Diskussion:Beweis (Mathematik)

Alte Diskussionen (2003-2012)

Satz 7 (warum Satz 7? wo ist Satz 3 in diesem Artikel?) ist falsch. Der Beweis ist auch nicht korrekt:

A(n+1): 1 + 2 + 3 + ... + (2n+1) + (2n+3) ist falsch: (2n+2) fehlt

korrekt: A(n+1): 1 + 2 + 3 + ... + (2n+1) + (2n+2) + (2n+3)

Damit lässt sich aber die falsche Behauptung nicht beweisen! tsor 17:08, 28. Aug 2003 (CEST)

Das war ein typischer Abschreibfehler. Sollte eigentlich 1 + 3 + ... sein. durch Copy & Paste hat sich das dann durchgezogen. danke. und satz drei steht direkt über == indirekter Beweis == --Caramdir 17:52, 28. Aug 2003 (CEST)

Dieser Tippfehler ist schon lange behoben.--FerdiBf (Diskussion) 10:29, 21. Dez. 2018 (CET)

Dieser Abschnitt kann archiviert werden. FerdiBf (Diskussion) 10:29, 21. Dez. 2018 (CET)

Erster Satz des Artikels

Der erste Satz des Artikels enthält einen Widerspruch : "Ein Beweis ist in der Mathematik die als fehlerfrei anerkannte Herleitung der Richtigkeit oder auch Unrichtigkeit einer Aussage...". Das Wort "auch" hätte zu entfallen, weil das Wort "oder" ausschließend ist. Es kann nicht zugleich die Richtigkeit und auch die Unrichtigkeit einer Aussage bewiesen werden, ausgenommen eine der Beweisführungen ist fehlerhaft. Schade dass schon der Einstiegsatz den Ausstieg vom Weiterlesen enthält. Wie soll das noch werden, wenn es schon so eckig beginnt ? (nicht signierter Beitrag von Tripod-vie (Diskussion | Beiträge) 04:18, 9. Okt. 2012 (CEST)) Hi!

"Ein Beweis ist in der Mathematik der formal korrekte Nachweis, dass..." Jetzt haben wir aus dem Beweis einen Nachweis gemacht und nichts gelernt. Ich finde den Einleitungssatz von Beweis (Allgemein) ("Nachweis der Richtigkeit oder Unrichtigkeit...") um eineiges besser. Was meint Ihr? -- Szs 13:00, 15. Jul 2004 (CEST)

die Vollständige Induktion hat eine eigene, sehr ausführliche Seite. Der Absatz auf dieser Seite ist überflüssig, doppelt!

Ich finde es trotzdem sinnvoll, da es zeigt, wie sie funktioniert und der ausführliche Artikel vor dem Beispiel Historisches und so bringt. --Scialex 07:17, 7. Jul. 2008 (CEST)

Beweise in der Mathe auf Aussagen zu reduzieren : Das ist nicht notwendig und eine Restringierung der Generalisierung .

Inwiefern? --NeoUrfahraner 08:51, 24. Aug 2005 (CEST)

Nochmals der Anfangssatz: "... die als fehlerfrei anerkannte Herleitung der Richtigkeit bzw. der Unrichtigkeit einer Aussage aus einer Menge von Axiomen, die als wahr vorausgesetzt werden..."

"Axiome, die als wahr vorausgesetzt werden ...". Das ist doch ein "weisser Schimmel". Alle Axiome eines Beweises sind unausgesprochen und unhinterfragt wahr. Andernfalls wären sie kein Axiom, weil mit einem unwahren Axiom kein Beweis führbar ist. Oder muß für jeden Beweis die Wahrheitsklasse seiner einbezogenen Axiome definert werden ?

Das alles ist wohl zu viel, um in einen Anfangssatz aufgenommen zu werden.

Ich würde vorschlagen, den Halbsatz nach dem Beistrich - ohne Schaden für die Verständlichkeit entfallen zu lassen und das Wort "Axiome", welches hier keiner näheren Erklärung bedarf, nur zu hypertexten. Tripod-vie (18:52, 9. Okt. 2012 (CEST), Datum/Uhrzeit nachträglich eingefügt, siehe Hilfe:Signatur)

Artikel unreif

Ich halte den Artikel für unreif, hier müßte wesentlich mehr stehen.

"Ein Beweis ist in der Mathematik der formal korrekte Nachweis, dass aus einem Satz von Aussagen eine weitere Aussage folgt."

Diese Definition empfinde ich als dürftig und unzulänglich. Denn entscheidend ist hier doch, was genau mit "formal korrekt" gemeint ist. Das müsste erstmal näher erläutert werden, was aber schwierig erscheint. Natürlich könnte man hier eine formalistische Definition anführen, die das Beweisen mathematischer Aussagen auf ein bedeutungsleeres Spiel mit Symbolketten reduziert. Damit könnte man anschliessend genau beurteilen, was ein mathematischer Beweis ist und was nicht. Leider jedoch würden nahezu 100% aller vorliegenden mathematischen Beweise dieser Definition nicht entsprechen. Denn so arbeitet ja kein Mathematiker (außer dem Bourbaki-Kollektiv vielleicht, dass den formalistischen Ansatz sicher am konsequentesten verfolgt hat). Die meisten mathematischen Beweise stellen ja ein Gemisch aus mathematischen Formalien/Symbolen und Umgangssprache dar.

Der Artikel sollte m.E. ferner unbedingt die Probleme der Gültigkeit und Vollständigkeit eines Beweises adressieren. Ausserdem sollte irgendwo der Begriff des Axioms auftauchen. Ebenso sollte dargelegt werden, wodurch Beweise überhaupt motiviert sind. Warum legen Mathematiker so viel Wert auf gültige Beweise? Warum werden mitunter Sachen bewiesen, die Nichtmathematiker als völlig selbstverständlich empfinden? Für viele Nichtmathematiker ist die Beweis-Manie der Mathematiker doch ziemlich unverständlich. Letztere Frage samt Antwort könnte man vielleicht aber auch lieber im allgemeinen Artikel zur Mathematik unterbringen.

Und hier ein Berührungspunkt zur Philosophie: Jeder, der Mathematik studiert hat, hat wahrscheinlich schon mal etwas für einen Beweis gehalten, was sich dann später als falsch oder zumindest lückenhaft erwies. Wenn einem das einmal passiert ist, wie kann man dann sicher sein, dass das nicht auch für irgendeinen anderen Beweis zutrifft, den man jemals in seinem Leben akzeptiert bzw. selber produziert hat?

Angesichts dieses Zweifels ist es bemerkenswert, wie überaus stabil der Inhalt der Mathematik im Laufe der Jahrtausende geblieben ist. Die Schlüsse aus Euklids "Geometrie" werden heute immer noch als genau so gültig empfunden wie vor 2000 Jahren. Dennoch möchte ich nicht darauf wetten, dass diese Gültigkeit für jeden besteht, der sich damit beschäftigt.

Man könnte hier z.B. auf die Idee kommen, dass die Mathematik recht hohe Einstiegshürden aufweist und daher für die meisten Menschen recht "esoterisch" bleibt. Was ein Beweis ist oder nicht, entscheiden letztlich die Mathematiker mehr oder weniger ad hoc selbst. Die Professoren an den Universitäten sieben dabei jene aus, die das vorherrschende (letztlich diffuse) Beweisverständnis nicht akzeptieren/nachvollziehen können oder wollen. - Dieses Bild ist sicher etwas überzeichnet, aber ohne eine objektive, der tatsächlichen Praxis angemessene Definition dessen, was für sie ein mathematischer Beweis ist (und anhand dessen ein Stück Text zumindest prinzipiell als gültiger Beweis oder eben Nicht-Beweis klassifiziert werden können sollte), sollten Mathematiker verstehen, dass beispielsweise Philosophiestudenten bei Nachfragen den Eindruck bekommen, ein mathematischer Beweis sei etwas, das eine subjektive Komponente enthält und der Befriedigung von Machtansprüchen etablierter Mathematiker dient.

