Diskussion:Differentialform

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Dieser Artikel gefällt mir sehr gut, aber es fehlen die Erklärungen geschlossene/exakte Form sowie das Integral von n-Formen. Pfaffsche Form beschreibt den Spezialfall der 1-Formen auf Teilmengen des Rⁿ in einer sehr koordinatenbetonten, inhaltlich und sprachlich verbesserungsbedürftigen Form; auch hat beispielsweise die Erklärung des Begriffs "Tangentialvektor" dort nichts verloren.

Vorschlag: erhaltenswerte Teile integrieren.--Gunther 13:42, 15. Mär 2005 (CET)

Ich finde beide Artikel sollten zu einem Artikel vereinigt werden. Der Spezialfall der Pfaffschen Form ist für das Verständnis von Differentialformen sehr wichtig. Deshalb ist eine gesonderte Diskussion angebracht. Aus Verständnisgründen sollte die Diskussion der Pfaffschen Form vorangestellt werden, worauf die allgemeine Definition von Differentialformen folgt. Die Erklärung von Tangentialvektorräumen ist essentiell für das Verständnis von Differentialformen. Der Artikel "Tangentialraum" gibt eine Einführung in das Gebiet.

Beiden Artikel fehlt eine ansprechende Gliederung. Ferner sollten ein oder zwei bedeutsame geometrische oder physikalisch/technische Anwendungen zur Veranschaulichung diskutiert werden. Benutzer:Kilian Klaiber

Hm, habe (von mir sind große Teile dieses Artikels) den Artikel Pfaffsche Form damals gar nicht gesehen, Gunthers Idee ist aber sicher richtig, bei Pfaffsche Form sind mir aber so viele Pfeile, das beeinträchtigt m.E. die Lesbarkeit. 217.231.171.238 22:08, 19. Mär 2005 (CET)

Benutzer:Kilian Klaiber:Ich habe einige Fragen zur Definition. Ich vermute, dass die sogenannte Karte eine Karte der Mannigfaltigkeit M darstellt. Was ist aber unter der Basis einer Karte zu verstehen? Wieso ist hier überhaupt von einer Karte die Rede? Zur Definition der Differentialform bedarf es doch keiner Karte! @ Gunther: Wieso bilden die Differentialformen und/oder K-Formen keinen Vektorraum? Welches Vektorraum-Axiom wird den durch die Differentialformen oder K-Formen verletzt?

Die Differentialformen (auf einer festen offenen Menge, also zB ganz M) bilden einen Vektorraum, das Kotangentialbündel nicht.

Ob man für die Definition einer Differentialform eine Karte benötigt, hängt von der verwendeten Konstruktion des Tangentialbündels ab. Mit der "Basis" des Kotangentialbündels ist eine lokale punktweise Basis gemeint, d.h. für jeden Punkt p in der Karte bilden die $\mathrm {d} x^{i}(p)$ eine Basis des Vektorraums $T_{p}^{*}M$. Leider ist Vektorbündel noch im Entstehen.--Gunther 22:40, 28. Mär 2005 (CEST)

[Benutzer:Kilian Klaiber]]: Also je länger ich über diesen Artikel nachdenke desto weniger gefällt er mir.

1. Am Anfang ist von einem "Leibnizschen Differential" die Rede. Die Begriffe Vektoranalysis und Gradient fallen. Es bleibt aber vollkommen schleierhaft,was die Differentialform damit zu tun hat. 2. Die eigentliche Definition der Differentialform greift auf alle möglichen Begriffe zurück, die entweder zur Festlegung nicht notwendig sind oder deren Bedeutung schleierhaft ist. Zur Definition einer Differentialform bedarf es keiner komplizierten topologischen Begriffe wie Schnitt, Bündel, Karte, Modul, ... Ein solcher Artikel sollte so allgemein verständlich wie möglich sein. Deshalb sollten meiner Meinung nach alle diese Begriffe gestrichen werden! Wichtige Begriffe werden allerdings nicht erläutert, insbesondere was eine alternierende k-Form auf einem Vektorraum V ist, bleibt schleierhaft. Schließlich gehört die Koordinatendarstellung nicht zur Definition der Differentialform. Es ist auch vollkommen unerheblich für die Definition der Differentialform, ob die Menge der Differentialformen einen Vektorraum oder sonst irgendetwas bilden. Für die Darstellung der Differentialform nach Ihren Basisvektoren, ist es allerdings notwendig zu wissen, dass sie einen Vektorraum bilden. 3. Die Darstellung der Differentialform nach ihrer Basis (der Kram mit den Dachprodukten neben dem Summenzeichen) ist schlicht falsch. 4. @Gunther: Die Menge der alternierenden K-Formen bildet einen Vektorraum, der mit $\bigwedge {}^{k}V^{*}$ üblicherweise bezeichnet wird. Jeder Vektorraum wird durch seine Basis aufgespannt. Die Basis eines Vektorraums wird gebildet durch eine Menge linear unabhängiger Vektoren. Deshalb kann jede Differentialform der Ordnung k nach ihren Basisvektoren $dx^{i}1\wedge \ldots \wedge dx^{i}k$ entwickelt werden. Die Vektoren $dx^{i}1$ bilden eine Basis des Vektorraums der Differentialformen 1. Ordnung bzw. Pfaffschen Formen.

1. Das ist richtig, der Einleitungsteil ist zu kurz. Ich habe mich vor ein paar Tagen mal in Differential (Mathematik) an einer Erklärung versucht, was Differentialformen und Leibniz' Idee eines Differentials miteinander zu tun haben.

2. Für die Definition von Differentialformen auf Mannigfaltigkeiten wird man ein paar Grundbegriffe zu Mannigfaltigkeiten brauchen. Da alternierend auch in äußere Algebra nicht verlinkt ist, nehme ich an, dass es keinen Artikel gibt. Der Artikel hat noch Verbesserungspotential, das bestreite ich nicht.

3. Das stimmt schon. Was da ausführlicher stehen könnte, wäre:

Es gibt zu jeder $k$-Form $\omega$ eindeutig bestimmte Funktionen $a_{i_{1},\ldots ,i_{k}}$ für $i_{1}<\ldots <i_{k}$, so dass

$\omega =\sum _{i_{1}<\ldots <i_{k}}a_{i_{1},\ldots ,i_{k}}\mathrm {d} x^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge \mathrm {d} x^{i_{k}}$

gilt.

Und das kann man so in jedem Analysis- oder Diffgeobuch nachlesen.

4. Nein, sie bilden eine Basis des freien $C^{\infty }(U)$-Moduls der Differentialformen. Das ist schon für 1-Formen so, das hat nichts mit den äußeren Potenzen zu tun. Man kann

$\sin x\cdot \mathrm {d} x$

nicht mit konstanten reellen Koeffizienten bezüglich der Basis $\mathrm {d} x$ darstellen.

--Gunther 00:36, 29. Mär 2005 (CEST)

Tut mir Leid, aber der Artikel ist eine Katastrophe. Es bedarf überhaupt nicht des Begriffes der Mannigfaltigkeit, um eine Differentialform zu definieren. Eine offene Teilmenge des R^n genügt schon. Mehr Topologie ist für eine Begriffsdefinition überflüssig und falsch. Was unter der "Basis" eines Bündels zu verstehen ist, ist vollkommen unklar. Das kannst du dir wirklich alles schenken. In der Definition steht selbst, dass die Menge der k-Formen einen R-Vektorraum bilden. Ist unter der K-Form eine alternierende Form zu verstehen oder eine Differentialform der Ordnung k? In dem Artikel wird nicht sauber dazwischen unterschieden. Das stimmt alles hinten und vorne nicht und sollte komplett neu geschrieben werden, sorry das ist meine Meinung.

Differentialformen kann man auf offenen Teilen des R^n definieren, aber die naive Definition lässt sich nicht auf Mannigfaltigkeiten verallgemeinern. Und erst mit Mannigfaltigkeiten kann man zB den Satz von Stokes formulieren. Auf offenen Teilmengen des R^n sind Differentialformen ganz nett, aber niemand braucht sie wirklich, weil der Tangentialraum in jedem Punkt einfach gleich R^n ist.

"Lokale Basis" habe ich oben definiert. $\Omega ^{k}(M)$ ist zwar ein $\mathbb {R}$-Vektorraum, ist aber unendlichdimensional, und man kann keine Basis explizit angeben. k-Formen sind Differentialformen der Ordnung k, der Artikel schreibt ansonsten einmal "alternierende lineare k-Form", und dieser Unterschied sollte ausreichend sein.--Gunther 10:30, 29. Mär 2005 (CEST)

Ich denke das ist ein Artikel über Differentialformen! Vom Satz von Stokes ist hier meilenweit nichts zu sehen. Wenn es so weit ist, kann man sich mit Untermannigfaltigkeiten beschäftigen. Das hat hier wirklich noch nichts zu suchen. Das soll doch eine Einführung sein! Welcher Leser schwebt Dir denn vor? Unnötiger Ballast bitte fort! Ach ja, die "naive Definition "lässt sich sehr wohl auf Mannigfaltigkeiten erweitern. Die Mannigfaltigkeit ist einfach Teilmenge der offenen Menge definiert. Es ist schlicht falsch die Definition der Differentialform auf Mannigfaltigkeiten einzuschränken!

