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Alephformel

Alephformeln sind mathematische Formeln der Kardinalzahlarithmetik und als solche Lehrsätze des mathematischen Teilgebiets der Mengenlehre. Bedeutende Alephformeln sind nicht zuletzt mit den Namen der Mathematiker Gerhard Hessenberg, Felix Hausdorff und Felix Bernstein verbunden.

Der Terminus Alephformel(n) wird vor allem von Arnold Oberschelp und Dieter Klaua in ihren jeweiligen Monographien Allgemeine Mengenlehre benutzt, wobei Oberschelp mit diesem Terminus explizit die von Hessenberg im Jahre 1906 vorgelegte Formel (s. u.) meint.

Hessenbergs Formel

Die von Hessenberg im Jahre 1906 vorgelegte Formel – die auch als Satz von Hessenberg zitiert wird – ist von grundlegender Bedeutung für die gesamte Kardinalzahlarithmetik. Sie lässt sich folgendermaßen angeben:

Für jede Ordinalzahl $\alpha$ gilt

${\aleph _{\alpha }}^{2}\,=\,\aleph _{\alpha }$.

Folgerungen

Die hessenbergsche Formel zieht eine Reihe von weiteren Alephformeln nach sich.

I

Für je zwei Ordinalzahlen $\alpha$ und $\beta$ gilt die hessenbergsche Gleichung

$\aleph _{\alpha }+\aleph _{\beta }\,=\,\aleph _{\alpha }\cdot \aleph _{\beta }\,=\,\aleph _{\max(\alpha \,,\,\beta )}\,=\,\max(\aleph _{\alpha }\,,\,\aleph _{\beta })$.

II

Unter Anwendung der hessenbergschen Gleichung ergibt sich auch die von Felix Bernstein vorgelegte bernsteinsche Formel:

Für je zwei Ordinalzahlen $\alpha$ und $\beta$ mit $\alpha \leq \beta +1$ gilt

$2^{\aleph _{\beta }}\,=\,{\aleph _{\alpha }}^{\aleph _{\beta }}$.

III

Felix Bernstein hat eine weitere Alephformel geliefert, die bei Klaua auch als bernsteinscher Alephsatz bezeichnet wird und die auf Bernsteins Publikation aus dem Jahre 1905 zurückgeht:

Für je zwei Ordinalzahlen $\alpha$ und $\beta$ mit und alle natürlichen Zahlen $n$ gilt

$\aleph _{n}^{\aleph _{\beta }}\,=\,2^{\aleph _{\beta }}\cdot \aleph _{n}$.

Formel von Hausdorff

Weitergehend als der bernsteinsche Alephsatz ist ein Satz, der von Felix Hausdorff im Jahre 1904 bewiesen wurde und in dem er die bekannte hausdorffsche Rekursionsformel (englisch Hausdorff recursion formula) formuliert:

Für je zwei Ordinalzahlen $\alpha$ und $\beta$ mit und alle natürlichen Zahlen $n$ gilt

$\aleph _{\alpha +n}^{\aleph _{\beta }}\,=\,\aleph _{\alpha }^{\aleph _{\beta }}\cdot \aleph _{\alpha +n}$.

Insbesondere gilt für jede Ordinalzahl $\alpha >1$, die keine Limeszahl ist, und jede Ordinalzahl $\beta$ die Formel

$\aleph _{\alpha }^{\aleph _{\beta }}\,=\,\aleph _{\alpha -1}^{\aleph _{\beta }}\cdot \aleph _{\alpha }$.

Verwandte Formeln

Jenseits der oben dargestellten klassischen Alephformeln gibt es eine Anzahl von verwandten Formeln, welche die Alephs in einen weiteren Kontext stellen.

Formel von König

Im Jahre 1904 bewies Julius König eine Formel, welche die bekannte Ungleichung $\aleph _{\alpha }\,<\,2^{\aleph _{\alpha }}$ verschärft und die zugleich für die Alephs eine obere Abschätzung mittels Konfinalitäten liefert. Diese Formel, die auf dem Satz von König beruht, besagt nämlich:

Für jede Ordinalzahl $\alpha$ gilt die Ungleichung

$\aleph _{\alpha }\,<\,\operatorname {cf} {\bigl (}2^{\aleph _{\alpha }}{\bigr )}$.

