Diskussion:Bernoulli-Zahl

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Artikel sollte komplett überarbeitet werden

Der Artikel über die Bernoulli-Zahlen sollte komplett überarbeitet werden und in eine ähnliche hochwertige Version wie die englische Version gebracht werden. Die jetzige Form ist einseitig und zudem falsch. Die Aussagen "für die in Kontinentaleuropa üblichere Variante" und "die abweichende Variante (die Eric Weisstein als die modernere propagiert)" sind falsch und entbehren jeder Grundlage (Quelle?). Hier sollte die vorhandene math. Literatur herangezogen werden, z.B. wie oben erwähnt, Jürgen Neukirch "Algebraische Zahlentheorie". Die Definition für die Bernoulli-Zahlen aus dem Taschenbuch Bronstein-Semendjajew bzw. aus den Integraltabellen von Gradshteyn-Ryzhik heranzuziehen, ist aberwitzig. Die Bernoulli-Zahlen spielen eine besonders gewichtige Rolle in der algebraischen Zahlentheorie (Zeta-Funktionen, Modulformen, Fermat-Gleichung), Iwasawa-Theorie und Topologie; eine geringere Rolle in der Analysis (Euler-Maclaurin Summationsformel, asymptotische Reihen, Reihenentwicklung von tan, cot). Die sog. "moderne" Notation der Bernoulli-Zahlen hat sich seit ca. 1950 durchgesetzt (nicht von Eric Weisstein propagiert) und ist auch notwendig, die folgenden Sätze und Sachverhalte bzgl. Index-Notation und auch Vorzeichen einfach und konsistent zu beschreiben:

• Clausen-von Staudt
• Definition der Bernoulli-Polynome
• Kummer-Kongruenzen modulo Primzahlpotenzen
• Irreguläre Paare
• Werte der Riemannschen Zeta-Funktion an negativen ganzzahligen Stellen sind gerade die Bernoulli-Zahlen für n > 1
• p-adische Fortsetzung und Stetigkeit von p-adischen Zeta-Funktionen
• Verallgemeinerte Bernoulli-Zahlen zu einem Dirichlet-Charakter und L-Reihen

Insbesondere sind die Kummer-Kongruenzen die wichtigsten Eigenschaften der Bernoulli-Zahlen (hier kommt evtl. noch ein Euler-Faktor dazu); und etliche andere Kongruenz-Relationen der Bernoulli-Zahlen, z.B. zu Klassenzahlen. Hier gibt es keine Rechtfertigung der alten Notation! Dass die alte Notation vorwiegend in Formelsammlungen und im Kontext der Analysis zu finden ist, hat den Grund, da hier meist nur die ersten (5-6) Bernoulli-Zahlen für Summationsformeln gebraucht werden.

Weitere Literatur:

• J. Neukirch. Algebraische Zahlentheorie. Springer-Verlag, 1992.
• K. Ireland and M. Rosen. A Classical Introduction to Modern Number Theory, Graduate Texts in Mathematics, vol. 84, Springer–Verlag, 2. Auflage 1990.
• N. Koblitz. p-adic Numbers, p-adic Analysis and Zeta-Functions, Graduate Texts in Mathematics, vol. 58, Springer–Verlag, 2. Auflage, 1996.

Ich hab einmal die beiden Definitionen neutral und wertfrei formuliert und die Motivation nach Bernoulli ergänzt. Es fehlt aber noch so Manches! -- Feldkurat Katz 21:36, 11. Mär. 2007 (CET)

Bis auf weiteres erstmal abgeschlossen (die explizite p-adische Betrachtung habe ich nicht reingebracht). Stellt sich nur die Frage wieso das niemand in den letzten mehr als 5 Jahren hier machen konnte. Achim1999 (Diskussion) 16:30, 2. Okt. 2012 (CEST)

Re: Auf geht's!

Gut gesprochen, Feldkurat! Denn man in die Tasten gegriffen! Meine Unterstützung hast du. Und der englische Artikel ist ja wirklich eine Steilvorlage. Also dann..! Gruss ins Feldlager.

