Diskussion:Algebra (Mengensystem)/Archiv

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[[Diskussion:Algebra (Mengensystem)/Archiv#Thema 1]]

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Frage zur Definition

Eine Frage zu der formalen Definition:

Bei Punkt 2: Sollte es nicht allgemeiner formuliert sein, also für alle E,F aus der Algebra ist E/F Element der Algebra? Das gehört nämlich zur Definition eines Ringes, und weiter unten wird ja erwähnt, dass ohne Axiom 1 ein Ring vorliegt...

Da ist in der Tat etwas schief. Der einzige Unterschied, wenn man (1) in der bestehenden Form fortlässt, ist, dass auch $\Xi =\emptyset$ zulässig ist (Man könnte also (1) auch durch "$\Xi$ ist nicht leer" ersetzen). Denn aus $\Xi \neq \emptyset$, etwa $A\in \Xi$ folgt ja mit (2) und (3) auch $A\cup (X\setminus A)=X\in \Xi$. Wegen $E\setminus F=X\setminus ((X\setminus E)\cup F)$ folgt aus (1),(2),(3) deine Bedingung und umgekehrt auch aus (1), deiner Bedingung und (3) wiederum (2). Offenbar hat da jemand Axiomatisierungsminimalismus betreiben wollen ohne Rücksicht auf die verwandten Strukturen. So wie ich das sehe ist eine Mengenalgebra im wesentlichen lediglich ein Mengenring mit maximalem Element.--Hagman 23:53, 19. Jun. 2007 (CEST)

Ok, dann kann man das also folgendermaßen sehen?

Die Defintion an sich ist richtig, nur stimmt der Satz nich, dass unter Weglassen des ersten Punktes ein Ring vorliegt.

Die Artikel Mengenalgebra, Ring von Mengen und Co. stehen ohnehin zur Überarbeitung an, es ist aber offenbar noch niemandem eine Formulierung eingefallen, die man als dn großen Wurf bezeichnen könnte. :) Ich nehme michmal jetzt erstmal dieses einen Satzes an--Hagman 16:17, 25. Jun. 2007 (CEST)

Archivierung dieses Abschnittes wurde gewünscht von: --Sigma^2 (Diskussion) 11:48, 26. Nov. 2023 (CET)

Vereinheitlichung der Artikel Algebra und Σ-Algebra

Aktueller Stand

Trotz der großen Nähe der Begriffe Algebra (Mengensystem) und Σ-Algebra sind beide Artikel praktisch unabhängig (sieht man von der Erwähnung des jeweils anderen unter 'Siehe auch' bzw. 'Verwandte Strukturen' ab).

Einige Beispiele sind doppelt aufgeführt; einige Beispiele und Erläuterungen, die auch für eine Algebra gelten, gibt es nur im Artikel Σ-Algebra.

Vorschlag

Meiner Meinung nach ist es sinnvoll herauszustellen, dass eine Σ-Algebra eine (erweiterte) Algebra (Mengensystem) ist. Dies sollte schon in der Definition geschehen. Beispiel: eine Σ-Algebra ist eine Algebra, die ...

Weiterhin ist es meiner Meinung nach sinnvoll, alle Beispiele und Erläuterungen, die auch für eine 'normale' Algebra gültig sind, in dem entsprechenden Artikel aufzuführen.

Vorteile

Dieses Vorgehen hat den Vorteil, dass die Relation zwischen Algebra (Mengensystem) und Σ-Algebra besser dargestellt wird und dass Wiederholungen vermieden werden.

Was denkt Ihr darüber?

--Mouhandwoulp 00:40, 18. Dez. 2011 (CET)

Archivierung dieses Abschnittes wurde gewünscht von --Sigma^2 (Diskussion) 12:08, 26. Nov. 2023 (CET), Inzwischen besser angepasst

Äquivalente Charakterisierung fehlerhaft

Meines Erachtens ist die 5. äquivalente Charakterisierung falsch. Sie wird im Artikel angegeben als:

• ${\mathcal {A}}$ ist ein Mengenhalbring und es gilt: $A,B\in {\mathcal {A}}\Rightarrow A\cup B\in {\mathcal {A}}$.