Bezug zur Kontinuumshypothese

Auch die von Hausdorff im Jahre 1908 formulierte Verallgemeinerte Kontinuumshypothese (GCH) lässt sich als Alephformel verstehen. Man spricht daher auch von der Alephhypothese (AH). Diese besagt nämlich:

Für jede Ordinalzahl $\alpha$ gilt die Gleichung

$2^{\aleph _{\alpha }}\,=\,{\aleph _{\alpha +1}}$.

Hierzu hat man die folgenden Formeln:

I

Unter Annahme der Verallgemeinerten Kontinuumshypothese (GCH) gilt für Ordinalzahlen $\alpha$ und $\beta$ im Falle, dass $\aleph _{\alpha }$ regulär ist:

$\aleph _{\alpha }^{\aleph _{\beta }}\,=\,\aleph _{\alpha }$, falls $\beta <\alpha$

$\aleph _{\alpha }^{\aleph _{\beta }}\,=\,\aleph _{\beta +1}$, falls $\beta \geq \alpha$

II

Unter Annahme der Verallgemeinerten Kontinuumshypothese (GCH) gilt für Ordinalzahlen $\alpha$ und $\beta$ im Falle, dass $\aleph _{\alpha }$singulär ist:

$\aleph _{\alpha }^{\aleph _{\beta }}\,=\,\aleph _{\alpha }$, falls $\aleph _{\beta }<\operatorname {cf} {\bigl (}\aleph _{\alpha }{\bigr )}$

$\aleph _{\alpha }^{\aleph _{\beta }}\,=\,\aleph _{\alpha +1}$, falls $\operatorname {cf} {\bigl (}\aleph _{\alpha }{\bigr )}\leq \aleph _{\beta }\leq \aleph _{\alpha }$

$\aleph _{\alpha }^{\aleph _{\beta }}\,=\,\aleph _{\beta +1}$, falls $\aleph _{\beta }\geq \aleph _{\alpha }$

Erläuterungen und Anmerkungen

• Die Alephs sind als Ordinalzahlen dadurch gekennzeichnet, dass sie unendlich und – in Bezug auf die auf der Ordinalzahlenklasse $On$ gegebene Wohlordnungsrelation – mit keiner echt kleineren Ordinalzahl gleichmächtig sind.
• Dieter Klaua definiert in seiner Allgemeine Mengenlehre nicht explizit, was er unter Alephformeln versteht. Aus dem Kontext wird jedoch klar, was gemeint ist.
• Die Formel von Hessenberg umfasst (offenbar) den schon von Georg Cantor mit Hilfe seiner Paarungsfunktion bewiesenen Satz, demzufolge ${\mathbb {N} }_{0}\times {\mathbb {N} }_{0}$ und ${\mathbb {N} }_{0}$ gleichmächtige Mengen sind.
• Die Formel von Hessenberg wurde im Jahre 1908 von Philip Jourdain wiederentdeckt.
• Der Terminus Alephhypothese geht auf Felix Hausdorff und dessen Arbeit aus dem Jahre 1908 zurück. Hausdorff benutzt dort sogar den Terminus Cantorsche Alefhypothese.
• Einige Autoren – wie Walter Felscher in Naive Mengen und abstrakte Zahlen III – unterscheiden zwischen der Verallgemeinerten Kontinuumshypothese (GCH) und der Alephhypothese (AH). Laut Felscher gilt dabei: "In einer Mengenlehre mit Fundierungsaxiom sind (GCH) und (AH) äquivalent; in jedem Falle folgt aus (GCH) auch (AH)." Wie Ulrich Felgner in 1971 zeigte, sind die Verallgemeinerte Kontinuumshypothese (GCH) und die Alephhypothese (AH) in einer Mengenlehre ohne Auswahlaxiom und ohne Fundierungsaxiom nicht miteinander äquivalent.

