Charlier-Polynome

Die Charlier-Polynome (auch Poisson–Charlier-Polynome genannt) sind diskrete orthogonale Polynome. Sie wurden vom schwedischen Astronom Carl Charlier 1906 eingeführt. Sie sind orthogonal bezüglich der Poisson-Verteilung.

Definition

Die Charlier-Polynome $C_{n}(x;\mu )$ lassen sich mit Hilfe der verallgemeinerten hypergeometrischen Funktion ${}_{2}F_{0}(a,b;-;z)$ in der Form

$C_{n}(x;\mu ):={}_{2}F_{0}\left({\begin{matrix}-n,-x\\-\end{matrix}}{\bigg \vert }-{\frac {1}{\mu }}\right)$

definieren. Für $\mu >0$ sind sie orthogonal auf $\mathbb {N} _{0}$ bezüglich der Gewichtsfunktion

$w(x;\mu )={\frac {\mu ^{x}}{x!}},\qquad x=0,1,2,\dots ,$

das heißt

$\sum \limits _{x=0}^{\infty }C_{n}(x;\mu )C_{m}(x;\mu )w(x;\mu )={\frac {n!e^{\mu }}{\mu ^{n}}}\delta _{m,n},$

wobei $\delta _{m,n}$ das Kronecker-Delta bezeichnet.

Eigenschaften

Drei-Term-Rekursion

Die Charlier-Polynome genügen folgender Drei-Term-Rekursion

$C_{n+1}(x;\mu )=\mu ^{-1}xC_{n}(x-1;\mu )-C_{n}(x;\mu )$

mit dem Startglied $C_{0}(x;\mu )=1.$

Erzeugende Funktion

Die erzeugende Funktion ist

$\sum \limits _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}C_{n}(x;\mu )t^{n}=e^{-t}\left({\frac {\mu +t}{\mu }}\right)^{x}.$

Beziehung zu den verallgemeinerten Laguerre-Polynomen

Es gilt

$C_{n}(x;\mu )=(-1)^{n}n!L_{n}^{(-1-x)}\left(-{\frac {1}{\mu }}\right),$

wobei $L_{n}^{(\alpha )}(x)$ die verallgemeinerten Laguerre-Polynome sind.

Beziehung zu den Meixner-Polynomen

Es gilt

$\lim \limits _{\beta \to \infty }M_{n}(x;\beta ,\mu /(\beta +\mu ))=C_{n}(x;\mu ),$

wobei $M_{n}(x;\beta ,c)$ die Meixner-Polynome genannt werden.

Literatur

• Gábor Szegő: Orthognal Polynomials. Hrsg.: Colloquium Publications – American Mathematical Society. 1939, ISBN 978-0-8218-1023-1. 

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Charlier Polynomial. In: MathWorld (englisch).