Altoumaimi-Vereinfachung

hat jemand mehr Informationen über die Altoumaimi-Vereinfachung? siehe http://portal.gmx.net/de/themen/wissen/mensch/8236802-16-Jaehriger-knackt-uraltes-Mathe-Raetsel,cc=000007091900082368021MQck8.html --79.233.22.19 19:21, 28. Mai 2009 (CEST)

Laut Diskussion auf der englischen Wikipedia en:Talk:Bernoulli number#Not new formula ist das eine Ente (oder jedenfalls in Wirklichkeit eine Neuentdeckung einer Formel von Julius Worpitzky von 1883, so beachtlich diese Leistung für einen Schüler auch ist). Schade, wenn es tatsächlich nur das ist, aber Journalisten für "Vermischtes" fallen leider oft auf solche hübschen Geschichten herein. --91.32.81.205 19:56, 28. Mai 2009 (CEST)

• Teenie knackt Mathe-Rätsel; eingesehen am 29.5. 2009. Mfg,Gregor Helms 00:08, 29. Mai 2009 (CEST)

Da muss man abwarten, was herauskommt. eine woche warten und dann schauen, wie es aussieht. Cäsium137 (D.) 01:07, 29. Mai 2009 (CEST)

Eine Schwedische Quelle hat eine Klarstellung online gestellt, nach der es sich nicht um eine neue Formel handelt, sondern diese nur wiederentdeckt wurde (wie in der englischen Wiki auch diskutiert). Siehe die Übersetzung von Google: "Clarification: It was previously interpreted as Mohammed Altoumaimi found a solution that no one done before. It is not true." [1] Ich denke die Sache ist damit geklärt. -- Ignitor 08:52, 29. Mai 2009 (CEST)

Weitere Klarstellung von der Universität Uppsala:

• Anneli Waara: Mathematical Problem not Solved by Swedish Teen

Man tut übrigens auch dem Schüler keinen Gefallen, wenn man seine durchaus bemerkenswerte Leistung maßlos übertreibt. --80.129.102.154 10:46, 29. Mai 2009 (CEST)

Schlage folgenden Text vor, ggfs. unter anderem Lemma:

• Nach einem Bericht der Zeitung Dagens Nyheter entwickelte der 16-jährige, aus dem Irak nach Schweden eingewanderte Gymnasiast Mohamed Altoumaimi 2009 eine Formel, um die Bernoulli-Zahlen zu erklären und zu vereinfachen. Lars-Åke Lindahl, Mathematik-Dozent der Universität Uppsala, hält diese Berechnungen nicht für zwingend neu, die Problemlösung in seinem jungen Alter sei aber äußerst ungewöhnlich. Die von Altoumaimi vorgelegte Formel wurde im Prinzip schon 1883 von Julius Worpitzky aufgestellt.

Tomkater 11:22, 29. Mai 2009 (CEST)

Worpitzkys Lehrbücher fanden wegen ihres sonderbaren Stils keine große Verbreitung. In der engl. WP ist Worpitzky erst seit Juli letzten Jahres bekannt. -- Fulmen 19:28, 2. Jun. 2009 (CEST)

Nein, die hat bis heute keine Biographie von Worpitzky, und auch im Lampe-Nachruf, auf den du dich offenbar stützt, steht nichts von einem sonderbaren Stil bei seinen Lehrbüchern, das ist ein Missverständnis – im Gegenteil schrieb zum Beispiel Max Simon 1906: "Ungründliche Bücher wie die von Lübsen, geschickte aber unwissenschaftliche wie die von Kambly, finden eine ungeheure Verbreitung [...]; ernste Arbeiten wie die von Gallenkamp, Worpitzky, Hub. Müller, ja selbst Henrici und Treutlein bringen es selten zu mehr als zwei Auflagen" ([2] S. 25). Selbstverständlich wird schon lange kein Mathematiklehrbuch aus dem 19. Jahrhundert mehr verwendet. Mit der Frage hat das alles nichts zu tun. Die Formel, um die es den ungenauen Berichten zufolge geht, hat Worpitzky nicht in einem Lehrbuch veröffentlicht, sondern 1883 in Crelles berühmtem Journal. Sie wurde seither an zahlreichen Stellen abgedruckt ([3] "it was well known and readily available in several databases", auch ein Link auf eine äußerst umfangreiche Bibliographie zu Bernoulli-Zahlen steht bereits im Artikel [4]). Und der Schüler konnte sie während der gesamten vier Monate, die er laut Bericht gebraucht hat, um sie zu finden, in der englischen Wikipedia nachlesen. Es ist aber dennoch vorstellbar, dass er Mathematik so viel besser als Englisch konnte, dass er die Formel selbst gefunden hat. Eine so unfassbar brillante Sache ist sie aber nie gewesen, dass man so hysterisch wie die Zeitungsmeldungen darauf reagieren müsste. --80.129.104.253 20:24, 2. Jun. 2009 (CEST)