Siehe auch

• Kardinalzahlarithmetik
• Ordinalzahlarithmetik
• Anfangszahl

Literatur

• Felix Bernstein: Untersuchungen aus der Mengenlehre. In: Mathematische Annalen. Band 61, 1905, S. 117–155 (MR1511337). 
• Heinz-Dieter Ebbinghaus: Einführung in die Mengenlehre (= Hochschultaschenbuch. Band 141). 4. Auflage. Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg, Berlin 2003, ISBN 3-8274-1411-3. 
• Walter Felscher: Naive Mengen und abstrakte Zahlen III. Transfinite Methoden. Bibliographisches Institut, Mannheim, Wien, Zürich 1979, ISBN 3-411-01553-5 (MR0536486). 
• Felix Hausdorff: Der Potenzbegriff in der Mengenlehre. In: Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung. Band 13, 1904, S. 569–571. 
• Felix Hausdorff: Grundzüge einer Theorie der geordneten Mengen. In: Mathematische Annalen. Band 65, 1908, S. 435–505. 
• Felix Hausdorff: Grundzüge der Mengenlehre. Reprinted, New York, 1965. Chelsea Publishing Company, New York, N. Y. 1965. 
• Gerhard Hessenberg: Grundbegriffe der Mengenlehre. In: Abhandlungen der Friesschen Schule, Neue Folge. Band 1. Vandenhoeck und Ruprecht, Göttingen 1906, S. 478–706. 
• Karel Hrbacek, Thomas Jech: Introduction to Set Theory (= Monographs and Textbooks in Pure and Applied Mathematics. Band 220). 3. Auflage. Marcel Dekker, Inc., New York, Basel 1999, ISBN 0-8247-7915-0 (MR1697766). 
• Philip E. B. Jourdain: The multiplication of Alephs. In: Mathematische Annalen. Band 65, 1908, S. 506–512 (MR1511479). 
• Erich Kamke: Mengenlehre (= Sammlung Göschen. 999/999a). 7. Auflage. Walter de Gruyter, Berlin, New York 1971. 
• Dieter Klaua: Allgemeine Mengenlehre. Ein Fundament der Mathematik (= Mathematische Lehrbücher und Monographien, I. Abteilung, Mathematische Lehrbücher. Band X). Akademie-Verlag, Berlin 1964 (MR0175791). 
• J. König: Zum Kontinuum-Problem. In: Mathematische Annalen. Band 60, 1905, S. 177–180 (MR1511296). 
• J. König: Berichtigung. In: Mathematische Annalen. Band 60, 1905, S. 462 (MR1511318). 
• Kazimierz Kuratowski, Andrzej Mostowski: Set Theory. With an Introduction to Descriptive Set Theory. Translated from the 1966 Polish original (= Studies in Logic and the Foundations of Mathematics. Band 86). 2. Auflage. North-Holland Publishing Company, Amsterdam, New York, Oxford 1976 (MR0485384). 
• Azriel Lévy: Basic Set Theory (= Perspectives in Mathematical Logic). Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York 1979, ISBN 3-540-08417-7 (MR0533962). 
• Arnold Oberschelp: Allgemeine Mengenlehre. BI Wissenschaftsverlag, Mannheim, Leipzig, Wien, Zürich 1994, ISBN 3-411-17271-1 (MR0536486). 
• Wacław Sierpiński: Cardinal and Ordinal Numbers. Panstwowe Wydawnictwo Naukowe, Warschau 1958 (MR0095787). 
• Alfred Tarski: Sur quelques théorèmes sur les alephs. In: Fundamenta Mathematicae. Band 7, 1925, S. 1–14. 

Einzelnachweise

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Satz von Hausdorff

Der Satz von Hausdorff ist einer der zahlreichen mathematischen Lehrsätze, die der deutsche Mathematiker Felix Hausdorff (1868–1942) zu den Gebieten Mengenlehre und Ordnungstheorie beigetragen hat. Der Satz geht zurück auf Hausdorffs Arbeiten über Konfinalität und Ordnungstypen.

Formulierung des Satzes

Der Satz lässt sich wie folgt formulieren:

In einer nichtleeren linear geordneten Menge $(K,\preccurlyeq )$ existiert stets eine durch die gegebene Ordnungsrelation $\preccurlyeq$ wohlgeordnete Teilmenge $W\subseteq K$, die in $(K,\preccurlyeq )$ konfinal ist.