Ach und ich habe mir jetzt auch noch den Rest angetan. Der Artikel strotzt auf der einen Seite von mathematischem Fach-Chinesisch und Ungenauigkeiten. Bevor die äußere Ableitung überhaupt eingeführt ist, wird schon behauptet sie sei "Nilpotent". So what? d^2=0 versteht jeder. Nachdem die Koordinatendarstellung der Differentialform und deren äußere Ableitung also definiert sind, bemüßigt sich der Autor das Dachprodukt einzuführen. Das ist viel zu spät. Sowohl die äußere Ableitung als auch die Koordinatendarstellung verwenden bereits das Dachprodukt. Anstelle das Dachprodukt zu definieren und dessen wesentlichen Eigenschaften vorzustellen wird wieder verlinkt. Aber Oh Gott, nicht das Dachprodukt zwischen alternierenden K-Formen (wo sind die definiert?) sondern allgemeiner zwischen Multilinearformen wird vorgestellt. Wieder ein neuer unnötiger Begriff, der den Leser einschüchtert und fehl am Platz ist. Nicht jede Multilinearform ist eine alternierende k-Form, um die es hier ausschließlich geht! Im darauffolgenden Satz dasselbe, hochtrabend ist von einer "graduierten Algebra" und "Homogenität" die Rede. So What? Die darauffolgende dargestellt Ableitung des Keilproduktes zweier Multilinearformen verzichtet leider auf den Hinweis, dass die Multilinearformen differenzierbar sein müssen. Bitte Neu Schreiben! Das geht so überhaupt nicht. Als Einführung in das Gebiet Differentialformen ist der Artikel leider vollkommen ungeeignet.

Da wir einen Artikel Satz von Stokes haben, brauchen wir einen Artikel, der Differentialformen auf Mannigfaltigkeiten erklärt. Nicht jede Mannigfaltigkeit ist Teilmenge des R^n, schon gar keine offene. (Und sage mir bitte nicht, dass Du den Begriff der Differentialform mit dem Whitneyschen Einbettungssatz definieren willst.) Was also ist eine globale Differentialform auf z.B. der reellen projektiven Ebene?

Die angeblichen "Ungenauigkeiten" sehe ich nicht.

Natürlich fehlt dem Artikel eine elementare Einleitung. Aber ich denke, er ist dennoch eine bessere Grundlage als Pfaffsche Form, wo man vor lauter Koordinaten und Pfeilchen nichts mehr sieht.--Gunther 11:29, 29. Mär 2005 (CEST)

Du hast leider vollkommen den Leser aus dem Auge verloren. Wer soll denn den Artikel lesen? Mit Differentialformen beschäftigen sich nicht nur Mathematiker, auch Physiker, Chemiker, Elektrotechnik- und Maschinenbauingenieure haben damit zu tun. Vielleicht möchte sich auch mal ein einfacher Mathematiklehrer mit dem Thema beschäftigen. Die erreichst Du überhaupt nicht. Versuch doch erst mal eine verständliche Erklärung des Begriffs Differentialform anzugeben. Stelle Dir vor, jemand will Differentialformen sinnvoll anwenden. Nach Deiner Einführung ist das unmöglich. Versuche nicht Leute mit Fach-Chinesisch zu beeindrucken (z.B.Whitneyscher Einbettungssatz :-)) Das hat in so einem Artikel nichts zu suchen. Falls Du kein Buch mit einer sinnvollen Definition von Differentialformen hast, möchte ich dir empfehlen: Barner Flohr "Analysis II" oder Otto Forster: "Analysis 3". In diesen Büchern ist der Stokesche Integralsatz auf Untermannigfaltigkeiten des R^n definiert. Insofern sind mir Deine Ausführungen dazu schleierhaft.

Ich stimme Dir völlig zu, dass diesem Artikel eine elementare Einleitung fehlt, das habe ich auch schon mehrfach gesagt. Ich empfinde allerdings die Versuche, den Begriff Mannigfaltigkeit zu umgehen, meist als etwas umständlich. Extrembeispiel ist hier die Darstellung in Heusers Analysis, die kann ich bis heute nicht nachvollziehen. Und es gibt nun einmal Mannigfaltigkeiten, die nicht mit einer kanonischen Einbettung daherkommen, wie z.B. die projektive Ebene, und dann hat man das Problem, dass "naive" Tangentialvektoren zu einer Einbettung gehören usw.

Abgesehen davon ist das hier eine Enzyklopädie, und die sollte alle Verwendungen des Begriffes aufzeigen.

Wenn Du nicht laut protestierst, würde ich mich heute abend mal an einer Überarbeitung versuchen. Ich verspreche auch, den Whitneyschen Einbettungssatz nicht zu erwähnen (ich wüsste auch nicht, wieso).--Gunther 13:14, 29. Mär 2005 (CEST)

Super, ich bin gespannt!

Also, das lässt sich richtig gut an! Kompliment!

Oh, danke. Es fehlt noch alles, das mit Integration zu tun hat, und natürlich Beispiele. Aber nicht heute...--Gunther 00:18, 30. Mär 2005 (CEST)

Es wäre schön, wenn ihr euch eure Seite auch in PDF anseht. Die Formeln sind nicht auf der Seite vollständig, da sie nicht umgebrochen werden. (nicht signierter Beitrag von 78.49.107.162 (Diskussion) 11:52, 20. Apr. 2016 (CEST))

Abgrenzung

Mir ist nur immer noch nicht klar, wie die Abgrenzung gegenüber Pfaffsche Form erfolgen soll.

• Den derzeitigen Inhalt von Differentialform halte ich für das Minimum, wir können nicht zur Definition von k-Formen auf Pfaffsche Form verweisen, selbst wenn wir die Notationen vereinheitlichen.
• Das Integral für n-Formen kann Pfaffsche Form nicht leisten, d.h. das muss auch noch hierher.
• Ich kann mir vorstellen, dass es sinnvoll ist, das Integral einer k-Form über eine k-dimensionale Untermannigfaltigkeit für Wege/Kurven separat zu erklären.
• Die Beziehung zu rot und div fehlt bisher noch, dabei geht es aber auch um 2- oder 3-Formen.
• Ansonsten gibt es noch die physikalischen Beispiele aus Pfaffsche Form.

Habe ich etwas übersehen? Was fehlt sonst? Kommentare? (Ach ja: bitte immer mit zwei Minussen und vier Tilden unterschreiben, und am besten anmelden und immer den Anmeldenamen benutzen. Mir ist nämlich nicht ganz klar, wieviele Leute hier eigentlich an der Diskussion beteiligt sind...)--Gunther 19:40, 1. Apr 2005 (CEST)

Die wichtigsten Punkte zum Integral sind jetzt da, aber z.B. die tatsächliche Konstruktion sollte in einen separaten Artikel.-- Gunther 22:31, 7. Apr 2005 (CEST)

Hallo Gunther,

ich habe mir den Artikel noch mal genauer durchgelesen. Im Großen und Ganzen ist er schon viel besser geworden. Ich meine, dass es keinen Zweck hat die Nomenklatur der beiden Artikel "Differentialform" und "Pfaffsche Form "zu vereinheitlichen. Auch wenn man die ganze Pfeile weglässt gibt es noch diverse Unterschiede. Vielleicht sollte man die Artikel nebeneinander stehen lassen. Pfaffsche Form behandelt dann lediglich ausführlicher einen Spezialfall einer Differentialform. Genauso macht es beispielsweise Sinn separate Artikel für Riemann- und Lebesgue-Integrale aufzunehmen.

So, jetzt einige Detailanmerkungen.

Bei der Definition der 1-Form werden zwei verschieden Definitionen präsentiert, wobei unklar ist inwiefern die Definitionen äquivalent sind. Ferner ist davon die Rede, dass die Abbildung $p\mapsto \omega _{p}(X_{p})\in \mathbb {R}$ differenzierbar sein muss. Es ist aber nicht klar bezüglich welchen Arguments (p oder X) die Abbildung differenzierbar sein muss. Das Symbol $\Gamma \mathrm {T} U$ wird ohne vorherige Definition eingeführt, so dass dem unbefangenen Leser die Bedeutung unklar ist.--Kilian Klaiber 14:38, 8. Apr 2005 (CEST)

• Die Definition zweimal mit unterschiedlichen Notationen aufzuschreiben, kommt mir unnötig und verwirrend vor.
• Zu Differentialformen und Physik gibt es durchaus noch mehr zu sagen, Physiker interessieren sich doch auch für div rot = 0 und Vektorpotentiale, und irgendetwie leben die p's und q's der klassischen Mechanik im Kotangentialbündel.
• Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung würde für meinen Geschmack gut zum Gaußschen Integralsatz & co. passen.