Eilmeldung 02.06.2009

Folgender Inhalt sollte dem Artikel zugefügt werden: http://www.welt.de/vermischtes/article3825271/Junger-Iraker-knackt-uraltes-Rechen-Raetsel.html (nicht signierter Beitrag von 87.193.141.130 (Diskussion | Beiträge) 14:00, 2. Jun. 2009 (CEST))

siehe Abschnitt darüber. --80.129.99.125 08:16, 3. Jun. 2009 (CEST)

Ich habe folgenden Artikel auf Yahoo.com entdeckt, da ich mich nicht mit höherer Mathematik auskenne, wollte ich fragen ob jemanden damit etwas anfangen kann.

==Ein junger Einwanderer aus dem Irak hat die Schweden in Erstaunen versetzt, indem er binnen kurzer Zeit ein jahrhundertealtes Mathematik-Rätsel knackte: Wie die schwedische Zeitung "Dagens Nyheter" berichtete, entwickelte der 16-jährige Mohamed Altoumaimi in nur vier Monaten eine Formel, um die sogenannten Bernoulli-Zahlen zu erklären und zu vereinfachen - Zahlenreihen, die nach dem Schweizer Mathematiker Jakob Bernoulli benannt sind und über die Mathematiker sich seit über dreihundert Jahren die Köpfe zerbrechen.

Als er seine Berechnungen den Lehrern an seiner Schule in Falun gezeigt habe, "hat keiner geglaubt, dass meine Formel wirklich funktioniert", sagte Altoumaimi der Zeitung "Falu Kuriren". Daraufhin habe er sich mit Professoren der Universität Uppsala, einer der renommiertesten Hochschulen des Landes, in Verbindung gesetzt. "Sie wollten alle meine Berechnungen und Dokumente sehen um zu prüfen, ob meine Formel tatsächlich hinhaut", zitierte die Zeitung den jungen Mann. Nach der Überprüfung versicherten die Experten Altoumaimi, seine Angaben seien korrekt - und boten ihm einen Studienplatz in Uppsala an.==

Vielleicht ist es ja hilfreich für den Artikel.

Lg Siderfang (14:57, 11. Jun. 2009 (CEST), Datum/Uhrzeit nachträglich eingefügt, siehe Hilfe:Signatur)

Zeilenabstände in Arrays/Matrizen

Die Determinantendarstellung der Bernoulli-Koeffizienten mag ja schön und gut sein, aber die zu geringen Zeilenabstände verunstalten diese. Wie bringt man Arrays und Matrizen größere Zeilenabstände bei, denn die übliche Methode \renewcommand{\arraystretch}{X} funktioniert ja nicht in der math-Umgebung? -- Bnottelm 19:55, 29. Sep. 2009 (CEST)

3 Arten von Bernoulli Zahlen

Eventuell hätte 'mal ein echter Mathematiker bei der Überarbeitung mitarbeiten sollen. ;-)

Wesentlich ist nicht, daß man die ungeraden Terme die 0 sind für eine andere (verkürzende) Definition (z.B. Bronstein) weglässt, sondern daß man erkennt daß es zwei prinzipielle Arten der Definition gibt, die sich nur für B_1 unterscheiden und die gleichberechtigt sind! (Deshalb nennt man sie auch die der ersten und zweiten Art -- zugegeben , keine didaktisch gute Benennung). Um mir weitere Belehrungen zu ersparen schaut einfach in den englisch sprachigen Wikipedia-Artikel zur B-zahl. Sehr schön kann man das (die zwei Arten der B-Zahlen) in der Praxis z.B. an der Euler-MacLaurin'schen Summenformel sehen -- wenn man sie kompakt natürlich darstellt. (nicht signierter Beitrag von 78.94.46.29 (Diskussion) 12:39, 26. Aug. 2012 (CEST))