Hat $K$ dabei die Mächtigkeit $|K|=\aleph _{\tau }\;(\tau \in \mathrm {On} )$ und besitzt $W$ den Ordnungstypus $\operatorname {ord} (W)=\xi$, so gilt in Bezug auf die zu $\aleph _{\tau }$ gehörige Anfangszahl die Ungleichung $\xi \leq \omega _{\tau }$.

Folgerungen

Aus dem Hausdorff'schen Satz ergibt sich unmittelbar folgendes Resultat:

In einer nichtleeren teilweise geordneten Menge $(S,\preccurlyeq )$ existiert stets eine durch die gegebene Ordnungsrelation $\preccurlyeq$ wohlgeordnete Teilmenge $W\subseteq S$, mit der $(S,\preccurlyeq )$ konfinal im Sinne von Hausdorff ist.

Weiterhin gewinnt man aus dem Satz ein Resultat über reguläre Ordinalzahlen:

Jede unendliche reguläre Ordinalzahl ist eine Anfangszahl $\omega _{\tau }$, während die einzigen endlichen regulären Ordinalzahlen $0$ und $1$ sind.

Der Satz besitzt zudem eine weitere Verschärfung, die im Wesentlichen auch auf Hausdorff zurückgeht:

Für eine linear geordnete Menge $(K,\preccurlyeq )$ ist die Konfinalität $\operatorname {cf} (K,\preccurlyeq )$ stets entweder $0$ oder $1$ oder aber – nämlich dann, wenn $(K,\preccurlyeq )$ kein größtes Element besitzt – eine reguläre Anfangszahl und daneben gibt es keine andere reguläre Ordinalzahl, die als Ordnungstypus $\operatorname {ord} (W)$ einer in $(K,\preccurlyeq )$ enthaltenen konfinalen Teilmenge $W\subseteq K$ vorkommt.

Anmerkungen

• In den Beweis des Satzes von Hausdorff geht wesentlich der Wohlordnungssatz ein.
• Der Beweis der ersten Folgerung beruht auf einer direkten Anwendung von Hausdorffs Maximalkettensatz.

Literatur

• P. S. Alexandroff: Lehrbuch der Mengenlehre. Übersetzt aus dem Russischen von Manfred Peschel, Wolfgang Richter und Horst Antelmann. Verlag Harri Deutsch, Thun und Frankfurt am Main 1994, ISBN 3-8171-1365-X. 
• Egbert Harzheim: Ordered Sets (= Advances in Mathematics. Band 7). Springer Verlag, New York 2005, ISBN 0-387-24219-8 (MR2127991). 
• Felix Hausdorff: Untersuchungen über Ordnungstypen I, II, III. In: Berichte über die Verhandlungen der Königlich-Sächsische Gesellschaft der Wissenschaften. Band 58, 1906, S. 106–169. 
• Felix Hausdorff: Untersuchungen über Ordnungstypen IV, V. In: Berichte über die Verhandlungen der Königlich-Sächsische Gesellschaft der Wissenschaften. Band 59, 1907, S. 84–159. 
• Felix Hausdorff: Grundzüge einer Theorie der geordneten Mengen. In: Mathematische Annalen. Band 65, 1908, S. 435–505 (MR1511478). 
• Felix Hausdorff: Grundzüge der Mengenlehre. Reprinted, New York, 1965. Chelsea Publishing Company, New York, N. Y. 1965. 
• Erich Kamke: Mengenlehre (= Sammlung Göschen. 999/999a). 7. Auflage. Walter de Gruyter, Berlin, New York 1971. 
• Wacław Sierpiński: Cardinal and Ordinal Numbers. Panstwowe Wydawnictwo Naukowe, Warschau 1958 (MR0095787). 

Einzelnachweise

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Anfangszahl

Der Begriff der Anfangszahl (engl. initial number oder initial ordinal) entstammt der Mengenlehre.

Er hängt direkt zusammen mit der Klasseneinteilung der unendlichen Ordinalzahlen nach ihrer Mächtigkeit. In jeder der dabei gebildeten Zahlklassen bildet die jeweils zugehörige Anfangszahl die kleinste Ordinalzahl innerhalb dieser Zahlklasse. Auf diesem Wege stehen Anfangszahlen und Alephs zueinander in umkehrbar eindeutiger Beziehung (Bijektion).

