Im mathematischen Gebiet der geometrischen Gruppentheorie berechnet die Bestvina-Mess-Formel (auch Satz von Bestvina und Mess) die Dimension des Randes einer hyperbolischen Gruppe aus ihrer Gruppenkohomologie. Sie wurde von Mladen Bestvina und Geoffrey Mess bewiesen.

Satz von Bestvina und Mess

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Sei   eine hyperbolische Gruppe, dann gilt für die Dimension ihres Randes  :

 

Insbesondere gilt für torsionsfreie hyperbolische Gruppen

 

wobei   die kohomologische Dimension der Gruppe   bezeichnet.

Z-Mengen

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Die Bestvina-Mess-Formel folgt aus dem von Bestvina und Mess bewiesenen Isomorphismus von  -Moduln (für einen beliebigen Ring  ):

 

wobei die rechte Seite die Čech-Kohomologie des Randes   mit Koeffizienten im Ring   bezeichnet.

Dieser wiederum folgt aus dem folgenden 1991 von Bestvina und Mess bewiesenen Satz.

Sei   der Rips-Komplex der hyperbolischen Gruppe  . Dann ist   ein absoluter Retrakt und   eine  -Menge in  .

Letzteres bedeutet, dass es für jede abgeschlossene Teilmenge   eine Homotopie   mit   und   gibt, so dass

 

für alle   gilt.

Anwendungen

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Bestvina und Mess benutzen ihre Formel, um den folgenden Satz über die lokale Topologie des Randes zu beweisen:

Sei   eine hyperbolische Gruppe. Es gebe einen Ring   und ein   für das   endlich erzeugt und nicht Null ist. Wenn   zusammenhängend ist, dann ist es lokal zusammenhängend.

Für die Fundamentalgruppen   geschlossener, irreduzibler 3-Mannigfaltigkeiten   beweisen sie, dass   homöomorph zur 2-Sphäre und die universelle Überlagerung   homöomorph zum  , sowie   homöomorph zur abgeschlossenen 3-Kugel   ist.

In höheren Dimensionen   gilt der analoge Satz, dass für eine torsionsfreie, hyperbolische Gruppe  , die die Fundamentalgruppe einer geschlossenen, asphärischen  -Mannigfaltigkeit   mit   und   ist, der Rand homöomorph zu   sein muss.[1]

Literatur

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  • M. Bestvina, G. Mess: The boundary of negatively curved groups. J. Amer. Math. Soc. 4, 469–481 (1991).

Einzelnachweise

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  1. A. Bartels, W. Lück, S. Weinberger: On hyperbolic groups with spheres as boundary. J. Diff. Geom. 86, 1-16 (2010).