Bruhat-Tits-Gebäude

In der Mathematik sind Bruhat-Tits-Gebäude eine nicht-archimedische Variante symmetrischer Räume. Sie sind nach François Bruhat und Jacques Tits benannt.

Bruhat-Tits-Baum für $SL(2,\mathbb {Q} _{2})$

Bruhat-Tits-Gebäude für SL(n,K)

Sei $K$ ein Körper und $v$ eine diskrete Bewertung. Der Bewertungsring ${\mathcal {O}}_{v}$ ist definiert durch ${\mathcal {O}}_{v}=\left\{x\in K\colon v(x)\geq 0\right\}$.

Das Bruhat-Tits-Gebäude für die spezielle lineare Gruppe $G=SL(n,K)$ ist ein (n-1)-dimensionaler Simplizialkomplex.

Ecken: Seine Ecken (0-Simplizes) sind die Homothetieklassen von Gittern in $K^{n}$. (Ein Gitter ist ein ${\mathcal {O}}_{v}$-Modul vom Rang $n$, zwei Gitter $\Lambda ,\Lambda ^{\prime }$ gehören zur selben Homothetieklasse wenn $\Lambda ^{\prime }=\alpha \Lambda$ für ein $\alpha \in K$.)

Simplizes: $m+1$ Ecken $s_{0},\ldots ,s_{m}$ bilden genau dann einen $m$-dimensionalen Simplex, wenn sie durch Gitter $\Lambda _{0},\ldots ,\Lambda _{m}$ mit

$\omega \Lambda _{m}\subset \Lambda _{0}\subset \Lambda _{1}\subset \ldots \subset \Lambda _{m}$

mit einem irreduziblen Element $\omega \in {\mathcal {O}}_{v}$ repräsentiert werden.

Insbesondere ist das Bruhat-Tits-Gebäude von $SL(2,K)$ ein unendlicher Baum, dessen Knoten die Valenz $char(k)+1$ haben, wobei $k$ der zu $K$ assoziierte Restklassenkörper ist. Man spricht in diesem Fall von einem Bruhat-Tits-Baum.

Allgemein kann ein Bruhat-Tits-Gebäude für jede reduktive Gruppe $G$ über einem lokalen Körper $K$ definiert werden.

Eigenschaften

Das Bruhat-Tits-Gebäude ist ein euklidisches Gebäude und insbesondere ein CAT(0)-Raum. Der Link jeder Ecke ist ein sphärisches Tits-Gebäude und insbesondere ein CAT(1)-Raum.

Die Gruppe $G$ wirkt eigentlich diskontinuierlich durch simpliziale Automorphismen auf ihrem Bruhat-Tits-Gebäude.

Das Bruhat-Tits-Gebäude ist kontrahierbar, endlich-dimensional und lokal endlich, letzteres heißt, dass jeder Simplex nur zu endlich vielen Simplizes adjazent ist.

Literatur

• Jean-Pierre Serre: Trees (= Springer Monographs in Mathematics.). Translated from the French original by John Stillwell. Corrected 2nd printing of the 1980 English translation. Springer, Berlin u. a. 2003, ISBN 3-540-44237-5.
• Ian G. MacDonald: Spherical functions on a group of p-adic type (= Publications of the Ramanujan Institute. 2, ISSN 0304-9965). University of Madras – Ramanujan Institute, Madras 1971.

Weblinks

• Witte Morris: Introduction to Bruhat-Tits buildings
• Rabinoff: The Bruhat-Tits building of a p-adic Chevalley group and an application to representation theory
• Remy-Thuillier-Werner: Bruhat-Tits buildings and analytic geometry