Definition

Gegeben sei eine beliebige unendliche Kardinalzahl ${\mathfrak {m}}$. Zu dieser bildet man innerhalb der Ordinalzahlenklasse $\mathrm {On}$ die zugehörige Zahlklasse $Z({\mathfrak {m}})$ derjenigen Ordinalzahlen $\eta$, für die $|\eta |={\mathfrak {m}}$ ist. In $Z({\mathfrak {m}})$ existiert eine eindeutig bestimmte kleinste Ordinalzahl.

Diese Zahl nennt man die zu ${\mathfrak {m}}$ gehörige Anfangszahl oder die Anfangszahl der Mächtigkeit ${\mathfrak {m}}$ und bezeichnet sie mit $\omega ({\mathfrak {m}})$.

Ist dabei ${\mathfrak {m}}$ ein Aleph, etwa ${\mathfrak {m}}=\aleph _{\tau }$ für $\tau \in \mathrm {On}$, so setzt man $\omega _{\tau }=\omega (\aleph _{\tau })$.

Eigenschaften

Die Anfangszahlen haben folgende Eigenschaften:

(1) Keine Anfangszahl ist gleichmächtig einer Ordinalzahl, welche innerhalb der Ordinalzahlenklasse $\mathrm {On}$ echt kleiner ist als sie selbst.

(2) $\omega _{0}=\omega$

(3) Bezeichnet man mit $h$ die Hartogs-Zahl-Funktion, so ist stets $\omega _{\tau +1}=h(\omega _{\tau })$.

(4) $\omega _{\lambda }=\sup\{\omega _{\tau }\mid \,\tau <\lambda \}$, falls $\lambda$ eine Limeszahl ist

(5) $|\omega _{\tau }|=\aleph _{\tau }$

(6) $Z(\aleph _{\tau })=\{\eta \in \mathrm {On} \mid \omega _{\tau }\leq \eta <\omega _{\tau +1}\}$

(7) Zu jeder Anfangszahl $\alpha$ gibt es ein $\tau \in \mathrm {On}$ mit $\alpha =\omega _{\tau }$.

(8) Jede Anfangszahl ist eine Limeszahl.

(9) Für jedes $\tau \in \mathrm {On}$ hat $Z(\aleph _{\tau })$ den Ordnungstypus $\omega _{\tau +1}$ und somit die Mächtigkeit $\aleph _{\tau +1}$.

(10) Für $\sigma ,\tau \in \mathrm {On}$ gilt $\omega _{\sigma }=\omega _{\tau }$ dann und nur dann, wenn $\sigma =\tau$.

(11) Für $\sigma ,\tau \in \mathrm {On}$ gilt $\omega _{\sigma }<\omega _{\tau }$ dann und nur dann, wenn $\sigma <\tau$.

Anmerkungen

1. Neben der Schreibung $\omega _{\tau }$ findet man auch die Schreibung $\Omega _{\tau }.$
2. Manche Autoren fassen die Begriffe Aleph und Anfangszahl gleich auf.
3. Die obige Eigenschaft (1) ist in gewissem Sinne charakteristisch für die Anfangszahlen, könnte also zur Definition herangezogen werden. Geht man so vor, so hat man auch endliche Anfangszahlen, also die natürlichen Zahlen, zu betrachten.
4. Georg Cantor folgend bezeichnet man als erste Zahlklasse die Menge der natürlichen Zahlen, während man $Z(\aleph _{0})$ die zweite Zahlklasse nennt. Die erste Zahlklasse hat demnach die Mächtigkeit $\aleph _{0}$, die zweite Zahlklasse die Mächtigkeit $\aleph _{1}$. Das berühmte Kontinuumsproblem lässt sich daher auch mit der Frage gleichsetzen, ob die zweite Zahlklasse die Mächtigkeit des Kontinuums hat.
5. Im Zusammenhang mit den Anfangszahlen hat Felix Hausdorff den nach ihm benannten Satz von Hausdorff formuliert.