Didaktisch gesehen verdecken Beweise leider oft den Erkenntnisweg, der zu einem Satz geführt hat. Es stellt sich z.B. die Frage, ob die auch in mathematischen Lehrbüchern (und nicht nur Fachartikeln) übliche Methode "Definition-Satz-Beweis" besonders effizient ist, um anderen das Erlernen des mathematischen Handwerks zu ermöglichen. Wäre es nicht viel besser, lieber den Weg zu zeichnen, den man gegangen ist, mit allen Irrungen und Wirrungen? Das würde doch dem Rezipienten ein viel klareres Verständnis des Beweises geben und mitunter auch eine Idee, wie man überhaupt auf den Satz gekommen ist...

Zu den Beispielen: Es ist sicher eine gute Idee, Beispiele anzuführen. Allerdings sollte man auch möglichst alle Voraussetzungen anführen, auf denen der Beweis beruht. Wenn man von natürlichen Zahlen spricht, sollte man diese kurz einführen. Auch werden Addition, Multiplikation und vieles andere ohne weitere Einführung selbstverständlich verwendet. Zumindest sollte man erwähnen, dass der/die Leser/in mit der Addition von natürlichen Zahlen sowie der Verwendung von Symbolen als Platzhalter für beliebige Zahlen vertraut sein sollte und ihm/ihr klarmachen, dass man das alles vorher eigentlich sauber einführen müßte, um einen sauberen Beweis zu erhalten.

Der Satz von Euklid ist ein hervorragendes Beispiel, da er auf dem Satz von der Primfaktorzerlegung beruht (benötigt wird dabei zwar nicht die Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung, wohl aber die Aussage, dass jede Zahl in Primfaktoren zerlegt werden kann). Insofern ist der Satz von Euklid ein Paradebeispiel für die Anwendung anderer, bereits bewiesener Aussagen innerhalb eines Beweises. Leider wird das weder im vorliegenden Artikel noch im Artikel zum "Satz von Euklid" erwähnt.

Allerdings würde ich die verschiedenen Beweismethoden lieber in einen Extraartikel auslagern und diese hier nur kurz beispielhaft aufzählen wollen.

Zu guter Letzt ein Vorschlag: schon mal die Formulierung "Satz von Aussagen" durch "Menge von Aussagen" ersetzen. Denn bewiesene Aussagen (zumindest die vom Autor jeweils als wichtig empfundenen) werden in der Mathematik ja auch als "Satz" bezeichnet.--MeysterDissenswurst 16:17, 5. Okt 2005 (CEST)

Da ich nicht weiß wie ich mich sonst der Diskussion beteiligen soll, wähle ich diesen Weg. Also ich sehe hier bei der Erklärung zum indirekten Beweis einen Fehler, da der indirekte Beweis keines falls auch ein Widerspruchsbeweis darstellt. Siehe dazu auch Seite 57 und Seite 58 in folgendne Dokument: http://www.inf.fh-bonn-rhein-sieg.de/data/informatik_/fb_informatik/personen/witt/PropMath.pdf (Der vorstehende, nicht signierte Beitrag stammt von 217.232.47.5 (Diskussion • Beiträge) NeoUrfahraner 09:29, 15. Okt. 2007 (CEST))

So groß ist der Unterschied zwischen dem, was dort als Indirekter Beweis und was als Beweis durch Widerspruch bezeichnet wird, auch nicht. Im ersten Fall erhält man einen Widerspruch zu allgemeinen Aussagen, im zweiten Fall einen Widerspruch zur Annahme. Letztlich sind das nur unterschiedliche Variationen des selben Themas, genauso wie es auch zum direkten Beweis zig Variationen gibt. --NeoUrfahraner 09:34, 15. Okt. 2007 (CEST)

@MeysterDissenswurst: Was bewiesen ist, ist bewiesen. Sicherlich wird man oft nur der Autorität des Beweisenden vertrauen - das erleichtert alles in allem die Arbeit - aber es bleibt der Fakt daß man die Geschichte nachprüfen kann, immerhin kann, und gut-is. Ob das der Befriedigung der Machtansprüche etablierter Mathematiker dient, ist dabei völlig gleichgültig - man mag ihnen moralische Vorhaltungen machen (das ist nicht abwertend gemeint, vielleicht brauchen sie die), aber die Autorität des Beweises ist von der Sittlichkeit des Beweisenden völlig unabhängig. - Zur Didaktik ist das natürlich eine andere Sache. Andererseits muß man auch sehen, daß es ein Unterschied ist, ob ich eine Einzelvorlesung besuche oder ein Seminar mit vier Semesterwochenstunden, über denselben Stoff; und selbst wenn sie nur zur Ausbildung von einer Art Korpsgeist (à la: ich hab das geschafft, in diese Denkweise hineinzufinden) dienen würden, hätte sie doch schon dadurch einen Sinn, denn jeder Beruf hat ja so seinen Korpsgeist. --77.4.68.132 21:14, 29. Jul. 2010 (CEST)

Fehler ?

Beim indirekten Beweis zeigt man, dass ein Widerspruch entstehen würde, wenn die zu beweisende Behauptung falsch wäre. --> Heisst es nicht, wenn die zu beweisende Behauptung richtig wäre? (Vorstehender nicht signierter Beitrag stammt von 81.221.103.140 (Diskussion • Beiträge) jpp ?! 20:08, 26. Mai 2006 (CEST))

Nein, denn dann hätte man ja bewiesen, dass die zu beweisende Behauptung falsch wäre. --jpp ?! 20:08, 26. Mai 2006 (CEST)

Carl Friedrich Gauß

Soweit ich weiß, war Carl Friedrich Gauß in einem Alter von 9 Jahren, als er diese Rechnung in so kurzer Zeit löste. (nicht signierter Beitrag von 84.179.156.8 (Diskussion) NeoUrfahraner)

Siehe Carl Friedrich Gauß. --NeoUrfahraner 15:25, 28. Sep 2006 (CEST)

An der Stelle sollte auch ein Link zu Der kleine Gauß stehen (passt eher)--217.250.251.193 15:29, 23. Feb. 2007 (CET)

Gauß kommt in diesem Artikel nicht mehr vor.--FerdiBf (Diskussion) 10:32, 21. Dez. 2018 (CET)

Dieser Abschnitt kann archiviert werden. FerdiBf (Diskussion) 10:32, 21. Dez. 2018 (CET)

Arten von Beweisen

Mir fehlt in diesem Artikel noch die Unterscheidung in weitere Arten von Beweisen, also z. B.:

• direkter Beweis, z. B. d. h. ich starte mit der Prämisse und gelange zur Behauptung
  • Beweis durch Einsetzung der Definition(en)
  • Beweis durch modus ponendo ponens
  • Beweis durch Kettenschluss Prämisse => Auss. 1 => ... => Auss. n => Behauptung
• indirekter Beweis, d. h. ich starte mit dem Negat der Behauptung und komme zum Negat der Prämisse
• Widerspruchsbeweis, d. h. ich starte mit der Prämisse und dem Negat der Behauptung und komme zu einem Widerspruch

(oft wird nicht zwischen Widerspruchsbeweis und indir. Beweis unterschieden, ich finde die Argumentationsweise aber schon formal unterschiedlich

• Induktionsbeweis
  • Vollständige Induktion
  • Strukturelle Induktion (v. a. in der math. Logik: Für alle Terme/Aussagen gilt.., über den Aufbau der Terme/Aussagen)
  • Transfinite Induktion (v. a. in der Mengentheorie: Wie vollst. Induktion, nur über die nat. Zahlen hinaus mit dem Limesschritt: Wenn es für alle nat. Zahlen gilt, dann auch für $\omega$

--Scialex 14:30, 15. Mai 2007 (CEST)

Dem stimme ich zu. Aber der "Beweis durch Kontraposition" wurde ja schon einmal von jemandem entfernt, der meinte, es besser zu wissen und der behauptet hat, es wäre dasselbe wie der Widerspruchsbeweis. --...

Stimme auch zu, dass Unterscheidungen fehlen. Indirekt/Widerspruch etwa: Zu zeigen ist (in Metalogik) A => B.

