+{\vec {s}}_{1}{\text{d}}{\rho }_{1}\end{aligned}}$

Eingesetzt in Gleichung (7) mit ${\vec {s}}_{0}^{2}={\vec {s}}_{1}^{2}=1$ und ${\vec {s}}_{0}\cdot {\text{d}}{\vec {s}}_{0}={\vec {s}}_{1}\cdot {\text{d}}{\vec {s}}_{1}=0$ erhält man

${\text{d}}L=-n_{0}({\vec {s}}_{0}\cdot {\text{d}}{\vec {a}}_{0}+{\text{d}}{\rho }_{0})+n_{1}({\vec {s}}_{1}\cdot {\text{d}}{\vec {a}}_{1}+{\text{d}}{\rho }_{1})$		(8)

Wählt man $\xi _{0}=0$ und $\xi _{1}=0$ für die x-Koordinaten der Punkte ${\vec {a}}_{0}$ und ${\vec {a}}_{1}$, so kann man statt $x_{0},y_{0},z_{0}$ auch $\eta _{0},\zeta _{0},\rho _{0}$ und an Stelle von $x_{1},y_{1},z_{1}$ auch $\eta _{1},\zeta _{1},\rho _{1}$ zur Bestimmung des Strahls einführen. Mit den Richtungskosinussen für $m_{0},p_{0},q_{0}$ für ${\vec {s}}_{0}$ und $m_{1},p_{1},q_{1}$ für ${\vec {s}}_{1}$ für die Einheitsstrahlvektoren erhält man aus (8):

${\text{d}}L={\text{d}}E-n_{0}{\text{d}}{\rho }_{0}+n_{1}{\text{d}}{\rho }_{1}$

mit

${\text{d}}E=-n_{0}(p_{0}{\text{d}}{\eta }_{0}+q_{0}{\text{d}}{\zeta }_{0})+n_{1}(p_{1}{\text{d}}{\eta }_{1}+q_{1}{\text{d}}{\zeta }_{1})$		(9)

Fasst man also L als Funktion von $\eta _{0},\zeta _{0},\rho _{0}$ und $\eta _{1},\zeta _{1},\rho _{1}$ auf so gilt

${\begin{aligned}{\frac {\partial L}{\partial \rho _{0}}}&=-n_{0}&{\frac {\partial L}{\partial \rho _{1}}}=-n_{1}\\{\frac {\partial L}{\partial \eta _{0}}}&={\frac {\partial E}{\partial \eta _{0}}}=-n_{0}p_{0}&{\frac {\partial L}{\partial \eta _{1}}}={\frac {\partial E}{\partial \eta _{1}}}=-n_{1}p_{1}\\{\frac {\partial L}{\partial \zeta _{0}}}&={\frac {\partial E}{\partial \zeta _{0}}}=-n_{0}q_{0}&{\frac {\partial L}{\partial \zeta _{1}}}={\frac {\partial E}{\partial \zeta _{1}}}=-n_{1}q_{1}\end{aligned}}$

wo E nach (9) als Funktion von $\eta _{0},\zeta _{0},\eta _{1},\zeta _{1}$ allein angesehen werden kann. Diese Funktion $E(\eta _{0},\zeta _{0},\eta _{1},\zeta _{1})$ hat Bruns Eikonal genannt. Sie ist an keine Differentialgleichung mehr gebunden; denn die Gleichung $(\nabla L)^{2}=n^{2}$ angewandt auf Anfangs- und Endpunkt ist gleich bedeutend mit

${\frac {\partial L}{\partial \rho _{0}}}=-n_{0}\qquad {\text{und}}\qquad {\frac {\partial L}{\partial \rho _{1}}}=-n_{1}$

was nach der obigen Gleichung keine Bedingung für der Bruns-Eikonal E darstellt.

Das Bruns-Eikonal wird bei akustischen Wellen und anderen Wellenphänomenen angewendet, z. B. in der Seismologie zur Berechnung der Ausbreitung seismischer Wellen.

Herleitung der Eikonal-Gleichung der Akustik

Nachfolgend soll die Eikonalgleichung als Hochfrequenzapproximation der akustischen Wellengleichung hergeleitet werden. In der Quantenmechanik wird ein ähnliches Verfahren verwendet, die semiklassische WKB-Näherung.