Wenn kein wesentlicher Einwand kommt, und ich Zeit und Lust habe, werde ich diese etwas gewoehnungsbeduerftige *gg* Bezeichnug aendert, damit sie dem groBteil der wissenschaftlichen Fachliteratur entspricht als auch INNERHLAB von wikipedia einheitlicher ist. Vorschlag:

$B_{n}\to \beta _{n}$ , $\beta _{n}\to B_{n}^{\ast }$ und(!) $\beta _{n}\to B_{n}^{\star }$

, wobei $B_{n}^{\ast }=-B_{n}^{\star }$ gilt und somit effektive sich nur bei dem Index 1 aus wirkt. Ich habe eine typografisch sehr aehnliche Bezeichnung gewaehlt -- besser typografisch eine deutlich unterschiedliche? 2001:638:504:C00E:214:22FF:FE49:D786 13:16, 26. Sep. 2012 (CEST)

Dann müsstest du aber einen ganzen Batzen an Artikeln bearbeiten, oder? Die Bezeichnung mit dem Stern kenne ich gar nicht. Leider lassen sich beide typographischen Symbole nur sehr schwer auseinanderhalten, das verwirrt eher, als das es nützlich ist. Fakt ist aber, dass der Artikel in dieser Hinsicht dringend einer Überarbeitung bedarf! --Bnottelm (Diskussion) 09:10, 27. Sep. 2012 (CEST)

Mir sind die Bernoulli-Zahlen in der Literatur bisher nur mit der Bezeichnung $B_{n}$ in Erscheinung getreten. Dabei war stets

${\frac {x}{e^{x}-1}}=\sum _{n=0}^{\infty }B_{n}{\frac {x^{n}}{n!}}$

und entsprechend $B_{1}=-1/2$. Die Bezeichnung $\beta$ ist mir völlig fremd. Finde daher eine Orientierung am englischen Artikel ebenfalls notwendig, da dort lediglich der Fall $B_{0}=1,B_{1}=\pm 1/2,B_{2}=1/6,B_{3}=0$ usw. behandelt wird, was absolut ausreicht und somit Verwirrung vermeidet. --Googolplexian1221 18:49, 27. Sep. 2012 (CEST)

Das mit \ast & \star war ist ein Vorschlag -- um sie typografisch nur geringfügig anders aussehen zu lassen. Wenn Du der gegenteiligen Meinung bist, dann mache bitte einen konstruktiven Vorschlag wie man diese beiden Arten dann anders kennzeichnen sollte. :) Ach noch was -- diese \cdot Notation nur in einem Abschnitt einzuführen halte ich für unsinnig. Macht es nur schlechter lesbar, da man sich fragt warum hier ein besonderes Produkt gemeint ist im Gegensatz zum übrigen Artikeltext. Und da der Artikel doch fachspezifisch mathematisch ist, sollten wir uns nicht an die Grundschul- oder Haupschulkonvention halten und noch 80% weitere \cdots einfügen.

Ich wollte NICHT alle Artikel hier auf Wikipedia konsistent machen, was die Bernoulli-Zahlen angeht -- dafür gibt es zu viele Chaoten die artikelübergreifende Inkonstienzen auf Wikipedia fördern und rein technisch gibt's ja keine Backlinks! Leider. :-(

Na, ja, ${\frac {x}{1-e^{-x}}}$ nimmt sich da eigentlich nichts. Was ich aber noch suche, ist eine passende Definition für die mit B_1 = -1/2 wie für die mit B_1 = +1/2 , wo man $-n\zeta (1-n)=B_{n}$ hat. Ist jemandem dazu eine "bekanntere" Funktion über den Weg gelaufen?