Deshalb scheint mir eine Aufteilung Differentialform, Differentialformen in der Physik, Integration von Differentialformen sinnvoll.

Zur momentanen Fassung von Differentialform:

• die Frage der Differenzierbarkeit nach p oder X sollte durch die kleine Formulierungsänderung jetzt klar sein
• $\Gamma \mathrm {T} U$ wird im Abschnitt "Kontext" unter dem Punkt "Vektorfeld" definiert
• Die eine Implikationsrichtung bei den beiden Definitionen finde ich offensichtlich (sind die $\omega _{p}$ gegeben, so ist $\omega (X)$ die Funktion $p\mapsto \omega _{p}(X_{p})$), die andere Richtung ist zugegebenermaßen aus dem, was dasteht, nicht klar. Aber ich würde denken, dass das zu weit führt: Zu zeigen ist

$X_{p}=Y_{p}\Longrightarrow \omega (X)(p)=\omega (Y)(p)$

oder äquivalent

$X_{p}=0\Longrightarrow \omega (X)(p)=0.$

Wählt man Koordinaten, so hat $X$ die Form

$X=f_{1}\cdot {\frac {\partial }{\partial x_{1}}}+\ldots +f_{n}\cdot {\frac {\partial }{\partial x_{n}}},$

und es gilt $f_{1}(p)=\ldots =f_{n}(p)=0$. Mit einem Standardargument (Partition der Eins) ist also

$\omega (X)(p)=f_{1}(p)\omega \!\left({\frac {\partial }{\partial x_{1}}}\right)+\ldots +f_{n}(p)\omega \!\left({\frac {\partial }{\partial x_{n}}}\right)=0.$

Das ist aber mMn auch nicht so interessant, als dass man es im Artikel vorführen müsste.

-- Gunther 15:56, 8. Apr 2005 (CEST)

Abstraktheit

Ach ja, noch eine kleine Anmerkung von mir. Ich meine, dass es nicht immer sinnvoll ist die abstrakteste Definitionen voranzustellen. Das schreckt den Leser nur ab. Besser erscheint es mir mit einer weniger allgemeinen Definition anzufangen, die einfacher zu verstehen ist, um später eine abstraktere Definition einzuführen. Ich finde der Artikel offene Menge macht das sehr schön! --Kilian Klaiber 14:52, 8. Apr 2005 (CEST)

In diesem Fall finde ich die koordinatenfreie Definition wesentlich einfacher. Ich kann mich erinnern, dass ich bei der Definition des Tangentialbündels die Definition über Derivationen am angenehmsten fand: Ein Vektorfeld ist etwas, mit dem man Funktionen ableiten kann. Und nicht: Ein Vektorfeld ist eine Summe $f_{1}\cdot {\frac {\partial }{\partial x_{1}}}+\ldots$, und wenn ich andere Koordinaten nehme, ist das Vektorfeld ein anderes, aber doch irgendwie dasselbe.

Genauso hier: eine 1-Form ist etwas, mit dem man aus einem Vektorfeld eine Funktion macht, oder das punktweise aus Tangentialvektoren Zahlen macht. Ich denke, als erste Definition ist das handlich und überschaubar. Dagegen weiß bei $\mathrm {d} x_{i}$ doch niemand, was das eigentlich genau ist.-- Gunther 16:31, 8. Apr 2005 (CEST)

Lieber Gunther, ich verstehe Dich leider überhaupt nicht mehr! Ein Vektorfeld ist doch nicht etwas, mit dem man Funktionen ableiten kann! Ein Vektorfeld ist eine Abbildung, die jedem Punkt $r$ eines Raumes einen Vektor ${\vec {F}}(r)$ zuordnet. Das hat überhaupt nichts mit Ableitungen zu tun! --Kilian Klaiber 12:38, 9. Apr 2005 (CEST)

(Mit Vektorfeld meine ich Tangentialvektorfeld.)

Tangentialvektoren haben i.w. zwei Aufgaben:

• Geschwindigkeitsvektoren von Wegen zu sein
• Richtungsableitungen von Funktionen zu definieren.

Möchte man jetzt definieren, was ein differenzierbares Vektorfeld ist, so ist das im zweiten Bild wesentlich leichter. Die dritte Möglichkeit:

• Lokal wissen wir, was Tangentialvektoren sind.

hat das Problem, dass man keine Vorstellung davon bekommt, was ein globales Vektorfeld z.B. auf der 2-Sphäre tatsächlich ist.-- Gunther 15:45, 9. Apr 2005 (CEST)

Die vierte Möglichkeit:

• Im umgebenden Raum wissen wir, was Tangentialvektoren sind.

hat das Problem, dass die Definition zunächst vom umgebenden Raum abhängt und die Unabhängigkeit erst noch gezeigt werden muss.-- Gunther 16:01, 9. Apr 2005 (CEST)

Ich sehe ein, dass das letzte Argument (gegen die Definition durch eine Einbettung) schwacht ist. Aber zum einen gibt es Mannigfaltigkeiten ohne kanonische Einbettung (das Beispiel reelle projektive Ebene ist ja schon genannt) oder mehr als einer Einbettung (obere Halbebene oder Einheitskreisscheibe), zum anderen ist die intrinsische Sichtweise "die richtige". Will man beispielsweise im Einbettungsbild die Richtungsableitung einer Funktion auf der 2-Sphäre bilden, muss man die Funktion erst auf den umgebenden Raum ausdehnen (dabei ist eine Wahl zu treffen: radial oder in Richtung einer Koordinatenachse?), entsprechend wenn man die Lieklammer zweier Vektorfelder bilden will.-- Gunther 16:40, 9. Apr 2005 (CEST)

Ein Vektorfeld ${\vec {F}}(r)$ ist ein (total oder partiell) differenzierbares Vektorfeld, wenn die (totale oder partiellen) Ableitung(en) des Vektorfeldes an jedem Punkt r existiert(en). Was ist das Problem? Was hat das überhaupt noch mit Differentialformen zu tun? --Kilian Klaiber 17:33, 9. Apr 2005 (CEST)

Was ist ein Tangentialvektor an die 2-Sphäre? Ein Vektor im $\mathbb {R} ^{3}$? So verstehe ich Dich, und das ist die vierte Möglichkeit oben, mit den genannten Problemen.

Der Bezug zu den Differentialformen ist der, dass dort dasselbe Problem auftritt: man interessiert sich nur für differenzierbare (oder zumindest stetige oder messbare) Differentialformen. Es gibt dann die folgenden Möglichkeiten zur Definition:

• über die Auswertung auf einem Vektorfeld, wie in Differentialform
• über lokale Koordinaten und eine explizite Basis, wie in Pfaffsche Form (auch wenn da momentan noch "$f_{i}$ sind beliebige Abbildungen" steht)
• über das Kotangentialbündel.

Die dritte Möglichkeit ist zu kompliziert, das hatten wir ja schon geklärt. Wenn man jetzt nicht unmotiviert Symbole $\mathrm {d} x_{i}$ einführen will, sondern diese als äußere Ableitung der Koordinaten definiert, so bleibt nur die erste Möglichkeit. (In Pfaffsche Form steht, dass $\mathrm {d} s$ kein totales Differential ist. Ist aber $s$ die Bogenlänge, so ist $\int f\,\mathrm {d} s$ genau das Integral der Differentialform $f\,\mathrm {d} s$.)-- Gunther 18:17, 9. Apr 2005 (CEST)

O.K. ich glaube es geht Dir wieder um die differenzierbaren Mannigfaltigkeiten. Mit 2-Sphäre ist wohl eine Kugeloberfläche gemeint. Tangentialvektoren einer Kugeloberfläche sind Elemente der R^3. Ich bin d'accord. Man kann die Menge der Tangentialvektoren als Vektorfeld auf der Kugeloberfläche auffassen. So weit alles richtig? Meinst du mit "Auswertung eines Vektorfeldes" die lineare Abbildung der Tangentialvektoren auf R? Ich habe mir noch mal den Artikel Pfaffsche Form angeschaut. In der Definition steht da nichts von lokalen Koordinaten und lokaler Basis. Wie kommst du darauf? --Kilian Klaiber 19:06, 9. Apr 2005 (CEST)

Ja, mit Auswertung meine ich das Bild eines Tangentialvektors unter dem fraglichen Kotangentialvektor, also eine reelle Zahl. "Lokale Koordinaten" sind im Fall von Pfaffsche Form einfach die Koordinaten auf dem $\mathbb {R} ^{n}$, und die Basis der Differentialformen ist $\{\mathrm {d} x_{1},\ldots ,\mathrm {d} x_{n}\}$. (Der ganze Artikel behandelt nur den lokalen Fall.)-- Gunther 19:27, 9. Apr 2005 (CEST)