Wir gehen also von der akustischen Wellengleichung mit dem Druck $p$, dem Ortsvektor ${\vec {x}}$, der ortsabhängigen Ausbreitungsgeschwindigkeit $c=c({\vec {x}})$ und konstanter Dichte aus

$\nabla ^{2}p-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}p}{\partial t^{2}}}=0$

Gesucht ist ein zeitlich harmonischer Hochfrequenzansatz, für den eine frequenz- und zeitunabhängige Amplitude $P({\vec {x}})$ und die Laufzeitfunktion $\phi ({\vec {x}})$ angenommen werden kann. Sie hat die Form

$p({\vec {x}},t)=P({\vec {x}})e^{\mathrm {i} \omega (t-\phi ({\vec {x}}))}$

Zunächst berechnet man die Zeitableitungen der Wellengleichung:

${\frac {\partial p}{\partial t}}=\mathrm {i} \omega P({\vec {x}})e^{i\omega (t-\phi ({\vec {x}}))};\quad {\frac {\partial ^{2}p}{\partial t^{2}}}=-\omega ^{2}P({\vec {x}})e^{i\omega (t-\phi ({\vec {x}}))}$

Nun folgen die Ortsableitungen:

$\nabla p=\nabla Pe^{\mathrm {i} \omega (t-\phi ({\vec {x}}))}-\mathrm {i} \omega Pe^{\mathrm {i} \omega (t-\phi ({\vec {x}}))}\nabla \phi =(\nabla P-\mathrm {i} \omega P\nabla \phi )e^{\mathrm {i} \omega (t-\phi ({\vec {x}}))}$

Wegen der vektoriellen Identität $\nabla \cdot \left(a({\vec {x}}){\vec {b}}({\vec {x}})\right)=\nabla a({\vec {x}})\cdot {\vec {b}}({\vec {x}})\ +a({\vec {x}})\nabla \cdot {\vec {b}}({\vec {x}})$ gilt weiter:

$\nabla ^{2}p=\nabla \cdot \nabla p$

$=\nabla \cdot (\nabla P-\mathrm {i} \omega P\nabla \phi )e^{\mathrm {i} \omega (t-\phi ({\vec {x}}))}+(\nabla P-\mathrm {i} \omega P\nabla \phi )\cdot \nabla e^{\mathrm {i} \omega (t-\phi ({\vec {x}}))}$

$=\left(\nabla ^{2}P-\mathrm {i} \omega \nabla P\cdot \nabla \phi -\mathrm {i} \omega P\nabla ^{2}\phi -\mathrm {i} \omega (\nabla P-\mathrm {i} \omega P\nabla \phi )\cdot \nabla \phi \right)e^{\mathrm {i} \omega (t-\phi ({\vec {x}}))}$

$=\left(\nabla ^{2}P-2\mathrm {i} \omega \nabla P\cdot \nabla \phi -\mathrm {i} \omega P\nabla ^{2}\phi -\omega ^{2}P(\nabla \phi )^{2}\right)e^{\mathrm {i} \omega (t-\phi ({\vec {x}}))}$

Die beiden Ableitungen in die Wellengleichung eingesetzt ergeben nach Division durch $e^{\mathrm {i} \omega (t-\phi ({\vec {x}}))}$

$-\omega ^{2}P\left((\nabla \phi )^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}\right)-\mathrm {i} \omega \left(2\nabla P\cdot \nabla \phi +P\nabla ^{2}\phi \right)+\nabla ^{2}P=0.$

Eine Division durch $-\omega ^{2}P$ führt dann zu

$\left((\nabla \phi )^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}\right)+{\frac {\mathrm {i} }{\omega P}}\left(2\nabla P\cdot \nabla \phi +P\nabla ^{2}\phi \right)-{\frac {1}{\omega ^{2}P}}\left(\nabla ^{2}P\right)=0.$

Da Real- und Imaginärteil der Gleichung unabhängig voneinander gleich null sein müssen, folgt:

$\left((\nabla \phi )^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}\right)-{\frac {1}{\omega ^{2}P}}\left(\nabla ^{2}P\right)=0$

Bei der Näherung geht man davon aus, dass die Amplitude $P$ nur schwach ortsabhängig, $\nabla ^{2}P$ also beschränkt ist. Da gleichzeitig weder die Laufzeit $\phi$ noch die Amplitude $P$ frequenzabhängig sind, ist der zweite Term für sehr hohe Frequenzen klein gegenüber dem ersten Term und die Gleichung vereinfacht sich auf:

$\left(\nabla \phi \right)^{2}={\frac {1}{c^{2}}}$

Die Lösung $\phi ({\vec {x}})$ der Eikonalgleichung ordnet jedem Punkt im Ortsraum die Laufzeit der Welle zu. Linien gleicher Laufzeit lassen sich entsprechend als Wellenfronten interpretieren.

Herleitung der Strahl-Gleichung

Normdaten (Sachbegriff): GND: 4151213-3 | LCCN: sh85041408

Einzelnachweise

Kategorie:Geometrische Optik Kategorie:Partielle Differentialgleichung Kategorie:Klassische Mechanik