• Indirekter Beweis: (not B) => (not A)
• Widerspruchsbeweis: (A /\ not B) => False

132.231.54.1

Außerdem sollte man sagen, ob Indirekte Beweise konstruktiv sein können (ja?) und Widerspruchsbeweise ebenso (nein?). 132.231.54.1

Im Artikel werden indirekter Beweis und Widerspruchsbeweis zu Recht als synonym behandelt. Daher ist dieser Diskussionspunkt nicht mehr relevant.--FerdiBf (Diskussion) 10:37, 21. Dez. 2018 (CET)

Dieser Abschnitt kann archiviert werden. FerdiBf (Diskussion) 10:37, 21. Dez. 2018 (CET)

Vollständige Induktion Das Beispiel bei der Vollständigen Induktion finde ich verwirrend aufgeschrieben. Wäre es nicht sinnvoller jeweils ( 2× n1 +1) + (2× n2 +1) + ... +(2× nx + 1) = (n+1)² zu schreiben? So wie das da steht, ist nicht zwingen klar, woraus sich die 1 und die 3 ergibt. Auch der Schritt das n+1 zu (2n+3) wird ist nicht angegeben. (nicht signierter Beitrag von Timmitumo (Diskussion | Beiträge) 19:03, 22. Nov. 2019 (CET))

Satz 1

Ich möchte den Beweis des Satzes 1 kritisieren: Ich denke, so kann kein mathematischer Beweis geführt werden. Mit zweimal untereinander schreiben und Pünktchen usw. kann man zwar gedanklich eine Vermutung über die zu beweisende Tatsache aufstellen, aber ein Beweis ist das sicher nicht. Vielleicht hat Gauß sich das wirklich so überlegt und auch danach gerechnet (wenn die Anekdote stimmt, es gibt sie auf jeden Fall in mindestens zwei Varianten, einmal mit den Zahlen bis 100 und auch mit den Zahlen bis 40), aber bewiesen hat er diese Formel damit nicht. (Der Beweis wird ja üblicherweise durch vollständige Induktion geführt.) -- Jesi 04:02, 2. Aug. 2007 (CEST)

Inzwischen habe ich mir Gaußsche Summenformel angesehen, dort wird auch dargelegt, dass der Beweis mit vollständiger Induktion geführt wird und die hier als Beweis bezeichnete Überlegung eben wirklich nur eine Veranschaulichung ist. Ich würde Satz 1 weglassen, zumal er später nicht mehr benutzt wird.

Ich habe noch folgende Änderungen vorgenommen:

Die allgemeine Beschreibung des indirekten Beweises kam mir etwas holprig vor, hier habe ich ein bisschen umformuliert.

Unter der Überschrift "Vollständige Induktion" habe ich den Link weggenommen (da er unmittelbar darüber schon einmal steht) und das Wort "beliebt" ersetzt. Es klang schon etwas eigenartig. -- Jesi 04:40, 2. Aug. 2007 (CEST)

Wenn's Dir lieber ist, kann man den Beweis des Satzes 1 auch formalisieren, indem man die "Pünktchen" durch ein Summenzeichen ersetzt:

$S(n)=\sum _{i=1}^{n}i$,

$S(n)=\sum _{i=1}^{n}(n+1-i)$,

$2S(n)=\sum _{i=1}^{n}i+\sum _{i=1}^{n}(n+1-i)=\sum _{i=1}^{n}(i+n+1-i)=\sum _{i=1}^{n}(n+1)=n(n+1)$.

Dazu müsste man dann auch noch genauer sagen, welche Transformationen bei Verwendung des Summenzeichens für endliche Summen zulässig sind. In konkreten Fall ist durch diese Formalisierung aber nichts gewonnen, der Beweis ist aber durchaus im mathematischen Sinn ein Beweis. Wie für viele mathematische Aussagen gibt es eben nicht nur einen Beweis (den durch vollständige Induktion), sondern viele andere, wobei die vollständige Induktion den Nachteil hat, dass man eine vom Himmel gefallene Formel damit zwar beweisen kann, aber nichts darüber gesagt wird, wo die Formel herkommt. --NeoUrfahraner 08:54, 2. Aug. 2007 (CEST)

Dieser Beweis würde mir schon besser gefallen, aber das ist natürlich nicht der Maßstab. Außerdem hast du Recht, dass man ihn - damit die Schritte nachvollziehbar bleiben - noch ergänzen müsste: nach der ersten Zeile müsste man die Transformation j=n+1-i angeben, in der zweiten Zeile müsste dann erst stehen Summe von j=n bis j=1 und dann wie gehabt weiter. Besser wird es dadurch wahrscheinlich wirklich nicht. Ich habe nur ein etwas ungutes Gefühl, in einem Artikel über mathematische Beweise mit einem so heuristisch formulierten Beweis zu beginnen. Mal noch etwas anderes: So wie ich die Anekdote kenne, hat Gauß nicht die Summen derartig zweimal untereinander geschrieben, sondern den ersten und letzten Summanden zur Summe n+1 addiert, dann weiter den zweiten und vorletzten ebenfalls zu n+1 usw., und dann noch überlegt, wie viele solche Summanden dabei entstehen. Bei geradem n sind das n/2, und daraus folgt dann die Formel, bei ungeradem n wäre noch eine weitere Überlegung erforderlich. Hab gerade gesehen: so ist sie auch im Artikel Gaußsche Summenformel beschrieben. Sollte man nicht einfach die Anekdote weglassen, zumal sie ja nicht so ganz genau zum darüber stehenden Beweis passt? Auch würde ich nochmal zu bedenken geben, ob man den Satz 1 nicht auch weglässt, aber das ist eben wieder mein ungutes Gefühl. -- Jesi 13:22, 2. Aug. 2007 (CEST)

Was Gauß betrifft: ich habe es auch so gehört, wie Du es sagst; er hat also eigentlich keine Indextransformation gemacht, sondern nur Kommutativ- und Assoziativgesetz verwendet. Ansonsten stimmt's, Satz 1 ist wohl wirklich nicht das richtige Einsteigerbeispiel, um einen direkten Beweis zu erklären. Darüber hinaus finde ich allerdings den ganzen Aufbau des Artikels irgendwie problematisch. Die Einteilung in direkter/indirekter Beweis und Beweis durch Induktion klingt ja, alsob man sagen würde, es gibt gerade Zahlen, ungerade Zahlen und Primzahlen. Direkter Beweis und Induktionsbeweis schließen einander ja nicht aus, und vollständig ist diese Aufzählung auch nicht. Ähnliches gilt dann natürlich auch noch für konstruktiver/nicht-konstruktiver Beweis. --NeoUrfahraner 15:05, 2. Aug. 2007 (CEST)

Überarbeitung

Darüber hinaus finde ich allerdings den ganzen Aufbau des Artikels irgendwie problematisch. Das ist auch meine Meinung. Vielleicht sollte man etwas anders gruppieren. Ich werde mal auf Benutzer:Jesi/Vorschläge/Beweis etwas zusammenstellen und mich hier wieder melden, wenn es fertig ist. Vielleicht kannst du es dir dann einmal ansehen. --Jesi 15:59, 2. Aug. 2007 (CEST)

So, ich wäre dann soweit. Auf Benutzer:Jesi/Vorschläge/Beweis habe ich mal einen Entwurf aufgeschrieben, einige Bemerkungen dazu sind auf der zugehörigen Diskussionsseite. Kannst du dir das bei Gelegenheit bitte mal ansehen? Danke -- Jesi 17:19, 2. Aug. 2007 (CEST)

Deine Überarbeitung gefällt mir deutlich besser. Was mir beim ersten Lesen aufgefallen ist: Zunächst sollte meiner Meinung nach deutlich gemacht werden, dass die Einteilung direkter/indirekter Beweis und konstruktiver/nicht-konstruktiver Beweis die Beweise wirklich vollständig in zwei Gruppen teilt (so wie eben die ganzen Zahlen in gerade/ungerade und negativ/nichtnegativ geteilt werden können). In längeren Beweisen können natürlich Kombinationen auftreten, aber prinzipiell sind das echte entweder/oder.