Tut mir leid, das ist zu hoch für mich. Wie meinst Du das? --Kilian Klaiber 20:04, 9. Apr 2005 (CEST)

Ich meine damit: in Pfaffsche Form ist Stetigkeit von 1-Formen über die Stetigkeit der $f_{i}$ in

$w=f_{1}\,\mathrm {d} x_{1}+\ldots +f_{n}\,\mathrm {d} x_{n}$

definiert. Alternativ kannst Du auch alle $T_{p}^{*}U$ mit $(\mathbb {R} ^{n})^{*}$ identifizieren und sagen, dass $w\colon U\to (\mathbb {R} ^{n})^{*}$ stetig sein soll. Beides geht beispielsweise für die Kugeloberfläche nicht so einfach:

• Es gibt kein globales Koordinatensystem $\{y_{1},y_{2}\}$ für die Kugeloberfläche. Man kann zwar jede 1-Form auf der Kugeloberfläche in der Form

$f_{1}\,\mathrm {d} x_{1}+f_{2}\,\mathrm {d} x_{2}+f_{3}\,\mathrm {d} x_{3}$

mit den Koordinaten $x_{1},x_{2},x_{3}$ des umgebenden $\mathbb {R} ^{3}$ darstellen, aber diese Darstellung ist nicht eindeutig, da beispielsweise die Differentialform

$w=\mathrm {d} (x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2})=2x_{1}\,\mathrm {d} x_{1}+2x_{2}\,\mathrm {d} x_{2}+2x_{3}\,\mathrm {d} x_{3}$

auf jedem Tangentialvektor an die Kugeloberfläche verschwindet, d.h. als 1-Form auf der Kugeloberfläche gleich Null ist.

• Jeder einzelne Tangentialraum ist ein zweidimensionaler Untervektorraum des $\mathbb {R} ^{3}$, aber man kann die entsprechenden Dualräume nicht ohne weiteres als Unterräume in einem großen Vektorraum auffassen.

Ist jetzt klarer, was ich meine?-- Gunther 21:16, 9. Apr 2005 (CEST)

Irgendwie ist das, was du sagst, und das was im Artikel "PFAFFSCHE FORM" steht nicht dasselbe. Ich finde in dem Artikel überhaupt keine Definition der Stetigkeit einer "Pfaffschen Form" geschweige denn eine Definition die Gebrauch von fi macht. Ich weiß nicht, was du mit der Kugeloberfläche vorhast. Vielleicht ein kurzer Abschrecker. Als Definitionsbereich U ist die Kugeloberfläche vollkommen ungeeignet, das sie keine offene sondern eine abgeschlossen Teilmenge des R^3 darstellt. Zur Definition des Tangentialvektorraums müssen lediglich Kurven parametrisiert werden. Auf der Pfaffschen Form sind auch nur Kurvenintegrale definiert. Ich sehe deshalb gar keine Probleme.--Kilian Klaiber 22:05, 9. Apr 2005 (CEST)

Hier sprichst Du von der Stetigkeit einer Pfaffschen Form. Im Artikel steht keine Definition, das stimmt. Oben habe ich die beiden im Kontext des Artikels einzig möglichen Definitionen genannt.

Zum Thema Kugeloberfläche: das soll illustrieren, dass man am Fall offener Teilmengen des $\mathbb {R} ^{n}$ einfach nicht alle Aspekte einer pfaffschen Form sehen kann. Mal ganz provokant: Für offene Teilmengen des $\mathbb {R} ^{n}$ braucht man gar keine 1-Formen, da kann man genausogut Vektorfelder nehmen: Statt einer pfaffschen Form

$w=f_{1}\,\mathrm {d} x_{1}+\ldots +f_{n}\,\mathrm {d} x_{n}$

mit Funktionen $f_{i}\colon U\to \mathbb {R} .$ nehme ich das Vektorfeld

$p\mapsto {\begin{pmatrix}f_{1}(p)\\\vdots \\f_{n}(p)\end{pmatrix}}.$

Wenn ich einen Tangentialvektor

${\begin{pmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}$

in einem Punkt $p\in U$ hernehme, ist

$\langle w(p),x\rangle =\left\langle {\begin{pmatrix}f_{1}(p)\\\vdots \\f_{n}(p)\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}\right\rangle =f_{1}(p)x_{1}+\ldots +f_{n}(p)x_{n}.$

Das totale Differential einer Funktion $F$ ist einfach der Gradient

${\begin{pmatrix}\partial F/\partial x_{1}\\\vdots \\\partial F/\partial x_{n}\end{pmatrix}}$.

Das Integral von $w$ entlang eines Weges $\varphi$ ist

$\int _{\varphi }w=\int _{a}^{b}\langle f(\varphi (t)),\varphi '(t)\rangle \mathrm {d} t=\int _{a}^{b}(f_{1}(\varphi (t))\varphi _{1}'(t)+\ldots +f_{n}(\varphi (t))\varphi _{n}'(t))\,\mathrm {d} t,$

und wenn $w$ ein Gradientenfeld ist, dann ist das Integral wegunabhängig. Das alles ist im Prinzip völlig korrekt. Warum also den Begriff "Pfaffsche Form" einführen, wenn man genausogut mit Vektorfeldern arbeiten könnte?-- Gunther 22:37, 9. Apr 2005 (CEST)

Gute Frage, was ist die Antwort? --Kilian Klaiber 23:02, 9. Apr 2005 (CEST)

Kurze Antwort:

1. Sie verhalten sich unterschiedlich unter Koordinatentransformationen.
2. Sie sind Spezialisierungen von verschiedenen allgemeineren Begriffen (nämlich Vektorfeldern und 1-Formen auf Mannigfaltigkeiten).

-- Gunther 23:08, 9. Apr 2005 (CEST)

Die Frage war: Warum also den Begriff "Pfaffsche Form" einführen, wenn man genausogut mit Vektorfeldern arbeiten könnte?

Deine Antwort: Sie (die Pfaffsche Form und die Vektorfelder) sind Spezialisierungen von verschiedenen allgemeineren Begriffen (nämliche Vektorfeldern und 1-Formen auf Mannigfaltigkeiten). Die Pfaffsche Form ist Spezialisierung einer Pfaffschen Form bzw. 1-Form? Das ist absurd! Ich glaube mittlerweile nicht mehr, dass du weist, wovon du sprichst! Zumindest kannst Du dich nicht präzise ausdrücken. Davon zeugt die ganze Diskussion. --Kilian Klaiber 00:00, 10. Apr 2005 (CEST)

Der Kontext war eine offene Teilmenge eines $\mathbb {R} ^{n}$. Der Begriff der pfaffschen Form auf einer offenen Teilmenge eines $\mathbb {R} ^{n}$ ist eine Spezialisierung des Begriffes der pfaffschen Form auf einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit. Ok?-- Gunther 00:24, 10. Apr 2005 (CEST)

Mein Gott, und als Beispiel dafür, dass die Pfaffsche Form auf einer offenen Teilemenge des R^n nicht richtig definiert ist, wählst Du die Kugeloberfläche, eine 2-Dimensionale Untermannigfaltigkeit des R^3! Wähle eine offene Teilmenge des R^3, in der die Kugeloberfläche enthalten ist. Den Tangentialvektorraum an einem Punkt der Kugeloberfläche erhältst du, indem du die Ableitung aller auf der Kugeloberfläche liegenden Kurven an dem Punkt bildest. Das Kurvenintegral auf der Oberfläche ist ebenso leicht definiert. Das Kurvenintegral ist ein Integral über eine eindimensionalen Untermannigfaltigkeit! Die Integration von K-Differentialformen auf Untermannigfaltigkeiten des R^n ist vollkommen unproblematisch. Dazu bedarf es keiner Verallgemeinerung! Das Beispiel ist vollkommen ungeeignet! Sorry, du hast es nicht verstanden!

Wenn es darum geht, dass eine Definition oder eine Sichtweise sich nicht auf den allgemeinen Fall übertragen lässt, dann muss ich natürlich ein Beispiel für den allgemeinen Fall angeben.