Das ist aber im allgemeinen keine Mengenalgebra, denn $\Omega \in {\mathcal {A}}$ wird durch diese Definition nicht gesichert. Als Gegenbeispiel möge der kleinste Mengenhalbring $\{\emptyset \}$ herhalten: Auf diesen trifft die 5. Charakterisierung zu. Dennoch ist er keine Mengenalgebra, da nicht komplementstabil.

Ich erwäge, diese Charakterisierung im Artikel zu korrigieren, wenn niemand widerspricht. --Gzim75 (Diskussion) 15:42, 6. Jul. 2023 (CEST)

Archivierung dieses Abschnittes wurde gewünscht von --Sigma^2 (Diskussion) 12:10, 26. Nov. 2023 (CET), Ist inzwischen korrigiert

Frage zum 3. Punkt bei Eigenschaften

Hallo!

Beim Dritten Punkt im Abschnitt Eigenschaften kann etwas nicht ganz stimmen. Was soll damit gemeint sein?

$\bigcup \emptyset =\emptyset \in {\mathcal {A}}$ und $\bigcap \emptyset =\Omega \in {\mathcal {A}}.$

Meine Fragen:

• Die Vereinigung der leeren Menge ist immer die leere Menge und ist per Definition immer in ${\mathcal {A}}$ enthalten (siehe Eigenschaft 1). Was soll also mit dem ersten Teil ausgesagt werden?
• Warum soll die Schnittmenge über (beliebig viele) leeren Mengen plötzlich $\Omega$ sein? Das wäre nur der Fall, wenn $\Omega =\emptyset$ wäre, und das wird nirgendwo behauptet oder vorausgesetzt und macht auch keinen Sinn. Dass $\Omega$ wieder Element von ${\mathcal {A}}$ ist, geht wieder aus Eigenschaft 1 hervor und braucht deshalb nicht hier wiederholt werden.

Was soll also damit ausgesagt werden?

-- Siegmaralber 09:51, 10. Dez. 2010 (CET)

Eine endliche Vereinigung bzw. ein endlicher Durchschnitt von Elementen der Mengenalgebra kann auch aus $0$ Elementen bestehen: $\bigcup \emptyset$ bzw. $\bigcap \emptyset .$ Und wegen Eigenschaft 1 – die eine (allerdings einfache) Folgerung aus der Definition ist, also nicht ausdrücklich in der Definiton steht – sind diese in ${\mathcal {A}}$ enthalten. Hier werden also keine leeren Mengen vereinigt oder geschnitten, sondern jeweils ein leeres Mengensystem, dass eine endliche Teilmenge von ${\mathcal {A}}$ ist. Du hast nämlich $\bigcup \emptyset$ und $\bigcap \emptyset$ als $\bigcup \{\emptyset \}$ und $\bigcap \{\emptyset \}$ interpretiert. Lies dir bitte die Definitionen der Vereinigung und des Durchschnitts durch, dann verstehst du auch die Bedeutung von $\bigcup \emptyset$ und $\bigcap \emptyset .$ --RPI 18:58, 12. Jan. 2011 (CET)

So ist es noch nicht beantwortet. Es wird auf die Definition $\bigcap U$ verwiesen, wobei $U$ ausdrücklich als nichtleere Menge von Mengen vorausgesetzt ist.--Sigma^2 (Diskussion) 11:45, 26. Nov. 2023 (CET)

Beispielsweise im Buch Measure Theory von Cohnes wird der Schnitt über die leere Menge als der ganze Raum definiert. Dies wird explizit als Definition aufgeführt und es folgen unterschiedliche Motivationen dafür. Dies scheint mir auch eine übliche Konvention zu sein. Damit wäre die hier im Artikel gemachte Aussage falsche oder zumindest unüblich. Der Schnitt über die leere Menge scheint auch kein Thema im Kontext der Mengenalgebra zu sein, sondern ganz algemein in dne Bereich der Mengetheorie zu gehören. Ich lösche daher diese Aussage aus dem Artikel. Man könnte die Thematik unter Mengenlehre#Schnittmenge aufgreifen. --Christian1985 (Disk) 20:45, 10. Sep. 2024 (CEST)

Archivierung dieses Abschnittes wurde gewünscht von: --Christian1985 (Disk) 20:49, 10. Sep. 2024 (CEST)