Wie Du auf Benutzer Diskussion:Jesi/Vorschläge/Beweis auch sagst, ist vollständige Induktion eine ganz andere Kategeorie. Da gehört meiner Meinung nach ein eigener Abschnitt "Beweismethoden", von denen vollständige Induktion ein wichtiges Beispiel ist. Dieser Unterabschnitt "vollständige Induktion" gehört aber gekürzt, schließlich gibt es einen eigenen Artikel dafür. Ein anderes Beispiel einer Beweismethode wäre en:Proof by exhaustion, auf deutsch wohl Beweis durch Fallunterscheidung, in dem das Problem in endlich viele Fälle unterteil werden, die systematisch abgearbeitet werden. Andere Beispiele sind das Schubfachprinzip oder in der Maßtheorie das "Prinzip der guten Mengen" (good sets principle, 24 Google-Treffer, naja, nicht soo bekannt). Eine vollständige Aufzählung aller Beweismethoden ist aber wohl nicht möglich und nicht nötig, evtl. kann ich aus den Büchern von George Polya etwas ergänzen. Die Beispiele auf en:Mathematical proof sind aber jedenfalls unsystematisch und kein Vorbild.

Das Beispiel eines nicht-konstruktiven Beweises gefällt mir nicht so recht, da der Zwischenwertsatz ja oft mittels Bisektion bewiesen wird und damit eigentlich eine konstruktive Aussage ist. Ein mögliches Beispiel wäre das schon erwähnte Schubfachprinzip, mit dem man zeigen kann, dass zwei Münchner gleich viele Haar haben, der aber nicht bei der Suche nach diesen Münchnern hilft. Andere Beispiele nicht-konstruktiver Aussagen wären der Fundamentalsatz der Algebra oder der Fixpunktsatz von Brouwer, aber diese Beispiele sind für einen einführenden Artikel wohl zu fortgeschritten.

Prinzipiell gehört natürlich auch etwas über philosophiosche Richtungen wie mathematischen Konstruktivismus geagt, aber da bin ich leider nicht kompetent. --NeoUrfahraner

Erst einmal vielen Dank. Ich werde mich mal dransetzen und dich dann hier wieder informieren. Wird aber etwas dauern. --Jesi 23:07, 2. Aug. 2007 (CEST)

So, ich hab mal was getan, eine Überarbeitung findest du auf Benutzer:Jesi/Vorschläge/Beweis und Bemerkungen dazu auf Benutzer Diskussion:Jesi/Vorschläge/Beweis. Wenn es dir nichts ausmacht, können wir vielleicht die Diskussion auf Benutzer Diskussion:Jesi/Vorschläge/Beweis fortsetzen, damit die Seite hier nicht zu überladen wird. Wenn es die aber hier besser oder sachgemäßer erscheint, dann machen wir eben hier weiter. -- Jesi 02:04, 3. Aug. 2007 (CEST)

Ich antworte lieber hier, weil's später für's Verständnis der Entstehungsgeschichte dieses Artikels wichtig sein könnte. Also: die jetzige Überarbeitung ist meiner Meinung nach reif genug, den alten Artikel zu ersetzen. Zwei Vorschläge hätte ich noch:

1. Ein gutes Beispiel für einen nicht-konstruktiven Beweis ist mir jetzt eingefallen, nämlich genau das beim indirekten Beweis angegebene Beispiel des klassischen Beweis', dass es unendlich viele Primzahlen gibt. Ein konstruktiver Beweis wäre eine Formel für beliebig große Primzahlen, der Beweis von Euklied leistet das aber gerade nicht (auch wenn er oft falsch so aufgefasst wird, dass $1+\prod _{i=1}^{r}p_{i}$ prim wäre.
2. Abschnitt "Einige besondere Beweismethoden": In der Geschichte der Mathematik wurden zum Beweis bestimmter Aussagen Beweismethoden angewendet: hier fände ich "entdeckt" oder "entwickelt" besser als "angewendet", das verdeutlicht doch besser, dass diese Methoden nicht einfach vom Himmel fallen. --NeoUrfahraner 20:14, 3. Aug. 2007 (CEST)

Ich habe die Vorschläge eingebaut, noch geringfügige Änderungen vorgenommen und den vorherigen Artikeltext ersetzt. Vielen Dank und viele Grüße -- Jesi 00:04, 4. Aug. 2007 (CEST)

Cantor-Diagonalverfahren

Das erste Cantorsche Diagonalverfahren ist ein direkter Beweis für die Abzählbarkeit einer Menge. Es wird gezeigt, dass man jedem Element der zu untersuchenden Menge eine natürliche Zahl zuordnen kann.

Laut Cantors erstes Diagonalargument besteht das Verfahren im Beweis von etwas ganz anderem...ich würde einen Fachmann mal darum bitten, das zu überprüfen. --Jazzman KuKa 01:51, 13. Apr. 2008 (CEST)

"Cantors erstes Diagonalargument, ist ein mathematisches Beweisverfahren, mit dem man zeigen kann, ob zwei Mengen gleichmächtig sind" (erste Cantorsche Diagonalverfahren). "ob" ist irreführend, besser wäre wohl "dass". Es wird gezeigt, dass man jedem Element der zu untersuchenden Menge (rationale Zahlen) (umkehrbar eindeutig) eine natürliche Zahl zuordnen kann, damit ist gezeigt, dass die Menge der rationalen Zahlen gleichmächtig zur Menge der natürliche Zahlen ist. Die beiden Artikel widersprechen einander nicht wirklich; ein besonders gelungene Formulierung ist es allerdings nicht. --NeoUrfahraner 09:22, 13. Apr. 2008 (CEST)

Transfinite Induktion

/* Einige besondere Beweismethoden */ Transfinite Induktion - Quelle: Wikipedia-Artikel "Transfinite Induktion" - Methode eingefügt. Versionsgeschichte: http://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Transfinite_Induktion&action=history, Version: http://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Transfinite_Induktion&oldid=44623372 --Hutschi 10:56, 23. Apr. 2008 (CEST)

Euklids indirekter Beweis

Ich habe den Teil, dass Euklids Beweis, dass es unendlich viele Primzahlen gibt, ein nicht kontruktives Verfahren ist herausgenommen, weil das schlicht falsch ist. Das Verfahren liefert doch folgendes: Gegeben sei eine beliebige Menge von Primzahlen. Das Verfahren liefert uns eine Zahl, deren Primfaktoren disjunkt zu diser Menge ist. Wird das Verfahren also oft genug angewandt, so erhält man Primzahlen, die beliebig groß werden.

Der Satz_des_Euklid kommt ohne den Begriff »unendlich« aus und wurde von Euklid direkt bewiesen. Also sollte dieses Beispiel aus dem Abschnitt Indirekter Beweis entfernt werden. Die zu Euklids Satz äquivalente Behauptung, es gebe unendlich viele Primzahlen, lässt sich dagegen indirekt beweisen. Da ich kein Mathematiker bin, will ich die notwendige Korrektur des Artikels den Experten überlassen. --Knottel (Diskussion) 11:00, 14. Mär. 2022 (CET)

Ja, diesen Streit kenne ich. Für die Aussage, dass es unendlich viele Primzahlen gibt, nimmt man an, es gäbe nur endlich viele. Aus diesen kann man dann eine weitere Primzahl konstruieren und erhält so einen Widerspruch. Aber das hat Euklid gar nicht bewiesen, denn er kannte keine unendlichen Mengen. Der Gedanke, dass ein existierendes Etwas unendlich sein könnte, war ihm wohl eher fremd. Euklid hat mit dem bekannten Schluss gezeigt, dass man immer noch weitere Primzahlen finden kann, dass also die Primzahlen "unbegrenzt" viele sind, und das hat er in Form eines direkten Beweises getan. Ich werde daher den fraglichen Satz einfach entfernen, weil das für den weiteren Verlauf des Textes ohnehin keine Rolle spielt.--FerdiBf (Diskussion) 17:45, 15. Mär. 2022 (CET)

Wenn es um "Konstruktivität" als Kriterium geht, (o.k., da stellt sich die Frage, was wir damit meinen; relativ standard und sinnvoll ist aber: es wird eben LEM bzw. $\lnot \lnot A\to A$ nicht verwendet) ist noch viel mehr nicht wirklich indirekt. So ist etwa das normale Vorgehen, $\lnot A$ zu beweisen, indem man die Annahme von $A$ zum Widerspruch führt, direkt und konstruktiv (und je nach bevorzugter Terminologie deswegen natürlich auch kein "Widerspruchsbeweis").