Wie definierst Du, was eine stetige 1-Form auf der Kugeloberfläche ist? Oder gibt es bei Dir gar keine 1-Formen auf der Kugeloberfläche, sondern nur 1-Formen auf der gewählten offenen Umgebung im $\mathbb {R} ^{3}$?-- Gunther 01:27, 10. Apr 2005 (CEST)

Wie gesagt, wähle eine offene Menge U aus dem R^3, in der die Kugeloberfläche enthalten ist. Definiere die 1-Form auf der offenen Menge U. Das ist die Antwort. :-)--84.151.149.131 08:29, 10. Apr 2005 (CEST)

Nein, das mag zwar ein Stück weit gutgehen, aber das ist kein vernünftiger Begriff:

• Es gibt verschiedene 1-Formen, die auf allen Tangentialvektoren an die Kugeloberfläche dieselben Werte annehmen, Beispiel siehe oben.
• Je nach Umgebung gibt es unterschiedliche 1-Formen; wähle ich z.B. die Kreislinie als Teilmenge des $\mathbb {R} ^{2}$, so hängt die Existenz der 1-Form

${\frac {x\,\mathrm {d} y-y\,\mathrm {d} x}{x^{2}+y^{2}}}$

davon ab, ob die Null in U liegt.

Man kann diese Probleme lösen, indem man zu Äquivalenzklassen von 1-Formen übergeht (zwei Formen sind äquivalent, wenn sie auf einer kleineren offenen Umgebung übereinstimmen), aber das ist ein hässliches Rumgebastel.

Mir ist übrigens noch ein Beispiel für eine wenig komplizierte Mannigfaltigkeit eingefallen, die keine kanonische Einbettung hat: der Torus $\mathbb {R} ^{2}/\mathbb {Z} ^{2}$.-- Gunther 10:52, 10. Apr 2005 (CEST)

Das geht nicht nur ein Stück weit, das geht mit allen Untermannigfaltigkeiten des R^n problemlos:-) --84.151.149.131 11:02, 10. Apr 2005 (CEST)

Natürlich kann man da problemlos irgendetwas definieren, aber das hat halt wenig mit 1-Formen auf der Kugeloberfläche zu tun, s.o.-- Gunther 11:15, 10. Apr 2005 (CEST)

Wieso nicht? Die Kugeloberfläche ist doch Teil der Definitionsmenge?

Es gibt einen allgemein üblichen Begriff "1-Form auf der Kugeloberfläche", und es ist nicht der, den Du angegeben hast. Gründe dafür siehe oben.-- Gunther 11:50, 10. Apr 2005 (CEST)

P.S. Die von mir oben angegebene Äquivalenzrelation ist falsch; um tatsächlich 1-Formen auf der Kugeloberfläche zu erhalten, muss man noch mehr Formen gleichsetzen: zwei Formen sind äquivalent, wenn sie auf jedem Tangentialraum an die Kugeloberfläche dieselbe Linearform induzieren. (Und es gibt wohl keine wesentlich einfachere Formulierung.)-- Gunther 11:54, 10. Apr 2005 (CEST)

Wenn ich alle Fehler korrigieren wollte,... Na ja. Welche Gründe? Äquivalenzklassen, wozu? Versuche doch einfach mal die naheliegene Parametrisierung x=rcoswt und y=rsinwt des Kreises! No problem :-)

Die Gründe stehen in meinem Beitrag von 10:52, 10. Apr 2005 (CEST). Der Verweis dort bezieht sich auf das Beispiel im Beitrag von 21:16, 9. Apr 2005 (CEST). Äquivalenzklassen auch deshalb, weil z.B. die Menge der Paare $(U,w)$ bestehend aus einer offenen Menge $U$ und einer 1-Form $w$ auf $U$ keinen Vektorraum bilden. Und $U$ fest zu wählen ist ja auch keine Lösung (wer sagt mir, welches U ich wählen soll?).-- Gunther 12:22, 10. Apr 2005 (CEST)

Setze doch einfach mal die Parametrisierung für den Kreis t -> x=rcoswt und y=rsinwt in beide Beispiele ein und du kannst die 1-Form auf jedem Punkt der Kreisoberfläche ausrechnen. Den Tangentialvektor kannst du auch ausrechnen, indem du nach dem Parameter t ableitest. Das Kurvenintegral über dem Kreis lässt sich dann ebenfalls berechnen. Mach's einfach mal und du wirst verstehen, dass beide Beispiele im Rahmen der Definition der Pfaffschen Form problemlos zu behandeln sind. Kein Scherz!

Ich glaube Dir sofort, dass man mit 1-Formen auf $U$ arbeiten kann, man kann 1-Formen auf $U$ nämlich zu 1-Formen auf der Kugeloberfläche einschränken. Aber deshalb sind die beiden Begriffe noch lange nicht dasselbe!-- Gunther 12:47, 10. Apr 2005 (CEST)

Beispiel: Ich definiere eine 2-Form auf der Kugeloberfläche durch

$\omega (X,Y)=|X|\cdot |Y|\cdot \sin \alpha ,$

für zwei Tangentialvektoren $X,Y$ an die Kugeloberfläche; dabei ist $\alpha$ der orientierte Winkel zwischen $X$ und $Y$ (mit einer fest gewählten Orientierung der Kugeloberfläche). Das ist eine 2-Form auf der Kugeloberfläche, die nicht in offensichtlicher Weise von einer 2-Form auf einem offenen Teil des $\mathbb {R} ^{3}$ herkommt.-- Gunther 12:53, 10. Apr 2005 (CEST)

O.K. mit Pfaffschen Formen gibt's jetzt kein Problem mehr, gell? Jetzt sind wir bei 2-Formen? Ist w(x,y) überhaupt eine Differentialform? Müsste dann nicht insbesondere w(ax, y)=a*w(x,y) für alle a € R gelten?

Die Probleme für 1-Formen und 2-Formen sind genau dieselben, mir fiel gerade kein gutes Beispiel für 1-Formen ein. Wenn Du darauf bestehst: für die Einheitskreislinie sei $\eta (X)$ die orientierte Länge eines Tangentialvektors (d.h. zeigt er in positiver Kreisrichtung, dann ist $\eta (X)=|X|$, zeigt er in negativer Richtung, dann ist $\eta (X)=-|X|$). Und ja, das oben ist eine 2-Form, und das hier ist eine 1-Form. (Begründung für $\omega$ von oben: Wenn man in einem Tangentialraum an die Kugeloberfläche eine positiv orientierte Orthonormalbasis wählt und $X=(x_{1},x_{2}),Y=(y_{1},y_{2})$ die Koordinatendarstellungen sind, dann ist $\omega (X,Y)=x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}$, und das ist offenbar alternierend und bilinear.)-- Gunther 13:39, 10. Apr 2005 (CEST)

Ach ja, bevor ich missverstanden werde: man kann diese Formen auf offene Umgebungen fortsetzen, ich will nur zeigen, dass es keine offensichtliche Möglichkeit gibt. (D.h. jede Beschreibung einer Fortsetzung ist komplizierter als die Beschreibung von $\eta$ bzw. $\omega$.)-- Gunther 13:42, 10. Apr 2005 (CEST)

Schau mal, wie viele Beispiele willst Du noch konstruieren? Du kannst alle Untermannigfaltigkeiten des R^n in offene Teilmengen des R^n einbetten! Das ist doch offensichtlich! Was sollen all Deine Beispiele? Du verwirrst Dich doch nur selbst!

Ich versuche, Dir zu erklären, warum der Begriff "1-Form auf einer Untermannigfaltigkeit" anders definiert ist, als Du mir das zu verkaufen versuchst. Da Du daran aber anscheinend kein Interesse hast, weiß ich auch nicht, was ich noch tun soll.-- Gunther 14:42, 10. Apr 2005 (CEST)

Ich verkaufe Dir gar nichts. Denk vor allem noch mal gründlich darüber nach oder lies ein Buch! Mit deinen Beispielen hast du dich nur selbst wiederlegt. Schönes Wochenende :-)

Ok, dann nenn' mir ein Buch, das 1-Formen auf Untermannigfaltigkeiten so definiert, und ich werde mal einen Blick hineinwerfen. Für meine Sichtweise würde mir spontan Kobayashi-Nomizu (Foundations of differential geometry) und Helgason (Differential geometry, Lie groups, and symmetric spaces) einfallen, das sind die Standardreferenzen; andere müsste ich erst nachschauen. Dir auch ein schönes Wochenende.-- Gunther 15:55, 10. Apr 2005 (CEST)

Schau hier doch mal nach:http://www.math.uni-hamburg.de/home/lauterbach/analysis3.html Unter Punkt 10.6, bis 10.8 des Vorlesungsskripts findest Du eine gute Einführung! Tschüss

Also oben auf S.107: M = Kugeloberfläche im $\mathbb {R} ^{3}$ (also $k=2,n=3$), W eine offene Teilmenge von M, also z.B. W = M. Was hat das jetzt damit zu tun, dass Du eine offene Teilmenge U des $\mathbb {R} ^{3}$ wählen wolltest, die M enthält?-- Gunther 20:01, 10. Apr 2005 (CEST)

Hallo, zurück zum Anfang, ich verstehe vom Artikel kein Wort, und eure Diskussion machte das irgendwie nicht besser. --77.58.201.250 21:59, 28. Mär. 2009 (CET)