78.94.123.114 22:29, 27. Sep. 2012 (CEST)

Ich habe 'mal Hand angelegt. Wenn jemand "bessere" Bezeichnungen als \ast oder gar nix bei den Bernoulli-Zahlen haben moechte: nur zu und aendern -- aber dann bitte mit mathematischer Literaturreferenz wo beide Konventionen wirklich so benutzt werden. :-) Achim1999 (Diskussion) 19:12, 1. Okt. 2012 (CEST)

Eine Quelle wäre dann wirklich eine gute Idee - aber logischerweise auch für die Notation, die Du verwendest. Dein obiger Kommentar "Das mit \ast & \star war ist ein Vorschlag" legt aber wohl eher nahe, dass Du Dir eine Notation ausgedacht hast und nun jedem, der sie ändern möchte, eine deutlich höhere Anforderung als an Dich selbst stellst. Habe ich das richtig verstanden oder gibt es für Deine Notation auch Quellen? Freundliche Grüße, --Arno Nymus (Diskussion) 21:06, 1. Okt. 2012 (CEST)

Stimmt -- um einen Editwar zu vermeiden -- , aber Du hast etwas wesentliches nicht ganz kapiert. Wir wollen ja hier alle, sprich beide Konventionen vorstellen. Und alle Mathematikbücher (und Zeitschriftenartikel) die ich kenne, da entscheidet sich der/die Autor(en) nur für (s)eine Art und kann dann immer $B_{k}$ schreiben. Diese Freiheit haben wir hier aber nicht, da wir für verschiedene Defintionen (die verschiedene Zahlenwerte ergeben) verschiedene Symbole/Notationen brauchen. Und ich habe vergeblich auf einen anderen Kennzeichnungsvorschlag gewartet -- wenn der nur bei den erster Art noch dazu kommt, dann habe ich auch nix dagegen. :) Achim1999 (Diskussion) 00:19, 2. Okt. 2012 (CEST)

Noch etwas zum nach Denken: 1) "aber logischerweise auch für die Notation" ... :)

2) Im englisch sprachigen Wikipedia gibt es folgende Konvention für Artikel über Themen die im englischen oder amerikanischen Sprachgebrauch unterschiedlich bezeichnet werden. Solange keine naheliegende Bevorzugung der Wortwahl/Sprache/Notation aus sachlichen Gründen heraus zu treffen ist, wird die genutzt (und beibehalten), die der Autor verwendete, die den Artikel auf Nicht-Stub-Niveau gehoben hat. Wie gesagt: en.wikipedia.org -- sehr willkürlich (extrem hohe Anforderungen) an weitere Nachfolgeautoren - da war ich doch noch entgegenkommend in dieser Hinsicht. ;) Achim1999 (Diskussion) 00:33, 2. Okt. 2012 (CEST)

Beim Hinzufügen der Rekursionsformeln störte sich natürlich das * mit der Exponenten. Da ist mir, dann noch eine andere Idee gekommen: Wie in der Chemie kann man ja auch den Platz links oben nutzen. Daher Vorschlag/Frage was ihr hier (Mathe-Wikipedianer) von den zwei Notationen ⁺B_k bzw. ^-B_k für die Bernoullizahlen haltet? Hier noch im Tex-Mathe-Modus

${}^{+}\!B_{k}=(-1)^{k}\;{}^{-}\!B_{k}$

etwas aufwändiger formatiert, aber so sieht es zumindest ordentlich aus, IMHO. Achim1999 (Diskussion) 11:08, 2. Okt. 2012 (CEST)

Ja, die anderen Wikipedianer sind Dir zweifellos wegen Deiner großzügigen und freundlichen Art dankbar, dass Du Dir kaum Sonderrechte einräumst, nicht in jedem Satz herablassend wirst usw. Gut, ein paar Kleinigkeiten bedürfen in der neuen Formulierung noch etwas Arbeit:

• Es sollte im Text eine "Anzahl" an Arten/Weisen beibehalten werden, aktuell liest es sich wie "Es gibt drei Arten: die eine und die andere." Das sollte einfach noch ein bißchen passender umformuliert werden.
• Du hast den "style" der Darstellung des B teilweise geändert, aber nur in bestimmten Abschnitten.