Man kann konstruktiv etwa zeigen, dass die Annahme der Existenz einer rationalen Zahl $q$ mit $q^{2}=2$ zu einem Widerspruch führt. Und, da wir damit (ggf; "Irrationalität" muss halt so definiert sein) einfach die Bedeutung von "${\sqrt {2}}$ ist irrational" direkt gezeigt haben, handelt es sich nicht um einen indirekten Beweis oder einen Widerspruchsbeweis. --Daniel5Ko (Diskussion) 21:18, 23. Mär. 2022 (CET)

Zustand des Artikels

Die genannte Beispielsreihe ist mMn sehr gut nachvollziehbar und verständlich. Allerdings ist der formale Aufbau des Artikels manchmal etwas komisch. Auch sollten die Definitionen von direkten/indirekten Beweisen zusammen in einem eigenen Abschnitt stehen. --Jonasschneider 19:00, 14. Apr. 2009 (CEST)

konstruktiver beweis / nicht konstruktiver beweis

unpräzise formulierung, "dass es eine lösung gibt" eine lösung für was, man muss hier noch ein problem definieren oder zumindest ansprechen. (nicht signierter Beitrag von 213.208.144.130 (Diskussion | Beiträge) 21:10, 27. Jan. 2010 (CET))

Unklare Kritik. Da es einen weiteren Diskussionspunkt "Konstruktiv/nichtkonstruktiv" gibt, wird dieser hier bestimmt keine Reaktion mehr finden.--FerdiBf (Diskussion) 10:47, 21. Dez. 2018 (CET)

Dieser Abschnitt kann archiviert werden. FerdiBf (Diskussion) 10:47, 21. Dez. 2018 (CET)

Konstruktiv/nichtkonstruktiv

Der "Beweis", dass f(x) = 2x-1 eine Nullstelle in [0,1] hat, ist nicht besonders konstruktiv, wenn die Nullstelle einfach angegeben wird. Konstruktiv, wäre, wenn die Gleichung 2x-1=0 nach x aufgelöst würde. 129.132.9.97 14:48, 3. Jun. 2010 (CEST)

Gerade durch die explizite Vorgabe eines zu prüfenden Wertes ist es ein konstruktiver Beweis für die Behauptung, dass f(x) = 2x-1 eine Nullstelle in [0,1] hat. Wie man darauf gekommen ist, spielt dabei keine Rolle. Natürlich wurde dazu eine Gleichung gelöst, doch das ist ja kein Beweis. Und hier geht es um Beweise, nicht um Lösen von Gleichungen. Natürlich hätte man auch ein kompliziertes Beispiel suchen können, aber warum. Und hier lässt sich der Unterschied zwischen dem konstruktiven und dem anschließenden nicht-konstruktiven Beweis wohl ganz gut erkennen. -- Jesi 16:23, 3. Jun. 2010 (CEST)

Also für mich nicht. Ich würde eher sagen, das ist ein Beweis einer Existenzaussage durch Beispiel (so ähnlich wie bei der Widerlegung, die ja durch Gegenbeispiel erfolgt). Es mag eine Frage der Wortwahl sein (gibt es für "konstruktiv" eine mathematische Definition, die Allgemeingut ist?), aber für mich heißt konstruktiv daß man etwas konstruiert, und durch x = 0.5 ist der Beweis auf jeden Fall geführt, das zweifelt ja keiner an, aber konstruiert wurde gar nichts. --77.4.68.132 21:01, 29. Jul. 2010 (CEST)

Kontraposition fehlt

Der Beweis durch Kontraposition fehlt. --DownAnUp 10:47, 3. Jul. 2010 (CEST)

Das ist ein Spezialfall des Widerspruchsbeweises.--FerdiBf (Diskussion) 10:53, 21. Dez. 2018 (CET)

Frage zu "Wurzel 2 ist keine rationale Zahl"

Es betrifft zwar nicht den Artikel selber, aber: Kann mir jemand erklären WO dieser Beweis schief läuft wenn ich versuche ihn auf Wurzel 4 anzuwenden ? Verimathrax 15:58, 29. Jul. 2010 (CEST)

Siehe http://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Benutzer_Diskussion:Verimathrax&diff=77213797&oldid=36089124 --NeoUrfahraner 16:22, 29. Jul. 2010 (CEST)

Diagonalverfahren

Dem ersten Diagonalverfahren kann man vielleicht noch den Status eines eigenständigen Beweisverfahrens zugestehen, indem die gleichmächtigkeit zweier Mengen per Bijektion gezeigt wird. Aber das 2 Diagnonalverfahren ist doch ein klassischer Widerspruchsbeweis. (nicht signierter Beitrag von 188.100.30.121 (Diskussion) 00:41, 29. Dez. 2012 (CET))

Der Artikel ist mit seinen völlig willkürlichen/zufälligen Aufzählungen eine einzige Katastrophe. Ich denke, es ist müßig, an irgendwelchen Detailfragen da herumzudoktorn. Der Artikel müsste völlig neu strukturiert werden (und zwar mit ordentlicher Literatur). --Chricho ¹ ² ³ 19:31, 2. Jan. 2013 (CET)

Diese Kritik ist berechtigt, denn in der aktuellen Darstellung handelt es sich nur um zwei Beweise, die zu einem Beweisverfahren erhoben worden sind. Beim ersten Diagonalverfahren ist das sicher nicht sinnvoll. Aus dem zweiten Diagonalverfahren ist durchaus eine gewisse Methode entstanden. Der Artikel Cantor-Diagonalisierung hilft hier nicht weiter, da diese selbst wohl dringend eine Überarbeitung benötigt. Hier ist der aktuelle Stand unzureichend.--FerdiBf (Diskussion) 11:06, 21. Dez. 2018 (CET)

Ungenau

"Ein weiteres klassisches Beispiel:"

Hier ist durch diesen Satz nicht sofort klar: Ist ein weiteres Beispiel für einen direkten Beweis gemeint (so wie das Beispiel direkt davor) oder soll ein "weiteres Beispiel" für einen indirekten Beweis gegeben werden. Ist ein bisschen ungenau geschrieben, finde ich.

Des weiteren würde ich es besser finden, die direkten und indirekten Beweise nochmal in extra Überschriften zu unterteilen, und nicht unter einer Überschrift. Die ich auch etwas unglücklich finde: "Reductio ad absurdum" (weil sie im ersten Moment unverständlich ist, und weil Leute nach "direkt" und "indirekt" suchen, weil sie nämlich genau davon im Studium und Schule hören). Kann man nicht einfach eine Überschrift "Direkter Beweis" und eine weitere Überschrift "Indirekter Beweis" machen? (nicht signierter Beitrag von 93.134.191.75 (Diskussion) 20:33, 22. Jan. 2014 (CET))

Die zu Recht angeregte Umstellung hat mittlerweile stattgefunden.--FerdiBf (Diskussion) 11:08, 21. Dez. 2018 (CET)

falsches Beispiel bzw. unpassendes Beispiel?