Literatur

• P. S. Alexandroff: Einführung in die Mengenlehre und die Theorie der reellen Funktionen (= Hochschulbücher für Mathematik. Band 23). 6. Auflage. Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1973. 
• Heinz-Dieter Ebbinghaus: Einführung in die Mengenlehre. 3., vollständig überarbeitete und erweiterte Auflage. BI-Wissenschaftsverlag, Mannheim (u. a.) 1994, ISBN 3-411-17113-8. 
• Adolf Fraenkel: Einleitung in die Mengenlehre (= Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen. Band 9). 3., umgearbeitete und stark erweiterte Auflage. Springer Verlag, Berlin (u. a.) 1928. 
• Egbert Harzheim: Ordered Sets (= Advances in Mathematics. Band 7). Springer Verlag, New York, NY 2005, ISBN 0-387-24219-8 (MR2127991). 
• Karel Hrbacek - Thomas Jech: Introduction to Set Theory (= Monographs and Textbooks in Pure and Applied Mathematics. Band 85). 2., überarbeitete und erweiterte Auflage. Dekker, New York (u. a.) 1984, ISBN 0-8247-7074-9. 
• Erich Kamke: Mengenlehre (= Sammlung Göschen. 999/999a). 6. Auflage. De Gruyter, Berlin 1969. 
• Dieter Klaua: Allgemeine Mengenlehre. Akademie-Verlag, Berlin 1964. 
• Arnold Oberschelp: Allgemeine Mengenlehre. BI-Wissenschaftsverlag, Mannheim (u. a.) 1994, ISBN 3-411-17271-1. 
• Wacław Sierpiński: Cardinal and Ordinal Numbers. Panstwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1958.  MR0095787

Einzelnachweise

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Satz von Kurepa

Der Satz von Kurepa (englisch Theorem of Kurepa) ist ein mathematischer Lehrsatz aus dem Teilgebiet der Mengenlehre. Er geht zurück auf den jugoslawischen Mathematiker Đuro Kurepa.)

Der Satz beinhaltet eine logisch äquivalente Formulierung des Auswahlaxioms in der Sprache der Ordnungstheorie.

Formulierung des Satzes

Der Satz von Kurepa lässt sich wie folgt formulieren:

Das Auswahlaxiom ist logisch äquivalent mit der Bedingung, dass jedes der beiden folgenden Prinzipien ( ${V}$  ) und  $({\overline {K}})$   Gültigkeit hat:

 $(V)$    : Auf jeder Menge   $X$   existiert eine lineare Ordnung   $\leq$.

 $({\overline {K}})$  : Jede Antikette einer jeden teilweise geordneten Menge $(X,\leq )$ ist in einer bezüglich $\subseteq$ maximalen Antikette enthalten.

In formelhafter Kurzdarstellung lässt sich der Satz auch so angeben:

Auswahlaxiom   $\iff$    $({V})\land ({\overline {K}})$

Literatur

Originalarbeiten

• G. Kurepa: Über das Auswahlaxiom. In: Math. Ann. Band 126, 1953, S. 381–384 (MR0058686). 

Monographien

• Egbert Harzheim: Ordered Sets (= Advances in Mathematics. Band 7). Springer Verlag, New York 2005, ISBN 0-387-24219-8, S. 206 ff. (MR2127991). 
• Wacław Sierpiński: Cardinal and Ordinal Numbers (= Monografie Matematyczne. Band 34). 2. Auflage. Panstwowe Wydawnictwo Naukowe, Warschau 1965 (MR0194339). 

Einzelnachweise

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Hausdorffs Maximalkettensatz

Der Maximalkettensatz, auch als Maximalitätsprinzip von Hausdorff bezeichnet, englisch Hausdorff's maximal principle, ist ein grundlegendes Prinzip sowohl der Mengenlehre als auch der Ordnungstheorie. Felix Hausdorff veröffentlichte sein Maximalitätsprinzip im Jahre 1914 in seinem bedeutenden Werk Grundzüge der Mengenlehre. Der Maximalkettensatz ist engstens verbunden mit dem Lemma von Zorn und zu diesem und damit auch (im Rahmen der Mengenlehre auf Grundlage der Zermelo-Fraenkel-Axiome) zum Auswahlaxiom logisch äquivalent.