R, gr, fm und A mache ich, wenn Du fertig bist; ich will Dich da nicht im unfertigen Text stören. Freundliche Grüße, --Arno Nymus (Diskussion) 23:58, 2. Okt. 2012 (CEST)

Na ja, wenn der Artikel schon seit 5 Jahren daruf wartet, dann darf ich sicherlich mir was rausnehmen, wenn einer sich ENDLICH dazu aufrafft ihn zu überarbeiten. ;)

Ich erinnere mich noch wie ich in einer sehr frühen Version "mindesten zwei" schrieb, aber das mindestens wurde von Dir gestrichen. Bezüglich Arten/Weisen: dazu konkret hat sich schon FranzR eingemischt und Dir wohl auch generell vieles an Korrekturarbeit abgenommen.

Der Style der B ist (bzw. sollte) nur für die Bernoulli-Polynome anders als für die Bernoulli-Zahlen sein. (Sonst ist zu Anfang bei der Abbildung die Notation schon nicht eindeutig)

Aber keine Hemmungen mit Korrekturen, andere machen das ja auch jetzt schon (gab heute auch einen kleinen Bearbeitungskonflixt bei mir).

Beim Artikel Euler-Maclaurin-Formel traut sich niemand an die Korrektur, obwohl ich seit einigen Tagen dort nicht mehr aktiv bin. Da darfst Du sicher schon loslegen. :)

Dieser Integralabschnitt hier ist 'mal so reingerutscht, als ich den Link zu den Euler-Zahlen gesetzt habe. Geplant ist nix mehr, aber das will nichts heissen von meiner Seite -- ich mache sowas meistens spontan. Achim1999 (Diskussion) 01:19, 3. Okt. 2012 (CEST)

Hab im Handbuch der Mathematik die Notation ${\overline {B_{k}}}$ anstelle von $B_{k}^{*}$ gefunden. Jetzt ist die Frage, ob das der bisherigen Variante zu bevorzugen ist oder nicht. Grüße. --Googolplexian (Diskussion) 21:45, 4. Okt. 2012 (CEST)

Falls Di Dich nicht ins Portal_Diskussion:Mathematik damit traust, kann ich es auch machen. Falls \overline, dann aber bitte einen etwas kürzeren Strich, der nicht links und rechts stört/übersteht: ${\overline {B}}_{k}$ Den hätte ich auch links nach etwas kürzer. :) 22:36, 4. Okt. 2012 (CEST)

┌───────────────────────────────────┘

• Ich erinnere mich noch wie ich in einer sehr frühen Version "mindesten zwei" schrieb, aber das mindestens wurde von Dir gestrichen. Dann täuscht Dich Deine Erinnerung. Das näheste, was in der Versionsgeschichte zu finden ist, ist, dass Du "auf verschiedenen [!sic] Weisen" schriebst und FranzR dies zu "auf zwei unterschiedliche Weisen" geändert hat. Ich habe jedenfalls dort nichts Derartiges gemacht. FranzRs Änderung war aber noch zu einem Zeitpunkt vor der Überarbeitung der Notation, wo das von mir angesprochene Problem daher noch gar nicht existierte und FranzRs Änderung daher begrüßenswert war. --Arno Nymus (Diskussion) 15:25, 3. Okt. 2012 (CEST)

Ja irgendwas verwechsle ich. Ist auch schon etwas länger her, also nicht die letzten Tage sondern im Spetember. Komisch (ich erinnere mich das ich "mindestens" eingefügt hatte aber das dann wieder gelöscht wurde. .... Na ist ja nun egal. Achim1999 (Diskussion)

• Geplant ist nix mehr Dann ist die neue NotationsIdee wegen der Rekursionsformeln vom Tisch? Ich sehe aber, dass Du heute auch noch ein paar Änderungen gemacht hast, also warte ich noch ein bißchen. --Arno Nymus (Diskussion) 15:25, 3. Okt. 2012 (CEST)

Die neue Notationsidee (mit + und -) hat gar nichts mit den Rekursionsformeln zu tun. Ich hatte angenommen, daß ich nochmal konstruktive Rückmeldungen zu meinem ursprünglichen Vorschlag von \ast & \star bekomme. Und in diesem Zusammenhang habe ich eben selbst noch eine andere Alternative vorgeschlagen – ganz generell für die Bernoulli-Zahlen. Und das ich noch ein paar Änderungen mache, kann jeder Zeit geschehen - eben spontan wie ich schon sagte. Heute war ich im wesentlichen mit dem Artikel zu den "Eulerschen Zahlen" beschäftigt (falls Du es nicht schon bemerkt hattest). Da gibt's ja noch viel mehr wesentliches zufüllen. Achim1999 (Diskussion) 18:24, 3. Okt. 2012 (CEST)

