Diskussion:Distribution (Mathematik)

Verallgemeinerung einer Funktion, aber ein Funktional?

Ich habe das Gefuehl, dass hier der Begriff Funktion nicht im ueblichen Sinne, synonym mit Abbildung, benutzt wird. Denn selbstverstaendlich ist ein Funktional eine Abbildung. Wenn ich mich nicht irre, sollte zumindest die Verlinkung zum Artikel Funktion(Mathematik) geaendert werden, da in diesem Funktionen synonym zu Abbildungen erklaert werden. Oder verstehe ich irgendetwas falsch? Mfg, --PlayDead 18:09, 13. Jan. 2010 (CET)

Das liegt daran, dass es zwei Sichtweisen auf Distributionen gibt. Einmal versteht man den Ausdruck f in der Darstellung

$\phi \in C_{c}^{\infty }\mapsto \int _{\mathbb {R} }f(x)\phi (x)dx$

als Distribution. Das Objekt f muss nicht zwangsweise eine Funktion sein. Jedoch versteht man eine Distribution mathematisch korrekt als Linearform auf $C_{c}^{\infty }$, dies ist natürlich eine richtige Funktion. Oftmals identifiziert man das Objekt f und das entsprechende Funktional miteinander und trennt sie sprachlich nicht, was hier bei dir zur Verwirrung führte. Fals es sich um eine reguläre Distribution handelt kann man das Funktional mit Hilfe der Integraldarstellung angeben im irreguleren Fall ist die Darstellung des Funktionals eine andere. So kann man die Deltadistribution schreiben als

$\phi \mapsto \int _{\mathbb {R} ^{n}}1\phi (x)d\delta (x),$

wobei $\delta$ hier das Diracmaß ist. Dies ist sicherlich eine richtige Funktion, obwohl die Deltadistribution bekanntlich irregulär ist. Wie oben schon gesagt, bedeutet dies nur, dass es keine Darstellung $\int \delta (x)\phi (x)dx$ mit $\delta \in L_{loc}^{1}$ gibt. (In diesem Fall ist $\delta$ keine Funktion.) Grüße --Christian1985 18:29, 13. Jan. 2010 (CET)

Vielen Dank für deine Erklärung. Ich schlage vor, dass man den einleitenden Abschnitt dieses Artikels entsprechend verändert. Denn ohne Kenntnis der doppelten Verwendung des Ausdrucks "Distribution" macht die Einleitung überhaupt keinen Sinn. Genau genommen werden ja sogar beide Bedeutungen in einem Atemzug genannt ("[...]ist eine Verallgemeinerung des Begriffs der Funktion. [...] Eine Distribution ist ein stetiges lineares Funktional [...]"). - Könnte man nicht deine obenstehende Erklärung etwas gerafft als Einleitung nutzen? Da ich mich mit Distributionen überhaupt nicht auskenne, möchte ich mich da selbst nicht ranwagen. Mfg --PlayDead 19:53, 13. Jan. 2010 (CET)

Ich habe auch schon daran Gedacht soetwas in die Einleitung zu schreiben. Irgendwie muss der ganze Abschnitt Motivation noch überarbeitet werden. Ich schaue mal, wann ich Zeit finde, das könnte leider etwas dauern. --Christian1985 17:34, 14. Jan. 2010 (CET)

Zum Abschnitt Motivation

Ich vermute, dass diese Seite von Physikern gestaltet wurde, denn zu behaupten, dass, wenn eine Funktion der Träger einer Funktion nur die 0 ist, das Integral darüber aber 1 sein soll, dies dadurch erreicht wird sie in diesem Punkt "unendlich" zu setzten, ist mehr als abenteuerlich...

1) Die Distrubutionen von L.Schwartz verwenden die Lebesgue-Integrationstheorie, das Maß der 0 ist darin 0, also ist das Interal einer Funktion mit Träger 0 immer 0, egal welchen Wert die Funktion in 0 annimmt. Das Schwartz keine Funktionen nach $\mathbb {R} \cup \{\infty \}$ betrachtet sei hier nur am Rande erwähnt..

2)Wie schon Richtig erkannt, ist das Dirac- $\delta$ eine Distribution ist, KEINE Funktion, d.h. aber, dass wohl Testfunktionen, aber keine Elemente aus $\mathbb {R}$ eingesetzt werden können. Die Notation $\int \delta (x)dx$ ist also sowieso sehr zweifelhaft.