Naja um die Definition der Differentialform, muss man eben wissen, was der Tangentialraum und was die äußere Potenz eines Vektorraums ist. Was ein Schnitt in einem Bündel ist, ist nicht mal verlinkt. Da sollte auf jeden Fall noch etwas geschehen. Differentialformen sind sehr abstrakt, dafür haben sie sehr einfache Eigenschaften, aber muss erstmal viel Energie hinstecken um sie zu vestehen. --Christian1985 00:03, 29. Mär. 2009 (CET)

Abgrenzung, mal wieder

Hallo Kilian, ich glaube immer noch nicht, dass die derzeitige Aufteilung sinnvoll ist, und ich finde es wenig hilfreich, dass Du durch weiteren Ausbau von Pfaffsche Form versuchst, Tatsachen zu schaffen.-- Gunther 14:08, 13. Apr 2005 (CEST)

Hallo Gunther, ich werde den Artikel Pfaffsche Form nicht erweitern, bis wir die Abgrenzung klar haben, versprochen! Was schlägst Du diesbezüglich vor? --Kilian Klaiber 14:39, 14. Apr 2005 (CEST)

• Vorschlag 1 (siehe oben):
  • Differentialform
  • Differentialformen in der Physik inkl. rot, div uvm.
  • Integration von Differentialformen ein- und höherdimensional
• Vorschlag 2:
  • Pfaffsche Form mit der allgemeinen Definition und eindimensionaler Integration
  • Differentialform mit Verweis auf Pfaffsche Form
  • Differentialformen in der Physik inkl. rot, div uvm.
  • Integration von Differentialformen nur höherdimensional

Mehrere Definitionen von 1-Formen in verschiedenen Artikeln halte ich höchstens dann für sinnvoll, wenn man das wie in en:tensor explizit macht, also in der Art Pfaffsche Form (lokal) und Pfaffsche Form (intrinsisch), damit deutlich wird, dass beide Artikel den Begriff nicht umfassend behandeln. Dann sollten die beiden Artikel in ihrem Inhalt aber auch weitgehend austauschbar sein, und weiterführende Teile, die auf beide Ansätze gleichermaßen anwendbar sind, müssen ausgelagert werden.-- Gunther 16:33, 14. Apr 2005 (CEST)

Ich finde Vorschlag 2 ist gut. Mehrere Definitionen sollten wir wirklich vermeiden. Du kannst ja eine umfassendere Definition in den Artikel Pfaffsche Form aufnehmen und die bisherige Definition als Spezialfall kennzeichnen. Nach meinem Geschmack könnte man erst mit dem Spezialfall anfangen und später die umfassendere Definition anbringen. Das erleichtert das Verständnis. Der "Kenner" kann ja anhand des Inhaltsverzeichnisses gleich zur abstrakteren Definition springen. Ein Beispiel für eine Differentialform, die von der bisherigen Definition nicht erfasst wird, sollte diskutiert werden. Deine bisherigen Beispiele halte ich jedenfalls nicht für gelungen. Vielleicht findest du ja ein gutes Beispiel in einem Deiner Bücher! Mittels Differentialformen können eine Vielzahl unterschiedlicher Sätze der Mathematik dargestellt werden. Der Leser sollte erkennen, was für ein mächtiges mathematisches Werkzeug das Differentialformen-Kalkül darstellt. Da fehlt noch einiges. --Kilian Klaiber 21:13, 14. Apr 2005 (CEST)

Mit der Reihenfolge "erst Spezialfall, dann allgemeine Definition" kann ich mich durchaus anfreunden: ein gut verstandenes geeignetes Beispiel ist viel mehr wert als eine allgemeine Definition. Ich fürchte nur, dass der Unterschied Vektorfeld/Differentialform im Spezialfall schwer herauszubringen ist. Vielleicht sollte man mit der Wegunabhängigkeit des Integrals anfangen und daraus das Transformationsverhalten motivieren.

Ich mache mich mal an die allgemeine Definition.-- Gunther 23:11, 14. Apr 2005 (CEST)

Ok, weitere Diskussion zu pfaffsche Form dort.-- Gunther 23:42, 14. Apr 2005 (CEST)

Äußere Ableitung ...

Hm, irgendwie gefällt mir die Einführung der äußeren Ableitung nicht (und allgemein die Darstellung der Differentialformen als Multilinearformen auf dem Tangentialbündel, ich halte den Zugang über äußere Potenzen für natürlicher, egal), denn die äußere Ableitung über die Lie-Ableitung (ein roter Link!) einzuführen ist m.E. zumindest unverständlich ("... man kann definieren ..."), man sollte vllt. erwähnen, dass $d:\Omega M\to \Omega M$ dadruch Charakterisiert ist, dass es das einzige Differential ist, dass auf Funktionen das gewöhnliche Differential ist und mit dem Keilprodukt verträglich ist .. -- 160.45.116.91 14:53, 21. Feb 2006 (CET)

Äußere Potenzen von Vektorbündeln sind halt etwas technisch und mMn weniger anschaulich als Multilinearformen. Die Cartan-Formel ist leicht zu merken und liefert relativ direkt die explizite Formel für 1-Formen. Ja, teilweise verschiebt man damit die Schwierigkeiten in den ungeschriebenen Artikel Lie-Ableitung. Die "axiomatische" Einführung ist durch die Auflistung der Eigenschaften am Ende des Abschnittes ja schon angedeutet. Sei mutig.--Gunther 15:19, 21. Feb 2006 (CET)

Zitat : "Der Begriff Differentialform präzisiert und verallgemeinert das aus der Analysis bekannte Leibnizsche Differential" ja wie denn ? wie steht differentialform im verhältnis zum leibniz differential ? enthält es dessen definiton ? der artikel ist zu dem thema seltsam schweigsam. --84.57.244.44 00:35, 25. Feb. 2007 (CET)

Zum Unterteil

Eigenschaften

Die äußere Ableitung ist eine Antiderivation das heißt d ist \mathbb R-linear und für \alpha \in \Omega^k(U), \beta \in gilt die Leibnizregel --> hinter \beta € fehlt von was jetzt beta element ist - bitte nachtragen!

Abschnitt duale Form

Habe Abschnitt * Operator und duale Form ergänzt da sie hierher passt und ich keinen eigenen Artikel dazu schreiben wollte. -- Claude J 14:23, 4. Apr. 2007 (CEST)

Abschnitt Definition: Multilinearität der Differentialform

Multilinearformen sind über Vektorräumen definiert. Als Vektorräume fungieren hierbei die Vektorfelder über der Menge $U$. Die hier verwendete Definition der k-Formen impliziert dass die unendlich diff'baren Funktionen C^\infty(U) den zugrunde liegenden Körper jenes Vektorraumes bilden würden:

$\omega (X_{1},\ldots ,f\cdot X_{i},\ldots ,X_{k})=f\cdot \omega (X_{1},\ldots ,X_{i},\ldots ,X_{k})$ für $f\in C^{\infty }(U),1\leq i\leq k$

Dies wird in dem Artikel als die kanonische zweite Eigenschaft der Multilinearformen präsentiert (Rein- und Rausziehen eines Skalars aus den Argumenten).

C^\infty(U) bildet mit der Addition und Multiplikation jedoch keinen Körper. Die Multilinearität ist also gar nicht anwendbar, somit ist die Definition fehlerhaft.

--RedZiz 13:25, 26. Mär. 2008 (CET)

Äußere Produkte sind über Vektorräumen definiert, Differentialformen über Mannigfaltigkeiten. Aber das ist Haarspalterei. Die Differentialformen bilden einen R-Vektorraum und eine Algebra über dem Ring der glatten Funktionen. Ich hab's mal in "punktweise multilinear" geändert.--LutzL 16:42, 26. Mär. 2008 (CET)

Wenn man Multilinearität auch über Ringen definiert, dann löst sich das Problem auf. Das war mir nicht klar, ich bin aber zufrieden mit der jetztigen Version. Gruß --RedZiz 18:17, 26. Mär. 2008 (CET)

Koordinatendarstellung der äußeren Ableitung

Die explizite Formel für die äußere Ableitung ist irgendwie falsch. Ich bin der Meinung, dass das "$dx_{i_{j}}$" mittendrin gestrichen gehört, habe aber gerade nicht die Zeit, das sorgfältig zu überprüfen. --Sven 14:17, 14. Okt. 2008 (CEST)

Thesen

Hallöchen,

ich verstehe (wie des öfteren bei wikipedia) nicht, warum hier "Thesen" veröffentlicht werden ohne jeden Ansatz eines Beweises, in den meisten Fällen könnte ja zumindest über einen Verweis auf die entsprechende Fachliteratur Abhilfe geschaffen werden. Es genügt meiner Meinung für einen Mathematiker nicht zu sagen, dass diese Regeln etc. einfach gelten. Weiter unten im Artikel werden Literaturverweise gegeben, die aber nur teilweise die entsprechenden Beweise enthalten.