Innerhalb des Abschnittes indirekter Beweis steht: "Einfache Beweise, die sich dieser Möglichkeit der Schlussfolgerung nicht bedienen, werden in Abgrenzung davon als direkte Beweise bezeichnet. Ein Beispiel:" Aus dem vorherigen Satz ist nicht ganz klar ob der die folgende Behauptung nun ein direkter oder indirekter Beweis sein soll. besser wäre vlt.: "Einfache Beweise, die sich dieser Möglichkeit der Schlussfolgerung nicht bedienen, werden in Abgrenzung davon als direkte Beweise bezeichnet. Ein Beispiel für einen direkten Beweis:" bzw. den die erste Behauptung direkt unter dem Abschnitt direkter Beweis einfügen, da es sich dabei eh nicht um einen indirekten Beweis handelt und es beim schnellen Überfliegen mehr zu Verwirrungen führt. --MrPoin (Diskussion) 12:34, 27. Jan. 2015 (CET)

Die beanstandete Formulierung ist bereits seit längerem entfernt, und ein Beispiel für den "direkten Beweis" findet sich unter unter "Direkter Beweis". Die hier zu Recht geäußerte Kritik ist damit umgesetzt.--FerdiBf (Diskussion) 11:12, 21. Dez. 2018 (CET)

Dritter indirekter Beweis

Der Beweis für ${\sqrt {2}}$ ist irrational ist kein indirekter Beweis sondern sehr direkt. Definiert man irrational als nicht rational, wie das üblicherweise der Fall ist, so ist das ein Beweis einer Negation. Der Satz vom ausgeschlossenen Dritten wird nicht gebraucht. — Spezialist • Disk 02:30, 19. Feb. 2017 (CET)

Der angegebene Beweis ist indirekt. Aus der Annahme, dass ${\sqrt {2}}$ eine Darstellung als Bruch hat, wird ein Widerspruch erzeugt.--FerdiBf (Diskussion) 11:14, 21. Dez. 2018 (CET)

Letzten Endes Terminologie-Geschmacksfrage. Es zeugt m.E. aber von schlechtem Geschmack, wenn üblicherweise als solche verstandene direkte Beweise von Implikationen als indirekte Beweise bezeichnet werden, nur weil das implizierte $\bot$ ist.

Die Möglichkeit, in klassischer Logik wirklich indirekte Beweise (mehr oder weniger a.k.a. Widerspruchsbeweise -- die Literatur ist sich nicht einig, was wie heißen soll) zu führen, ist etwas, was nicht verwässert werden sollte. --Daniel5Ko (Diskussion) 01:21, 6. Jan. 2019 (CET)

Wie Du bereits angedeutet hast, mag das ein Streit um Begriffe sein. Was ist ein Widerspruchsbeweis? In "Ebbinghaus, Flum, Thomas Einführung in die mathemmatische Logik, IV.2.4", wird im Rahmen des Sequenzkalküls die Widerspruchsregel wie folgt eingeführt. Hat man $\Gamma \,\neg \varphi \,\psi$ und $\Gamma \,\neg \varphi \,\neg \psi$, so kann man zu $\Gamma \,\varphi$ übergehen. Das heißt: Wenn $\Gamma \,\neg \varphi$ widerspruchsvoll ist (man kann $\psi$ und $\neg \psi$ herleiten), dann ist $\varphi$ aus $\Gamma$ hergeleitet. Noch einfacher ausgedrückt: Um $\varphi$ (aus gewissen Voraussetzungen $\Gamma$) herzuleiten, genügt es zu zeigen, dass $\neg \varphi$ (zusammen mit den Voraussetzungen $\Gamma$) zu einem Widerspruch führt. (Ich hoffe das ist im Rahmen der klassischen Logik bis hierhin unstrittig.)

In unserem Beispiel könnte $\Gamma =ZFC$ sein und mit reichlich vielen Definitionen $\varphi$ = "${\sqrt {2}}$ irrational". Dann ist $\neg \varphi$ = "${\sqrt {2}}$ rational", denn "irrational" ist ja gerade als Negation von "rational" defniniert. Das führt zu einem Widerspruch:das heißt, es gibt eine Aussage $\psi$, so dass $ZFC\,\neg \varphi \,\psi$ und $ZFC\,\neg \varphi \,\neg \psi$, als $\psi$ fungiert hier "${\sqrt {2}}$ hat eine gekürzte Darstellung als Bruch". Und dann schließen wir auf $ZFC\,\varphi$.

Es ist wahr, dass die zu beweisende Aussage von der Form $\neg \rho$, die Negation dazu ist $\neg \neg \rho$ was zumindest klassisch gleichbedeutend mit $\rho$ ist. Meiner Meinung nach ändert das aber nichts an der Anwendung der Widerspruchsregel. Könntest Du Deine Meinung näher begründen? --FerdiBf (Diskussion) 10:56, 6. Jan. 2019 (CET)

Charakteristisch für Widerspruchsbeweise ist die Herleitung eines Widerspruchs aus den Voraussetzungen des Satzes unter Hinzunahme der Negation der Behauptung. Genau das passiert hier, und ich sehe keinen Grund, das nicht als Widerspruchsbeweis zu betrachten. Hingegen ist es kein Widerspruchsbeweis, wenn nur im Beweis eine aussagenlogische Tautologie wie beispielsweise das Tertium non datur angewandt wird, die intuitionistisch nicht zulässig ist. Zusatzfrage (aber nicht für den Artikel!): braucht man für Widerspruchsbeweise das Deduktionstheorem? Schließlich taucht die zu widerlegende Annahme nicht nur links vom Implikationspfeil auf, sondern sogar unter den Voraussetzungen, was nicht notwendig dasselbe ist (z.B. nicht in der Modallogik).

Nicht so gut finde ich das Beispiel mit dem Euklidischen Beweis der Unendlichkeit der Menge der Primzahlen. Euklids Beweis ist durch und durch konstruktiv. In heutiger Sprechweise: Zu jeder endlichen Menge M von Primzahlen gibt es eine Primzahl, die nicht in M enthalten ist. Den Widerspruchsbeweis braucht man erst, wenn man das Wort „unendlich“ einbauen will, also wenn man aus Euklids Satz auf die Unendlichkeit der Menge der Primzahlen schließen will. Das gehört zunächst in den betreffenden Artikeln korrigiert, soweit es dort falsch ist. Aber problematisch ist das als kurzes Beispiel schon. --Lantani (Diskussion) 11:50, 9. Jan. 2019 (CET)

Ein "bisschen" Widerspruchsbeweis lässt sich vielleicht nicht ganz umgehen. Nach der von-Neumannschen Definition einer unendlichen Menge muss man zeigen, dass die Menge P der Primzahlen zu keiner natürlichen Zahl n (= {0,...,n-1}) gleichmächtig ist, d.h. dass es keine Bijektion n~P gibt, für jedes n. Wie macht man das? Man nimmt an, f:n~P wäre eine Bijektion, wendet dann auf die Primzahlen f(0),...,f(n-1) den Beweis an, d.h. prodzuiert eine weitere Primzahl, und schließt, dass f nicht surjektiv sein kann, Widerspruch! Alternativ könnte man folgende Definition für unendlich benutzen: Eine Menge M ist unendlich, wenn für jede endliche Teilmenge N die Differenzmenge M\N nicht leer ist. Dann hat man den Widerspruch in den simplen Beweis, dass dies zur von-Neumannschen Definition äquivalent ist, ausgelagert. Wie dem auch sei, der klassische Beweis (der Neuzeit) geht jawohl so, dass man annimmt, P wäre endlich, etwa P={p_1,...,p_n}, und erzeugt durch das bekannte Verfahren eine weitere Primzahl, Widerspruch! Ich behaupte nicht, dass Euklid einen Begriff von Unendlichkeit hatte, er hat wohl nur (konstruktiv) argumentiert, dass es zu jeder endlichen Menge von Primzahlen eine weitere geben muss, aber wenn wir das euklidische Argument auf unsere heutige Definition von Unendlichkeit anwenden wollen, kann man den Geschmack eines Widerspruchsbeweises vielleicht nicht ganz vermeiden. Ich lasse mich aber gerne durch Vorlage eines direkten Beweises eines Besseren belehren.--FerdiBf (Diskussion) 12:20, 12. Jan. 2019 (CET)

