Der Dichtheitssatz von Jacobson, benannt nach Nathan Jacobson, ist ein mathematischer Satz aus der Darstellungstheorie mit Anwendungen in der Ringtheorie und Gruppentheorie. Er wurde erstmals 1945 von Jacobson bewiesen[1] und stellt eine enge Beziehung zwischen gewissen Ringen und Matrizenringen über Schiefkörpern her.

Definitionen

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Es sei   ein Ring mit Einselement und   ein Links-R-Modul. Ein solcher Modul heißt einfach, wenn er keine nicht-trivialen Untermoduln, das heißt neben   und   keine weiteren Untermoduln, enthält. Der Modul heißt treu, wenn   nur für   gilt.

  sei der Ring der R-Endomorphismen auf  . Dann wird   durch die Definition

    für    

zu einem  -Modul und man kann von  -linearen Abbildungen sprechen.

Die  -Linearität von Endomorphismen   besagt gerade

    für alle    .

Bezeichnet man mit   die Linksmultiplikation mit   auf  , so kann man obige Gleichung auch so lesen, dass jedes   eine  -lineare Abbildung ist. Beachte, dass die   im Allgemeinen nicht  -linear sind, wenn   nicht kommutativ ist.

Formulierung des Satzes

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Es sei   ein Ring mit Einselement,   ein einfacher, treuer Links- -Modul und   eine  -lineare Abbildung.

Dann gibt es zu je endlich vielen   ein   mit   für alle  .[2][3]

In Worten: Jede  -lineare Abbildung verhält sich auf einer endlichen Menge wie die Linksmultiplikation mit einem Ringelement.

Bemerkungen

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Wegen der Einfachheit des Links- -Moduls   ist   nach dem Lemma von Schur ein Schiefkörper. Für jedes   und   sei

 .

Dann bilden die   die Subbasis einer Topologie auf  , die man die finite Topologie nennt.

In der Situation des Satzes ist   und wegen der Treue kann man   mit   identifizieren. In diesem Sinne ist   und obiger Satz besagt gerade, dass   dicht liegt bezüglich der finiten Topologie.[4] Daher rührt der Name Dichtheitssatz.

Eine weitere Besonderheit liegt vor, wenn   ein endlichdimensionaler  -Vektorraum ist. Wählt man in obigem Satz eine Vektorraumbasis  , so ist jeder Endomorphismus aus   bereits durch seine Werte auf den   eindeutig bestimmt, und aus dem Dichtheitssatz von Jacobson ergibt sich  .

Primitive Ringe

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Ein Ring   mit Einselement heißt primitiv, wenn er einen treuen, einfachen Modul hat.[5] Der Dichtheitssatz von Jacobson sagt zusammen mit obiger Bemerkung aus, dass es zu einem primitiven Ring   einen Schiefkörper   und einen  -Modul   gibt, so dass   dicht in   liegt, denn der nach Definition existierende treue, einfache Modul leistet das Verlangte.

Diese Eigenschaft charakterisiert primitive Ringe, denn ist umgekehrt   dicht für einen Modul   über einem Schiefkörper  , so ist   als  -Modul treu, denn  , und wegen der Dichtheit auch einfach.

Diese Charakterisierung primitiver Ringe ist letztlich nichts anderes als eine alternative Formulierung des Dichtheitssatzes von Jacobson, man kann letzteren daher auch in dieser Form finden.[6] Jacobson formuliert den Satz in seinem Lehrbuch Basic Algebra zweimal, zunächst wie oben und dann als Charakterisierung primitiver Ringe unter dem Namen Density Theorem for Primitive Rings.[7]

Gruppendarstellungen

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Als weiteres Anwendungsbeispiel zeigen wir einen auf Burnside zurückgehenden Satz.

  • Sei   eine Gruppe und   eine n-dimensionale, irreduzible Darstellung über dem Körper der komplexen Zahlen. Dann gibt es  , so dass    -linear unabhängig sind.

Wir betrachten die Gruppenalgebra   und die kanonische Erweiterung von   zu einem  -Algebrenhomomorphismus  . Sei  . Diese Definitionen machen   zu einem treuen  -Modul, der wegen der vorausgesetzten Irreduzibilität einfach ist. Es ist   nach dem Lemma von Schur zusammen mit der algebraischen Abgeschlossenheit von  . Aus dem Dichheitssatz von Jacobson und nachfolgender Bemerkung folgt nun  , das heißt, der  -dimensionale  -Vektorraum   wird als  -Vektorraum von den   erzeugt. Aus dem Basisauswahlsatz folgt nun die Behauptung.[8]

Diese Aussage kann für Zählargumente verwendet werden. Im unten angegebenen Lehrbuch von Derek J. S. Robinson wird ausgeführt, wie sich daraus ein Satz von Schur ergibt, wonach jede Torsionsgruppe in   endlich ist.[9]

Siehe auch

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Einzelnachweise

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  1. N. Jacobson: Structure Theory of Simple Rings Without Finiteness Assumptions, Transactions of the American Mathematical Society, Band 57, Nr. 2 (1945), Seiten 228–245
  2. Derek J. S. Robinson: A Course in the Theory of Groups, Springer-Verlag 1996, ISBN 0-387-94461-3, Satz 8.1.7: The Jacobson Density Theorem
  3. I. Martin Isaacs: Algebra – A Graduate Course, American Mathematical Society, Graduate Studies in Mathematics (2009), Band 100, Theorem (13.14)
  4. Louis H. Rowen: Ring Theory. Band 1. Academic Press Inc., Boston u. a. 1988, ISBN 0-125-99841-4 (Pure and Applied Mathematics 127), Theorem 2.1.6 mit vorhergehender Erläuterung
  5. Louis H. Rowen: Ring Theory. Band 1. Academic Press Inc., Boston u. a. 1988, ISBN 0-125-99841-4 (Pure and Applied Mathematics 127), Definition 2.1.1.
  6. Benson Farb, R. Keith Dennis: Noncommutative Algebra, Springer-Verlag (1993), ISBN 978-0-387-94057-1, Theorem 5.2 (Jacobson Density Theorem)
  7. N. Jacobson: Basic Algebra II, Dover Publications Inc. (1980), Kapitel 4.3: Density Theorems
  8. Derek J. S. Robinson: A Course in the Theory of Groups, Springer-Verlag 1996, ISBN 0-387-94461-3, Satz 8.1.8
  9. Derek J. S. Robinson: A Course in the Theory of Groups, Springer-Verlag 1996, ISBN 0-387-94461-3, Satz 8.1.11