Ansonsten finde ich den Artikel gut gemacht und auch für Leihen verständlich. Da ich zur Zeit ein Proseminar für Physiker leite, bei dem ich festgestellt habe, dass der Unterschied zwischen Distributionen und Funktionen vielen meiner Studenten nicht klar war und mir einige diesen Artikel als "Quelle" ihres Wissen abgaben, dachte ich mir ich sollte mir das mal ansehen.. LG

---

Die schönsten Beispiele gibt es in der

• Theorie der finiten Elemente, wo ja inhomogene PDEs im schwachen Sinn gelöst werden
• Signalverarbeitung, wo die E-Techniker eine sehr schöne Notation entwickelt haben, z.B. das Abtasttheorem, benutzt einen Kamm von Deltadistributionen für die Abtaststellen.
• Quantenelektrodynamik

--Marc van Woerkom 19:30, 14. Sep 2004 (CEST)

Yo, sollte man alles erwähnen. Generell bedarf der Artikel etwas überarbeitung und Gleiderung... Gut wären z.B. Rechenregeln/Sätze --Jdiemer 21:54, 14. Sep 2004 (CEST)

Ist die Definition der n-ten Ableitung nicht eher $D^{(n)}(\phi )=(-1)^{n}{\frac {d^{n}\phi }{dt^{n}}}$ und nicht $D^{(n)}(\phi )=(-1)^{n}{\frac {d\phi }{dt}}$? --Benzh 01:14, 29. Okt 2004 (CEST)

Klingt plausibel, hab das ma gefixt.--Jdiemer 07:25, 29. Okt 2004 (CEST)

---

Ich würde bei regulären Distributionen, "Integraloperatoren" unter Umständen auf $\lambda _{n}$-Integration erweitern und präzisieren. Denn da das Dirac-Maß (auf $\mathbb {R} ^{n}$ mit Träger in 0)

$\delta :{\mathcal {P}}(\mathbb {R} ^{n})\to [0,\infty ],\quad A\mapsto {\begin{cases}1&0\in A,\\0&0\not \in A.\end{cases}}$

ein vollständiges Radonmaß ist mit

$\int _{\mathbb {R} ^{n}}\phi \;d\delta =\phi (0),$

gibt es sehr wohl eine Dastellung als Integraloperator. Die Regularität bezieht sich aber auf die Darstellung mit Funktionen aus $L_{1}^{loc}(\mathbb {R} ^{n},\lambda _{n},\mathbb {K} )$ soweit ich weiß. Deswegen sollte man das stärker betonen. Filip 18:51, 7. Jul 2006 (CEST)

Großes Kompliment. Das Thema ist sehr schwer zu verstehen. Die Darstellung hier ist kurz und knapp, zugleich klar und verständlich. Vielleicht wäre es noch ganz gut, wenn die Delta-Distribution als Grenzwert regulärer Distributionen zu erläutern. Vielleicht ist das aber schon zu viel und gehört in den Bereich Dirac-Funktional.Großes Kompliment!! --Kilian Klaiber 10:29, 29. Mai 2007 (CEST)

Zum Abschnitt Testfunktionen

Dort steht: "beliebig oft stetig differenzierbaren Funktionen...". Reicht nicht "beliebig oft differenzierbar"? Weil doch aus der Differenzierbarkeit die Stetigkeit jeweils folgt. Etwas weiter unten steht: "Schnell fallende Funktionen sind unendlich oft differenzierbar und jede ihrer Ableitungen geht im Unendlichen schneller gegen 0 als jedes Polynom." Aber ein Polynom geht doch nach Unendlich, wenn die Variable nach Unendlich geht (außer Nullpolynom). Es könnte wohl: ..."schnell fallende Funktion geht im Unendlichen schneller gegen 0 als ${\frac {1}{P}}$ für jedes Polynom P " geschrieben werden.