Der Punkt ist, dass man in "konstruktiver Mathematik" (was auch immer man genau damit meint) "Widerspruchsbeweise" i.d.R. nicht zulässig sind. Diese Behauptung ist terminologiemäßig m.E. recht unumstritten (auch wenn man tatsächlich wirklich etwas darüber streiten könnte; das ist aber im Moment noch eher Forschung und für die Praxis ganz irrelevant: Was kann man denn mit der Verallgemeinerung linearer Logik so anstellen? Und was hat das für eine philosophische Bewandtnis?). Zugleich gilt, dass man "konstruktiv beweisen kann", dass es keine rationale Zahl $q$ gibt mit $q^{2}=2$. Man muss dabei vom Prinzip des Widerspruchsbeweises keinen Gebrauch machen. --Daniel5Ko (Diskussion) 02:09, 25. Jun. 2022 (CEST)

Klar, intuitionistisch ist $\neg \varphi$ durch $\varphi \rightarrow \perp$ (Falsum) definiert. Genauso könnte man argumentieren, dass hier nur gezeigt wird, dass es zu jeder endlichen Menge von Primzahlen eine weitere Primzahl gibt, und das wird dann direkt gezeigt. Kurz und klein: Um auch diesem intuitionistischen Standpunkt gerecht zu werden, brauchen wir ein besseres Beispiel, das aber für den intendierten Leserkreis hinreichend einfach sein sollte. Vorschläge?--FerdiBf (Diskussion) 20:27, 26. Jun. 2022 (CEST)

Das "Trinkerparadoxon" wäre vielleicht angemessen verständlich, wenn auch in den Augen mancher ein zu irrelevantes / zu wenig mathematisches Beispiel: $M$ eine bewohnte Menge, $P$ ein Prädikat auf $M$, dann gilt: $\exists x\in M.\,(P(x)\to \forall x\in M.\,P(x))$. --Daniel5Ko (Diskussion) 00:23, 27. Jun. 2022 (CEST)

GLAUBE UND MATHEMATIK

Um den Mathematischen beweis zu verstehen, kommt man um den Glaube als Abschnitt des Wissens, nicht herum. Damit ist nicht umbedingt der Glaube an Unreelles wie Paramatematik gemeint, sondern der glaube an reales, welches nicht Vollständig bis in alle Ebenen des Zweifels verstanden wird.

Man muss, um Mathematik zu Verstehen und zu Beweisen, eine Reihe von Dingen glauben, um sie zu verstehen.

Erst bei näherer Beschäftigung mit einem Themengebiet kann Glaube Wissen weichen und das auch nur begrenzt.

Um Mathematik in sich mathematisch zu beweisen muss man sich dem Ursprung der Mathematik zuwenden.

Die absolute Grundlage der Mathematik ist die Einigung und Definition von Mathematik. An diese Definitionen muss man Glauben weil Mathematik sonst Uneindeutig und Schwachsinn.

Diese Definition nennt man Oximoron. Etwas ist in sich selbst definiert.

Auf diese Wortneuschöpfung will ich hinweisen, Oximoron.

Es ist das Wissen um diese Wort, wie Mathematik bewiesen werden kann.

Diese Kritik ist wahrscheinlich nicht ernst gemeint. Einen Vandalismusvorwurf will ich nicht erheben, aber ein konstruktiver Beitrag ist das meiner Meining nach nicht.--FerdiBf (Diskussion) 11:20, 21. Dez. 2018 (CET)

Dieser Abschnitt kann archiviert werden. FerdiBf (Diskussion) 11:20, 21. Dez. 2018 (CET)

Aus den Axiomen bewiesen?

Die beiden nachfolgenden Beiträge sind aus Diskussion:Satz (Mathematik) hierher kopiert, weil dieser Artikel hier und nicht der Artikel Satz (Mathematik) möglicherweise verbessert werden kann. Bei der Kopie habe ich Benutzernamen und Datum belassen. --Lantani (Diskussion) 15:36, 18. Aug. 2018 (CEST)

Die meisten Gebiete der Mathematik sind nicht so weit axiomatisiert, dass man aus den Axiomen etwas beweisen könnte. Nehmen wir die Gruppentheorie. Was eine Gruppe ist, wird zwar durch Axiome definiert, die Modelle der von den Gruppenaxiomen aufgespannten Theorie sind die Gruppen. Aber mit einer Gruppe beschäftigt sich ja Gruppentheorie kaum. Vielmehr beschäftigt sie sich mit den Beziehungen zwischen verschiedenen Gruppen, was den Rahmen dieser Theorie sprengt. Um einen Satz wie „Die Ordnung einer Untergruppe einer endlichen Gruppe G ist ein Teiler der Ordnung von G“ formal beweisen zu können, bräuchte man ein formales System, in dem man mindestens definieren kann, wann eine Gruppe eine Untergruppe einer anderen Gruppe ist, und was die Ordnung einer Gruppe ist – also erkleckliche Teile von Mengenlehre und Zahlentheorie. Hat das schon mal jemand so durchgezogen? Falls ja, allenfalls ein Logiker, aber sicher kein Algebraiker. Die verlassen sich nämlich darauf, dass sie nach der Definition von „Gruppe“ damit frei hantieren können, indem sie Mengen, Teilmengen, Abbildungen, Kongruenzrelationen und Quotientenstrukturen frei definieren, ohne jedesmal die formale Sprache und das Axiomensystem erweitern zu müssen. Deswegen war die frühere Intro besser, wo von Definitionen statt von Axiomen als Ausgangspunkt die Rede war. Meinungen? --Lantani (Diskussion) 18:24, 31. Jul. 2018 (CEST)

Mengenlehre wird idR. auch genutzt, basiert aber auch auf Axiomen. Und ja, das haben Mathematiker gemacht. --mfb (Diskussion) 21:59, 14. Aug. 2018 (CEST)

Ich meinte nicht eine prinzipielle Unmöglichkeit rein formaler Beweise und auch nicht Lücken in dem, was in der Mathematik bewiesen ist. Vielmehr hatte ich die WP-Oma im Blick, die in diesem Fall durchaus auch eine Abiturientin mit sehr guten Mathematikkenntnissen sein kann. Die will wissen, wie in der Mathematik bewiesen wird. Hier lernt sie: nur aus Axiomen in meist mehreren Schritten nach Schlussregeln. Dann leiht sie sich ein Mathematikbuch (z.B., weil das Beispiel von oben dort vorkommt, van der Waerdens Algebra), klappt es auf und stellt fest: für die meisten Aussagen keine formale Sprache, in der man sie formulieren könnte, erst recht keine Axiome darüber, und Schlussregeln werden auch keine genannt. Also ein Buch ohne Beweise. Und praktisch alle mathematischen Artikel und Bücher sind so, vielleicht mit Ausnahme von welchen über Mengenlehre oder Rekursionstheorie, die von Logikern geschrieben sind.

Deswegen halte ich diese Charakterisierung von Beweis für unpassend. Sie ist verdorben durch die Befriedigung, die sich einstellt, wenn man für den besonders trivialen Fall der Prädikatenlogik erster Stufe (wo es Vollständigkeitssätze gibt) verstanden hat, wie dort ein Beweis funktioniert. Aber der Rest der Mathematik wird nicht so betrieben, auch wenn man vielleicht könnte.

