Berkovich-Gerade

In der Mathematik ist die Berkovich-Gerade eine von Vladimir Berkovich eingeführte Version der affinen Gerade, die vor allem in der p-adischen Geometrie von Nutzen ist.

Motivation

Wenn man auf der p-adischen Geraden $Q_{p}^{1}$ oder allgemeiner auf $Q_{p}$ -Mannigfaltigkeiten analytische Funktionen als diejenigen definiert, die sich lokal durch konvergente Potenzreihen darstellen lassen, dann sind alle Funktionen analytisch, denn $Q_{p}$ ist total unzusammenhängend. Um einen sinnvollen Begriff von analytischen Funktionen definieren zu können, fügt man Punkte hinzu, die den Raum zusammenhängend machen.

Definition der Berkovich-Gerade

Sei $K$ ein vollständiger Körper.

Die Punkte von $A^{1,Berk}$ sind die multiplikativen Halbnormen auf dem Polynomring $K\left[T\right]$ , die den absoluten Betrag auf $K$ fortsetzen. Die Topologie von $A^{1,Berk}$ ist die schwächste Topologie, mit der die Abbildung $|\cdot |\mapsto |f|$ für alle Funktionen $f\in K\left[T\right]$ stetig wird.

Beispiele

Für $K=\mathbb {C}$ ist $A^{1,Berk}=\mathbb {C}$ , denn alle multiplikativen Halbnormen sind durch $f\mapsto |f(z)|$ für ein $z\in \mathbb {C}$ gegeben.

Für einen algebraisch abgeschlossenen, vollständigen, nicht-archimedischen Körper sind multiplikative Halbnormen entweder von der Form

f\mapsto |f(x)|

für ein $x\in K$ oder

f\to \sup _{x\in D_{r}(a)}|f(x)|

für ein $a\in K,r\in \mathbb {R}$ . Hierbei bezeichnet $D_{r}(a)=\left\{x\in K\colon \|x-a\|\leq r\right\}$ .

Berkovichs Klassifikationssatz

Jedes $x\in A^{1,Berk}$ entspricht einer absteigenden Folge ineinander geschachtelter abgeschlossener Kugeln $D_{r_{i}}(a_{i})$ . Mit $D:=\bigcap _{i}D_{r_{i}}(a_{i})$ erhält man die folgende Klassifikation in vier Typen:

Typ I: $D=D_{0}(a)$ für ein $a\in K$
Typ II: $D=D_{r}(a)$ für ein $a\in K,r\in |K^{*}|$
Typ III: $D=D_{r}(a)$ für ein $a\in K,r\not \in |K^{*}|$
Typ IV: $D=\emptyset$

Eigenschaften

Die Berkovich-Gerade $A^{1,Berk}$ ist ein lokal kompakter Hausdorff-Raum. Die den Punkten in $K$ entsprechenden Punkte vom Typ I liegen dicht in $A^{1,Berk}$ . Die Berkovich-Gerade ist eindeutig wegzusammenhängend, d. h., je zwei Punkte lassen sich durch einen eindeutigen kürzesten Weg verbinden. Punkte vom Typ II sind Verzweigungspunkte.

Literatur

V. Berkovich: Spectral theory and analytic geometry over non-Archimedean fields, American Mathematical Society, Mathematical Surveys and Monographs 33, 1990