Find ich unschön und für viele ncht versierte unverständlich,

mfg

--DGA

Es gibt in der Wikipedia unzählige Diskussionen zu dem Thema ob Beweise zu Sätzen angelegt werden sollen oder zumindest skizziert werden sollen. Das Resultat dieser Diskussionen ist, dass Wikipedia kein Beweisarchiv ist und Beweise nur dann angeführt werden sollen, wenn diese von besonderer Wichtigkeit sind oder ganz besonders elegant sind. Aus diesem Grund haben die meinsten Aussagen in der Wikipedia keinen Beweis. Welche Abschnitte auf dieser Seite sind denn nicht durch die Quellenangaben abgedeckt? --Christian1985 11:04, 27. Mai 2010 (CEST)

Definition

Im ersten Absatz steht:

Eine Differentialform vom Grad $k$ oder kurz k-Form $\omega$ ist ein glatter Schnitt in der $k$-ten äußeren Potenz des Kotangentialbündels von $U$. In mathematischer Schreibweise bedeutet dies $\omega \in \Gamma (\Lambda ^{k}(T^{*}U))$.

Der darauffolgende Absatz beginnt mit "Also ist ...". Darauf folgt aber eine Definition, bei der eine Differentialform gerade nicht als Schnitt im angegebenen Bündel definiert wird, sondern als alternierende Abbildung, die k Vektorfeldern eine Funktion zuordnet, also eine Abbildung $(\Gamma TU)^{k}\to C^{\infty }(U)$. So stand es auch früher mal im einleitenden Absatz. Warum wurde das geändert? Die im einleitenden Absatz angekündigte Definition als Schnitt im Bündel $\Lambda ^{k}(T^{*}U)$ findet sich hingegen in der "Alternativen Definition". Kurzum: Irgendwie passt das nicht zusammen. -- Digamma 18:49, 14. Jul. 2010 (CEST)

Ja warum wurde das geändert? Wahrscheinlich passiert sowas einfach, wenn mehrere Leute immer wieder kleinere Änderungen machen, ich will mich da auch nicht rausnehmen. Zumindest sollte man es wieder ändern. Welche ist denn Deiner Meinung nach die einfacher zu verstehende Definition? --Christian1985 23:38, 14. Jul. 2010 (CEST)

Ich arbeite lieber punktweise. Das heißt, für mich ist eine Differentialform eine Abbildung, die jedem Punkt eine alternierende Multilinearform im Tangentialraum an diesem Punkt zuordnet. Ich bevorzuge also (im Wesentlichen) die zweite Definition. -- Digamma 08:53, 15. Jul. 2010 (CEST)

Ich habe das inzwischen geändert. Eine andere Sache ist mir hier aber noch aufgefallen, bei der Definition mit Hilfe von Vektorfeldern. Eine Funktion, die k Vektorfeldern eine Funktion zuordnet, ist keine Abbildung auf $\Gamma (\Lambda ^{k}TU)$, sondern auf $(\Gamma TU)^{k}$. -- Digamma 19:26, 26. Sep. 2010 (CEST)

Folgerungen aus Stokes

Irgendwas ist da zu gut gemeint. Ist M geschlossen, also ohne Rand, dann ist jedes Integral von dw Null, da es ja kein Randintegral gibt. Ist w exakt, dann ist dw=0 und deshalb ebenfalls das Integral von dw über M gleich Null, unabhängig davon, ob M geschlossen ist. Damit ist dann das Randintegral von w über bd(M) ebenfalls Null, was die eigentlich interessante Aussage ist. Oder auch nicht, da ja der Rand vom Rand wieder die Nullmenge ist. Oder sollte ganz was anderes ausgedrückt werden?--LutzL 15:28, 1. Sep. 2010 (CEST)

Hallo, ich glaube die Versionsgeschickte gibt die Lösung. Hier steht ja noch etwas anders. Ich finde die Idee das $d$ zu entfernen schon ganz gut. Denn dann erhält man

$\int _{M}\omega =\int _{M}d\phi =\int _{\partial M}\phi =0.$

Das ist doch die gewünscht Aussage oder? --Christian1985 16:41, 1. Sep. 2010 (CEST)

Ja, und auch gleich so eingefügt. Was soll, nebenbei gefragt, die letzte Äquivalenz des Abschnittes? Entweder so trivial, dass nicht erwähnenswert, oder so tief, dass es nur die Elite versteht?--LutzL 17:36, 1. Sep. 2010 (CEST)

Du meinst den Satz:

Insbesondere gilt die folgende Korrespondenz:  $\partial (\partial M)\equiv 0$ für alle M $\leftrightarrow \mathrm {d} (\mathrm {d} \varphi )\,\equiv 0$ für alle $\varphi$.

So spontan verstehe ich die Aussage nicht! Für die hier definierten Differentialformen gilt doch immer $d(d\varphi )=0$?? Und können berandete Mannigfaltigkeit einen (n-2)-dimensionalen Rand haben? Das ist so viel ich weiß eine Definitionsfrage, bin mir aber unsicher in dem Punkt. --Christian1985 19:10, 1. Sep. 2010 (CEST)

Ich sehe in der Aussage auch keinen Sinn. Der Rand einer Mannigfaltigkeit hat natürlich keinen Rand. -- Digamma 22:11, 1. Sep. 2010 (CEST)

Noch etwas dazu: Da stand $\partial M=0$. Der Rand einer Mannigfaltigkeit ist aber eine Menge, keine Kette. Deshalb habe ich die 0 durch ein $\emptyset$ ersetzt. -- Digamma 22:17, 1. Sep. 2010 (CEST)

Okey, dann nehme ich diesen seltsamen Satz noch raus. Ich dachte eben zum Beispiel noch an Mannigfaltigkeiten, welche wie ein Würfel auch Ecken haben. Davon steht zwar nichts in dem Artikel, aber auch auf solchen kann man den Satz von Stockes erklären. Diese haben dann ja auch niederdimensionale Ränder? --Christian1985 22:30, 1. Sep. 2010 (CEST)

Bei den Ecken und Kanten wirds schwierig mit der Orientierung. -- Digamma 22:55, 1. Sep. 2010 (CEST)

Hab den Artikel ganz gelesen.

Was ist jetzt eine Differentialform? Gruß--91.89.69.192 17:38, 27. Jun. 2012 (CEST) Eine Differentialform misst die Längen, Flächen, etc., die von Tangentialvektoren bestimmt werden. Letztlich als Integral. (nicht signierter Beitrag von 78.49.107.162 (Diskussion) 11:52, 20. Apr. 2016 (CEST))

Darstellung grad, etc.

Hallo! Und gibts da einfache Darstellungen von grad, div und rot in Differentialformen, so dass man sie wiedererkennt? -- Room 608 (Diskussion) 16:55, 20. Aug. 2014 (CEST)

Das findest Du schon im Artikel Äußere Ableitung.--Christian1985 (Disk) 21:01, 20. Aug. 2014 (CEST)

Danke, dort auch kein einfaches Produktbeispiel, macht aber nichts. -- Room 608 (Diskussion) 23:49, 20. Aug. 2014 (CEST)

Literatur

Hallo, Ihr Lieben! Ich möchte mich nicht an dieser schrecklichen Diskussion beteiligen. Jedoch sollte, wenn im ersten Satz von Élie Joseph Cartan gesprochen wird, möglicherweise auch das Buch oder zumindest das seines Sohnes Henri Cartan aufgenommen werden. Beide haben im Team Bourbaki gearbeit. Ins Deutsche übersetzt ist es in BI Wissenschaftsverlag erschienen. Da es Banachräume verwendet, ist es koordinatenfrei geschrieben, wobei selbstverständlich auch auf die Koordinatendarstellung eingegangen wird. Übrings sind Differentiale dx, dy, etc. nichts anderes als Synonyme für die Projektionen auf die erste, bzw. zweite Koordinate, deren Differential an einer Stelle wieder die Projektion ist (Linearform).

Das Buch Differentialformen Henri Cartan ISBN 3-411-01443-1

und

VARIÉTÉS DIFFÉRENTIELLES ET ANALYTQUES N. BOURBAKI ISBN 2-903684 10-3 1983 2 Bände Kapitel 1-15 Tolle Bücher, jedoch für Anfänger schwer zu lesen. Aber glasklar!