Die Lösung für hier könnte so aussehen, dass man den Unterschied zwischen formalen und nicht formalen Beweisen kurz darlegt und dazu Stellung nimmt, ob und wie letztere formalisiert werden könnten, wenn man wollte. Grob geschnitzt: ein mathematischer Beweis ist korrekt, wenn man Axiome und Schlussregeln angeben könnte, so dass er formal geführt werden könnte. Aber in der Praxis tut man es eben nicht, schon weil die meisten Mathematiker in Logik nicht so firm sind, sobald die Prädikatenlogik erster Stufe überschritten wird. --Lantani (Diskussion) 15:42, 18. Aug. 2018 (CEST)

Das Mathematikbuch zeigt vielleicht nicht jeden einzelnen Schritt auf, aber das heißt nicht, dass diese Zwischenschritte nicht existieren. Wir haben sogar Computerprogramme die Beweise machen - und die können prinzipbedingt nur mit Axiomen und anderen darauf basierenden, bereits bewiesenen Aussagen arbeiten. --mfb (Diskussion) 02:42, 19. Aug. 2018 (CEST)

Nein, es geht gerade nicht um Zwischenschritte, die der Verfasser jederzeit einfügen könnte und die er dann weglassen darf, wenn er von Leser erwarten kann, dass er sie selbst einfügen kann. Vielmehr geht es um die Grundlagen: Begriffe wie Menge, n-Tupel, Relation, Funktion usw. werden in Anfängervorlesungen gründlich – aber keineswegs axiomatisch im Rahmen von ZFC – eingeführt und später bei den Verfassern und Lesern mathematischer Texte vorausgesetzt. Eine formale Herleitung nach dem Muster des Beweisbegriffs im Artikel könnten die meisten Verfasser und Leser nicht erbringen, auch wenn sie Mathematiker sind. Natürlich könnten sie sie irgendwo nachblättern und, wenn sie sich in Beweistheorie eingearbeitet haben, auch verstehen. – Meine These aber war: auf diese Weise werden mehr als 95 % aller Beweise nicht gemacht, und damit ist der Artikel hier unzutreffend, wenn er solche Beweise als typisch für die Mathematik darstellt. Ich werde das mal bei QS Mathematik einstellen, um weitere Meinungen einzuholen (der Baustein hier ist nicht von mir, kann aber weiterverwendet werden). --Lantani (Diskussion) 12:24, 28. Okt. 2018 (CET)

Liste falsch

Fällt nicht die Vollständige Fallunterscheidung und das Schubfachprinzip ebenfalls unter den indirekten Beweis?

Hier werden alle Fälle untersucht und am Ende wendet man das TND an.

Die Vollständige Induktion dagegen ist ein direkter Beweis, er basiert auf den Induktionsanfang und weiteren Axiomen. --2A02:908:424:9D60:517E:E12D:4CE8:CC93 14:47, 3. Okt. 2022 (CEST)

Indirekter Beweis / Widerspruchsbeweis

Ein indirekter Beweis ist schlicht ein Beweis, der die Negation der Behauptung zu einem Widerspruch führt. Dabei ist unerheblich, ob eine Anwendung von TND wirklich notwendig ist. Mir ist schon klar, dass intuitionistisch $\neg A$ als $A\to \perp$ definiert ist und daher der Beweis der Irrationalität von Wurzel aus 2 direkt ist, aber das dürfte dem durchschnittlichen Leser egal sein, da nicht-klassische Logik wohl nur einem sehr kleinen Leserkreis bekannt sein dürfte. Das zuletzt hinzugefügte Beispiel würde ein Leser mit rudimentären logischen Kenntnissen der booleschen Algebra auch mit gewissem Stirnrunzeln lesen, denn $\neg (a\to b)\to a=\neg (\neg a\lor b)\lor a=(\neg \neg a\land \neg b)\lor a=(a\land \neg b)\lor a=a$, und fertig. Intuitionistisch würde man natürlich nur $\neg \neg a$ erhalten, weil nicht in einer booleschen sondern einer Heyting-Algebra gerechnet wird. Wollen wir den Leser, der das Wesen mathematischer Beweise verstehen will, wirklich mit nicht-klassischer Logik behelligen? Der aktuelle Text zum indirekten Beweis ist über die Jahre gewachsen und leider sieht man ihm das auch an.

Mein Vorschlag: Wir nennen das Ganze Widerspruchsbeweis. Ein Widerspruchsbeweis (auch indirekter Beweis) zu einer Behauptung $A$ ist ein Beweis, der die Negation $\neg A$ der Behauptung zu einem Widerspruch führt. Also muss $\neg A$ falsch sein und man erhält die Behauptung $A$ mittels des Satzes vom ausgeschlossenen Dritten. Die Verwendung des Satzes vom ausgeschlossenen Dritten ist oft vermeidbar, nämlich dann, wenn die Behauptung selbst eine Negation $\neg A$ ist. Führt man dann $A$ zu einem Widerspruch, erhält man direkt die Behauptung $\neg A$, ohne den Satz vom ausgeschlossenen Dritten anwenden zu müssen. Es gibt Logiker, die zwischen diesen beiden Varianten unterscheiden, siehe intuitionistische Logik.

Dann kommt das sehr weit verbreitete Beispiel mit der Wurzel 2, das ein absolutes Muss ist.

Dann vielleicht: Jede natürliche Zahl ist ein endliches Produkt von Primzahlen. Nimmt man an, das sei nicht so, dann gibt es eine kleinste natürliche Zahl $n$, die nicht endliches Produkt von Primzahlen ist. Dann kann $n$ selbst keine Primzahl sein, also muss es natürliche Zahlen $a,b<n$ geben mit $n=ab$. Da $n$ die kleinste Zahl ist, die nicht endliches Produkt von Primzahlen ist, müssen $a$ und $b$ endliche Produkte von Primzahlen sein. Multipliziert man diese beiden Produktdarstellungen, erhält man eine Darstellung von $n$ als endliches Produkt von Primzahlen. Das ist ein Widerspruch zu Wahl von $n$. Daher ist die Annahme falsch und es folgt die Behauptung.

Beide Beweise können einem Leser mit durchschnittlichen Mathematikkenntnissen zugänglich sein. Dann könnte man noch einmal auf den subtilen Unterschied in der Verwendung von TND eingehen, obwohl die meisten Leser beide Beweise ohne Zögern als Widerspruchsbeweise ansehen würden, da sie die Verwendung von TND nicht reflektieren. --FerdiBf (Diskussion) 10:59, 9. Dez. 2022 (CET)

Ich bin mit den meisten Gedanken einverstanden. Wichtig ist m.E. aber die Form des Beweises, wenn es darum geht, festzustellen, ob es sich um einen ("wirklichen") Widerspruchsbeweis handelt, und nicht so sehr, ob das allgemeine RAA-Prinzip verwendet wird (letzteres ist aber ein hinreichendes Kriterium). Man kann indirekte Beweise auch in intuitionistischer Logik durchführen. Nur eben nicht einfach so per Definition immer, sondern nur bei Aussagen, die "stabil" sind.

Folgendes ist auch für mein strenges Ich ein indirekter Beweis:

Sei n ∈ ℕ und p ein Primfaktor von n!+1.

Satz: p > n.

Beweis: Angenommen, ¬(p > n), also p ≤ n,

dann gilt sowohl p ∣ n!+1 als auch p ∣ n!.

Daher teilt p auch 1, was nicht sein darf.

(Das Beispiel fiel mir vor dem gestrigen Edit ein, erkannte ich aber als (mit großer Wahrscheinlichkeit; es kommt auf die präzisen Definitionen an) analog zum ersten im Artikel und habe dann doch ein anderes gewählt.)

In dem wird implizit benutzt, dass p > n äquivalent zu ¬(p ≤ n) und (p ≤ n) äquivalent zu ¬(p > n) ist, u.a aus ¬¬(p > n) also p > n folgt (was man alles in intuitionistischer Logik beweisen kann, wie du weißt).

Des weiteren sehe ich folgendes noch als Problem (was auch, oder vielleicht auch mehr, den RAA-Artikel angeht): Es sollte beim Vergleich klassischer Logik vs. intuitionistischer Logik nicht so sehr auf ${\begin{array}{c}\Gamma ,\lnot A\vdash \bot \\\hline \Gamma \vdash A\end{array}}({\text{RAA}}_{\text{cls}})$ versus ${\begin{array}{c}\Gamma ,A\vdash \bot \\\hline \Gamma \vdash \lnot A\end{array}}(\lnot {\text{intro}})$ herumgeritten werden. Das ("direkte!" xD) $\lnot {\text{intro}}$ ist eh immer da. Einige Autoren nehmen ${\begin{array}{c}\Gamma \vdash \bot \\\hline \Gamma \vdash A\end{array}}({\text{RAA}}_{\text{int}})$ (samt Bezeichnung!, oder einer analogen) statt ${\text{RAA}}_{\text{cls}}$ als ausschließlichen Unterschied in den Regeln. Und ich finde das gar nicht so dumm. --Daniel5Ko (Diskussion) 01:52, 10. Dez. 2022 (CET)