• Euler-Maclaurin: Danke, ich schaue es mir an, sobald ich die Zeit dafür finde. Freundliche Grüße, --Arno Nymus (Diskussion) 15:25, 3. Okt. 2012 (CEST)

Die neue Notationsidee (mit + und -) hat gar nichts mit den Rekursionsformeln zu tun. Oben hattest Du die neue Notationsidee mit den Worten Beim Hinzufügen der Rekursionsformeln störte sich natürlich das * mit der Exponenten. eingeleitet. Wenn nicht das Problem mit der Rekursionsformel die Motivation für die neue Notation war, was dann? Die Antwort wäre hilfreich, um Dir eine sinnvolle Rückmeldung zu der neuen Notationsidee geben zu können.

PS: Es macht es für andere etwas schwer zu lesen, wenn Du meinen Kommentar zerteilst - insbesondere, wenn Du dafür keine zusätzlichen Signaturen an den Bruchstellen setzt; ich habe das mal nachgeholt. Freundliche Grüße, --Arno Nymus (Diskussion) 19:02, 5. Okt. 2012 (CEST)

Letzteres ist sicher richtig. Sorry.

Zum neuen Notationsvorschlag (+ und - Index links oben): Wie aus meiner Schilderung hervorgeht, stört jeder potenzielle Index der rechts oben (wie eben \ast und \star) gesetzt wird die Schreibweise beim Potenzieren. Wenn Du dir diese Rekusrionsformeln im Artikel mal anschaut, dann wird Dir aufgefallen, daß ich dort zum erstenmal Expontenschreibweise benötigte und daher dort zum erstenmal auf das Problem gestoßen bin.

+ und - wegen der Wertes von B₁ (Außerdem wird so nicht eine Notation (wie jetzt) durch weglassen einer Kennzeichnung typografisch bevorzugt. Achim1999 (Diskussion) 19:53, 5. Okt. 2012 (CEST)

Bitte

Wäre es möglich, in den Artikel ein Kapitel einzufügen, in dem die BZ opatauglich erklärt wird? mfg,Gregor Helms (Diskussion) 12:31, 5. Okt. 2012 (CEST)

Wird schwierig, da opatauglich deiner Interpretationshoheit unterlegt -- immerhin habe ich versucht den Artikel omatauglich zu halten. :->>

PS: Praezise Fragen werden genau beantwortet. Und noch besser sind explizite Vorschlaege zur Aenderung oder Ergaenzung. :) Achim1999 (Diskussion) 15:07, 5. Okt. 2012 (CEST)

Nett wäre, gleich beim ersten Auftreten von Bernoulli – "Die Benennung dieser Zahlen nach ihrem Entdecker Jakob Bernoulli wurde von Abraham de Moivre eingeführt." – seine Lebensdaten – "(1654—1705)" – mit aufzuführen, oder den Zahlen ein "Geburtsjahr" zu spendieren, was aber nicht genau geht. Der Leser ("Opa") sieht dann gleich, wie alt die Dinger sind. Hab’s nicht selbst gemacht, weil mir Anfangssätze heilig sind.
Siehe übrigens http://www.nzz.ch/feuilleton/die-zahlenzauberin-ld.3551 Absatz "Eine neuartige Machine".
– Fritz Jörn (Diskussion) 08:59, 10. Dez. 2015 (CET)

Die Lösung im englischen Artikel (Jahresangaben 1712 und 1713 für die beiden postumen Veröffentlichungen, in denen die Zahlen zum ersten Mal publiziert wurden) halte ich für besser, auch für die Benennung durch de Moivre müsste sich eine Jahreszahl finden lassen. Der Artikel Ars conjectandi fehlt natürlich auch noch. --84.130.135.204 09:30, 10. Dez. 2015 (CET)

Fehler in Formel, oder irre ich mich?