Gert (nicht signierter Beitrag von 217.191.41.110 (Diskussion) 18:06, 6. Mai 2015 (CEST))

Das Buch von Henri Cartan wurde inzwischen von Benutzer:Claude J eingefügt. --Digamma (Diskussion) 19:13, 6. Mai 2015 (CEST)

@Claude J: Das Original ist französisch, vgl. hier. Du hast aber einen englischen Titel angegeben. --Digamma (Diskussion) 19:20, 6. Mai 2015 (CEST)

Das hat seinen Grund darin, dass die meisten Leser hier englische oder deutsche Titel bevorzugen falls erhältlich.--Claude J (Diskussion) 19:25, 6. Mai 2015 (CEST)

Sinnloser Satz

Hallo LoRo,

bitte erkläre mir mal, was der Satz

"Davon abgesehen können die „pull-back“-Operationen von Differentialformen aber im Weiteren als „trivial“ bezeichnet werden."

bedeuten soll. Ich kann damit nichts anfangen. (Ich hätte "i.W." übrigens als "im Wesentlichen", nicht als "im Weiteren" verstanden). --Digamma (Diskussion) 20:12, 15. Dez. 2017 (CET)

Hallo Digamma, was soll das sinnfreie rückängigmachen LoRo (Diskussion) 20:17, 15. Dez. 2017 (CET)

Ich habe nichst rückgängig gemacht. Ich hatte nur einen Satz gelöscht, der für mich unverständlich und sinnlos ist. --Digamma (Diskussion) 21:35, 15. Dez. 2017 (CET)

PS: Der Satz wurde (mit dieser Bearbeitung) vor 10 Jahren von einer IP eingefügt. --Digamma (Diskussion) 21:40, 15. Dez. 2017 (CET)

Barrierefreier Diskurs, wer lügt wird ertappt werden. --LoRo (Diskussion) 21:46, 15. Dez. 2017 (CET)

Was soll das? Ich verstehe nur Bahnhof. --Digamma (Diskussion) 22:00, 15. Dez. 2017 (CET)

Barrierefreier Diskurs, dort wo ein Bahnhof ist, ist auch ein Ausgang. --LoRo (Diskussion) 22:04, 15. Dez. 2017 (CET)

Sag mal, was ist denn los? Kann man mit dir nicht ernsthaft reden? Und mit dem Ausdruck "barrierefreier Diskurs" kann ich auch nichts anfangen. --Digamma (Diskussion) 22:07, 15. Dez. 2017 (CET)

Barrierefreier Diskurs, sei frei von Lob und Tadel. --LoRo (Diskussion) 22:16, 15. Dez. 2017 (CET)

Langsam wird's surreal. --Digamma (Diskussion) 22:53, 15. Dez. 2017 (CET)

Barrierefreier Diskurs, jede Form der Realität beinhaltet Wahrheit. --LoRo (Diskussion) 22:56, 15. Dez. 2017 (CET)

Wenn du nicht bereit bist, vernünftig zu diskutieren, soll ich eine WP:Vandalismusmeldung machen? --Digamma (Diskussion) 23:04, 15. Dez. 2017 (CET)

Ich probiers erst mal mit einer Dritten Meinung. --Digamma (Diskussion) 23:14, 15. Dez. 2017 (CET)

3M nicht zum Inhalt, aber zur Diskussionskultur: LoRo unterstellte hier anderen Editoren geistige Beschränktheit, wenn lediglich inhaltsorientierte, zivilisierte Diskussion gewünscht wurde. Die "Barrierefreiheit des Diskurses" wurde von LoRo begonnen. Das mag für LoRo sehr lustig gewesen sein, vielleicht in der irrigen Ansicht, Digamma sei ahnungslos und könnte mal vorgeführt werden. Aber so geht es nicht, das wäre sicher auch ein Fall für VM gewesen. Immerhin hat LoRo jetzt die von Digamma begründete und gewünschte Version hergestellt. Eine Entschuldigung an Digamma wäre noch zu erwarten. Grüße --Enyavar (Diskussion) 10:55, 16. Dez. 2017 (CET)

"Trivial" ist ein relativer Begriff und sollte vorsichtig verwendet werden. Da die Konstruktion relativ abstrakt ist wäre ein Verweis auf ein Beispiel möglich, ein relativ einfaches findet sich am Schluss in "Rechenbeispiele".--Claude J (Diskussion) 11:53, 16. Dez. 2017 (CET)

Dieser Abschnitt kann archiviert werden. --Digamma (Diskussion) 20:01, 20. Dez. 2017 (CET)

Unstimmige Definitionen

Im Abschnitt "Koordinatendarstellung" bezeichnet $\mathrm {d} x_{i}$ einen Kotangentialvektor in $\Lambda ^{k}(T_{p}^{*}U)$, wobei $p$ ein nicht näher bezeichneter Punkt ist. Einen Absatz weiter wird behauptet:

"Jede Differentialform $\omega \in \Omega ^{k}(M)$ hat auf allen Karten $(U,x)$ eine eindeutige Darstellung

$\omega |_{U}=\sum _{1\leq i_{1}<\ldots <i_{k}\leq n}a_{i_{1},\ldots ,i_{k}}(x)\cdot \mathrm {d} x_{i_{1}}\wedge \ldots \wedge \mathrm {d} x_{i_{k}}$

mit geeigneten differenzierbaren Funktionen $a_{i_{1},\ldots ,i_{k}}.$"

Damit wäre $\omega |_{U}$ aber keine Funktion auf $U$ und schon recht nicht ein glatter Schnitt in der k-ten äußeren Potenz des Kotangentialbündels von $U$.

Im Abschnitt "Integration von Differentialformen" wird $x_{1},\dots ,x_{n}$ als positiv orientierte Basis angenommen. Der Begriff ist im Abschnitt davor definiert, allerdings setzt er die Wahl eines Punktes $p\in U$ voraus. Insbesondere ist demnach $(x_{1},\dots ,x_{n})$ eine Basis von $T_{p}U$ für ein $p\in U$. Jedoch wird $\omega$ als $\omega =f(x_{1},\dots ,x_{n})\,\,\mathrm {d} x_{1}\wedge \ldots \wedge \mathrm {d} x_{n},$ angesetzt für ein nicht spezifiziertes $f$. Auch hier kann es sich bei der rechten Seite um keine Differentialform handeln.

Auf der rechten Seite in der vermeintlichen Definition des Integrales steht kein Lebesgue-Integral. Die zu integrierende Funktion müsste eine reellwertige Funktion, die messbar bezüglich der (oder einer Unter-)Borel-Sigma-Algebra von $\mathbb {R} ^{d}$ mit der Standardtopologie ist, sein. Die Argumente $x_{1},\dots ,x_{n}$ sind stattdessen Tangentialvektoren in $T_{p}U$.

Korrekterweise lautet für eine Karte $(U,x)$ und die Kartenvektorfelder $\partial _{1},\dots \partial _{n}$ die Definition des Integrales

$\int _{U}\omega :=\int _{x(U)}\omega [x](y)\mathrm {d} y_{1}\dots \mathrm {d} y_{n}$

mit

$\omega [x]:=x(U)\ni y\mapsto \omega _{x^{-1}(y)}(\partial _{1}|_{x^{-1}(y)},\dots ,\partial _{n}|_{x^{-1}(y)}).$

--80.218.255.196 13:25, 24. Feb. 2019 (CET)

Wenn ich das richtig verstehe, kritisierst du, dass hier in einigen Fällen nicht unterschieden wird zwischen Multilinearformen auf einem einzelnen Tangentialraum und Differentialformen, also Funktionen auf der Mannigfaltigkeit, deren Funktionswerte solche Multilinearformen sind. Das ist meines Wissens durchaus üblich und normalerweise treten auch keine Verwechslungen auf, es sei denn, man möchte das absichtlich falsch verstehen. Ich kann aber mal versuchen, das so zu ergänzen, dass es auch formal korrekt wird. --Digamma (Diskussion) 20:20, 24. Feb. 2019 (CET)

Für den Abschnitt "Koordinatendarstellung" habe ich das mal umgesetzt. Ist das so OK? --Digamma (Diskussion) 20:30, 24. Feb. 2019 (CET)

Nun habe ich auch den Abschnitt über das Integral überarbeitet. Zwar bin ich nicht deinem Vorschlag gefolgt, aber es sollte trotzdem richtig sein. Beachte, dass hier zunächst das Integral für Differentialformen auf dem $\mathbb {R} ^{n}$ definiert und erst danach diese Definition auf Mannigfaltigkeiten übertragen wird. --Digamma (Diskussion) 20:41, 24. Feb. 2019 (CET)

Die Änderungen sind hervorragend. In der vorgängigen Definition des Integrals war mir aufgefallen, dass zwischen f und den Punkten in U kein Bezug besteht. Die Prüfung der Bestandteile des Integrals zeigte, dass auch sie explizit nicht für alle Punkte in U definiert sind. Wenn die Materie einem nicht vertraut ist, eignet sich die vorhergehende Form nicht, um die Definition des Integrals nachzuvollziehen, auch wenn die Interpretation der Ausdrücke für einen Experten naheliegend scheinen mag.--80.218.255.196 21:17, 25. Feb. 2019 (CET)