Formulierung

Das Maximalitätsprinzip lässt sich wie folgt formulieren:

Gegeben sei eine teilweise geordnete Menge $(P,\leq )$ und darin eine Teilmenge $K,$ die bzgl. der gegebenen Ordnungsrelation $\leq$ eine Kette darstellt, d. h., für je zwei Elemente $k_{1}$ und $k_{2}$ von $K$ gilt entweder $k_{1}\leq k_{2}$ oder $k_{2}\leq k_{1}.$

Dann existiert eine $K$ umfassende Kette $K_{0}$ von $(P,\leq ),$ die ihrerseits von keiner anderen Kette von $(P,\leq )$ echt umfasst wird.

In Kurzform besagt das Maximalitätsprinzip also, dass in einer geordneten Menge jede Kette zu einer bezüglich der Inklusionsrelation maximalen Kette erweitert werden kann. Dies motiviert auch den Namen des Prinzips als Maximalkettensatz.

Herleitung aus dem Auswahlaxiom nach Paul Halmos

Eine gut nachvollziehbare direkte Herleitung des Maximalkettensatzes aus dem Auswahlaxiom (ohne Benutzung des Wohlordnungssatzes) gibt Walter Rudin im Anhang seines bekannten Lehrbuches Reelle und komplexe Analysis. Wie Rudin zeigt, liegt der entscheidende Beweisschritt in folgendem Hilfssatz, den Paul Halmos in seinem Lehrbuch Naive Mengenlehre (siehe Literatur) benutzt, um das Lemma von Zorn aus dem Auswahlaxiom abzuleiten.

Hilfssatz von Halmos

Sei $X$ eine gegebene Grundmenge und ${\mathcal {F}}\subseteq 2^{X}$ ein nicht-leeres induktives Teilmengensystem in der zugehörigen Potenzmenge $2^{X},$ also ein Teilmengensystem mit der Eigenschaft, dass für jede nicht-leere Kette von Teilmengen ${\mathcal {K}}\subseteq {\mathcal {F}}$ deren Vereinigung $\bigcup {\mathcal {K}}$ wiederum zu ${\mathcal {F}}$ gehört.

Weiter sei gegeben eine Funktion $g\colon {\mathcal {F}}\to {\mathcal {F}}$ mit $A\mapsto g(A)$ für $A\in {\mathcal {F}},$ sodass folgende zwei Eigenschaften erfüllt sind:

(1) $A\subseteq g(A)$

(2) $|g(A)\setminus A|\leq 1$

Dann existiert ein $A_{1}\in {\mathcal {F}}$ mit $g(A_{1})\ =A_{1}.$

Eigentliche Herleitung

Für die gegebene teilweise geordnete Menge $(P,\leq )$ sei ${\mathcal {F}}\subseteq 2^{P}$ das Mengensystem der Ketten bezüglich $\leq$ innerhalb von $P.$

${\mathcal {F}}$ ist stets nicht-leer und ein induktives Mengensystem.

Das vorausgesetzte Auswahlaxiom sichert nun die Existenz einer Auswahlfunktion für $P,$ also eine Funktion $f\colon 2^{P}\setminus \{\emptyset \}\to P$ mit $A\mapsto f(A)\in A$ für alle $A\in 2^{P}\setminus \{\emptyset \}.$

Damit setzt man für $A\in {\mathcal {F}}$

$A^{*}=\{x\in {P\setminus A}\mid A\cup \{x\}\in {\mathcal {F}}\}$

und definiert dann:

$g(A)={\begin{cases}A&{\text{für }}A^{*}=\emptyset \\{A\cup \{f(A^{*})\}}&{\text{für }}A^{*}\neq \emptyset \end{cases}}$

Nach dem Halmosschen Hilfssatz ist nun für mindestens ein $A_{1}\in {\mathcal {F}}\colon$

${A_{1}}^{*}=\emptyset$

Dieses ${A_{1}}^{*}$ ist nun nach Definition ein bezüglich der Inklusionsrelation maximales Element von ${\mathcal {F}}.$

Dieser Schluss zeigt, dass das Auswahlaxiom den Hausdorffschen Maximalkettensatz nach sich zieht.

Historische Anmerkungen

Felix Hausdorff veröffentlichte den Maximalkettensatz im Jahre 1914 in seinem bedeutenden Werk Grundzüge der Mengenlehre. Die oben wiedergegebene Formulierung ist diejenige, die in der mathematischen Literatur üblicherweise genannt wird. Streng bewiesen – ausgehend vom Wohlordnungssatz – hat Felix Hausdorff in den Grundzügen eine äquivalente und nur scheinbar schwächere Fassung:

In einer geordneten Menge $(P,\leq )$ existiert stets mindestens eine Kette, die von keiner anderen Kette von $(P,\leq )$ echt umfasst wird.