Im Abschnitt "Reihen mit Bernoulli-Zahlen" gibt es meiner Meinung einen Fehler in der Formel für den natürlichen Logarithmus der Gammafunktion. Am Ende der Formel steht "... + Summe( (B2k / (2k*(2k-1)))*x^(2k-1) )". Ich meine "x^(2k-1)" muss unter dem Bruchstrich stehen. Also entweder "*1/(x^(2k-1))" oder "*x^(1-2k)". Im Beitrag "Stirlingformel" wird n statt x verwendet, aber dort steht "n^(2k-1)" unter dem Bruchstrich. So kenne ich das. --Rolf Mohme (Diskussion) 15:10, 23. Feb. 2014 (CET)

Ja, das stimmt, ich hab’s geändert. Danke für den Hinweis! -- HilberTraum (Diskussion) 18:55, 23. Feb. 2014 (CET)

Danke für die schnelle Korrektur. Die Verbesserung im Beitrag "Stirlingformel" ist mir auch positiv aufgefallen. Sonst hätte ich auch da nachgehakt. --Rolf Mohme (Diskussion) 21:04, 23. Feb. 2014 (CET)

Sinn und Zweck

Wozu dienen eigentlich Bernoulli-Zahlen? Nur als Spielzeug für gelangweilte Mathematiker, oder haben sie irgend einen Nutzen? Kann man mit ihrer Hilfe irgend etwas herausfinden oder irgend etwas erklären? --Plenz (Diskussion) 01:31, 12. Okt. 2017 (CEST)

Ein bisschen was dazu steht doch gleich in der Einleitung. Die Zahlen kommen in Reihenentwicklungen vor (z. B. in der Potenzreihe des Tangens), vor allem aber in der Euler-Maclaurin-Formel. -- HilberTraum (d, m) 20:08, 12. Okt. 2017 (CEST)

Du hast ganz Recht, man hätte diesem Bernoulli besser die Mittel entziehen sollen. Weitere BeiSpielzeuge…

• Negative Zahlen ? Welcher irre Grieche kam wohl auf die Idee. Oder hat schon mal jemand minus drei Äpfel gesehen? Ergo: Lachhaft! Praxisfremd!
• Primzahlen ? Wertlos! Noch nicht mal teilbar. Was soll der Quatsch?
• Imaginäre Zahlen ? Unsichtbare Phantasmen?! Jetzt hackts aber. Nicht nur nichtsnutzig, sondern offenkundig satanisch und völliger Blödsinn! Hat dieser Gauß nichts Anständiges gelernt?
• Und jetzt wirft Schnulli Bernoulli seine wirren Zahlen auf den Tisch – die direkt mit der Riemannschen ζ-Funktion in Verbindung stehen – quasi der Weltformel der Mathematik – dem heiligen Gral der Primzahlforschung …

Du kannst dich gerne in eine Welt transformieren, in der Ideen und Entdeckungen nach kurz-sichtigen ökonomischen Verwertbarkeiten bewertet werden … Mathematischen Erkenntnissen, besser Entdeckungen, die Sinnfrage stellen zu wollen, heißt den vom jeweiligen Zeitgeist limitierten Menschen zu überschätzen und die universelle Tiefe der Mathematik zu unterschätzen. Nota bene: Der Mensch hat 3 Dimensionen, die Mathematik hat unendlich …und tatsächlich sind es sogar noch ein paar (Unendlichkeiten) mehr. Faustregel für die Ungläubigen und mathematisch Unaffinen: Je unsinniger und nutzloser eine mathematische Sentenz ihren Zeitgenossen erscheint, desto fundamentaler und weltumwerfender ist sie (und desto länger dauert es, dies zu erkennen). Sämtliche moderne Technik basiert auf einer Physik, deren Basis einst kuriose Spielereien gelangweilter Mathematiker waren. Hätten diese Typen ihre Zeit mit RTL II totgeschlagen, gäbe es diese Welt nicht in der Form. Tipp: Die Lösung zu ihrer Bedeutung verbirgt sich möglicherweise im Kehrwert der sechsten der Bernoullizahlen ... --DuMonde (Diskussion) 23:57, 27. Okt. 2017 (CEST)