Hausdorff weist in einer Bemerkung im Anschluss an seinen Beweis darauf hin, dass der Maximalkettensatz in seiner obigen Formulierung mit einem ganz gleichartigen Beweis ebenfalls abgeleitet werden kann.

Manche Autoren der englischsprachigen Literatur ordnen den Maximalkettensatz Kazimierz Kuratowski zu und bezeichnen ihn als Kuratowski Lemma. Hinsichtlich der mathematikgeschichtlichen Zusammenhänge ist anzumerken, dass der Maximalkettensatz in einer jeweils anderen, jedoch äquivalenten, Form mehrfach entdeckt oder wiederentdeckt wurde. Das bekannteste Beispiel ist hier wohl das Lemma von Zorn.

Interessant ist in diesem Zusammenhang der Hinweis von Walter Rudin in seiner Reellen und komplexen Analysis, dass der Beweis des Maximalkettensatzes auf dem Wege über den Hilfssatz von Halmos demjenigen ähnelt, den Ernst Zermelo im Jahre 1908 als zweite Herleitung des Wohlordnungsatzes aus dem Auswahlaxiom vorgelegt hat.

Zur Entwicklungsgeschichte von Auswahlaxiom, Wohlordnungssatz, Maximalkettensatz, Lemma von Zorn und anderen gleichwertigen Maximalprinzipien gibt die Monographie von Moore eine ausführliche Darstellung (siehe Literatur).

Literatur

Originalarbeiten

• Ernst Zermelo: Beweis, daß jede Menge wohlgeordnet werden kann. In: Math. Ann. Band 59, 1904, S. 514–516. 
• Ernst Zermelo: Neuer Beweis für die Möglichkeit einer Wohlordnung. In: Math. Ann. Band 65, 1908, S. 107–128. 

Monografien

• E. Brieskorn, S. D. Chatterji u. a. (Hrsg.): Felix Hausdorff. Gesammelte Werke. Band II: Grundzüge der Mengenlehre. Springer-Verlag, Berlin (u. a.) 2002, ISBN 3-540-42224-2, Kapitel 6, § 1 (books.google.de). 
• Oliver Deiser: Einführung in die Mengenlehre. Springer-Verlag, Berlin (u. a.) 2002, ISBN 3-540-42948-4. 
• Keith Devlin: The Joy of Sets. 2. Auflage. Springer-Verlag, New York u. a. 1993, ISBN 0-387-94094-4. 
• Alan G. Hamilton: Numbers, sets and axioms. The apparatus of mathematics. Cambridge University Press, Cambridge 1982, ISBN 0-521-24509-5. 
• Paul Halmos: Naive Mengenlehre. Vandenhoeck & Ruprecht, Göttingen 1976, ISBN 3-525-40527-8. 
• Egbert Harzheim: Ordered Sets (= Advances in Mathematics. Band 7). Springer Verlag, New York 2005, ISBN 0-387-24219-8, S. 206 ff. (MR2127991). 
• Felix Hausdorff: Grundzüge der Mengenlehre. Kapitel 6, § 1, Veit & Comp., Leipzig 1914 (reproduziert in Srishti D. Chatterji u. a. (Hrsg.): Felix Hausdorff. Gesammelte Werke. Band II: Grundzüge der Mengenlehre. Springer, Berlin 2002, ISBN 3-540-42224-2 books.google.de).
• John L. Kelley: General topology. Reprint of the 1955 edition published by Van Nostrand. Springer-Verlag, Berlin / Heidelberg / New York 1975, ISBN 3-540-90125-6. 
• Gregory H. Moore: Zermelo’s axiom of choice. Springer-Verlag, Berlin / Heidelberg / New York 1982, ISBN 3-540-90670-3. 
• Walter Rudin: Reelle und komplexe Analysis. 2. Auflage. Oldenbourg Wissenschaftsverlag, Berlin 2009, ISBN 978-3-486-59186-6. 

Einzelnachweise und Anmerkungen

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