Oder vielleicht noch besser: "Das Produkt von einem beliebigen Polynom und einer schnell fallenden Funktion geht im Unendlichen gegen 0."--Yohe 17:55, 19. Feb. 2007 (CET)

Änderung rückgängig gemacht

Warum wurde meine Änderung komplett zurückgeführt? Nun wird der Begriff reguläre Distribution wieder zwei mal erklärt und dass Distributionen dicht in $C^{\infty }$ liegen fehlt nun wieder völlig, was meiner Ansicht nach sehr wichtig ist. Bei dem Beispiel, was nun wieder drin steht, verstehe ich nicht mal wofür es genau ein Beispiel ist und ich finde es ist sehr unglücklich formuliert wie zB, "Bei Verwendung von Distributionen, d.h. bei Differentiation unter dem Integral,". Hier könnte man z.B. auf die Definition der schwachen Ableitung verweisen. Man sollte auch erwähnen, dass $r'(x)=\|x\|$ gilt?!? --Christian1985 11:45, 26. Mai 2008 (CEST)

C_0 vs C_c

Ich habe mal C_0 gegen C_c ausgetauscht, da dies auch gemeint war. Auch wenn in einigen Mathebüchern (schlampigerweise) mit C_0 die Funktion mit kompaktem Träger bezeichnet werden, müssen wir dies hier ja nicht wiederholen. C_0 := Funktionen, die im Unendlichen verschwinden, also bei reellwertigen z.B. $f(x)\to 0$ für $|x|\to \infty$. C_c := Funktionen mit kompaktem Träger. Es gilt: $C_{c}\subset C_{0}$

Zum Abschnitt Definitionen, Unterabschnitt Dichtheit

Müsste es hier im zweiten Satzt nicht Heißen "Sei also $T\in {\mathcal {D}}'(\Omega )$."; also T Element des DUAL-Raums von D? Dann macht das Folgende mehr Sinn für mich. - Ich bin allerdings kein Mathematiker und noch Neuling auf diesem Gebiet, deshalb habe ich von einer eigenen Korrektur die Finger gelassen... (nicht signierter Beitrag von 79.226.53.142 (Diskussion | Beiträge) 12:48, 3. Aug. 2009 (CEST))

Das $T\in {\mathcal {D}}'(\Omega )$ stimmt in diesem Fall schon eher, aber du hast recht irgendwie gibt das ganze nicht so recht Sinn. --Christian1985 11:30, 3. Sep. 2009 (CEST)

Ah doch du hattest Recht. Bei dem Abschnitt gebe ich wohl zu, dass er unverständlich ist.... --Christian1985 11:35, 3. Sep. 2009 (CEST)

Unverständlich

Der Artikel verwendet mathematische Formeln, die nicht erklärt werden. So versteht man bspw. nicht, was mit supp und sup gemeint ist, wenn man diese Kürzel nicht schon mal gelesen hat. Unbedingt sollte daher, notfalls in Klammern, eine kurze Erklärung mit Wikilink auf die entsprechende Seite erscheinen (z. B. X bezeichnet die ...-Menge, s. ...-Menge). Anderes Beispiel: was ist mit $C^{\infty }(\Omega ,\mathbb {C} )$ gemeint? Die Funktion (?) wird nicht eingeführt. Was ist ein Kompaktum? Der Begriff sollte wenigstens verlinkt sein. Oder ist das dasselbe wie ein kompakter Träger? Selbst als mathematisch gut vorgebildeter Leser verstehe ich nur Bahnhof. 78.53.46.1 20:58, 2. Sep. 2009 (CEST)

Den Unverständlich-butto kann ich nicht nachvollziehen. In dem Artikel ist der Begriff Kompaktum verlinkt, genauso wie der Begriff Träger außerdem wird der Begriff Träger weiter unten sogar definiert. Der Ausdruck $C^{\infty }(\Omega ,\mathbb {C} )$ ist derselbe wie $C^{\infty }(\Omega )$, wo steht das denn? Das kann man ja reduzieren um Verwirrung zu vermeiden. Was eine Distribution ist, ist ein recht schweres Thema, wenn man hier noch genauer erklären muss was Kompakt, usw. bedeutet beläht man diesen Artikel nur unnötig auf. --Christian1985 11:26, 3. Sep. 2009 (CEST)

Todo-Liste

Ich lege hier mal eine Todo-Liste an, um nicht zu vergessen, was ich noch ergänzen will. Vielleicht hat ja auch jemand anders Lust etwas zu ergänzen.

Erledigt

• Oszillierendes Integral unter Beispiele unterbringen; Ok
• Kontinuierliche Fourier-Transformation unter Operationen einbauen;  Ok
• Tensorprodukt zweier Distributionen unter Operationen einbauen;  Ok
• Distributionen auf Mannigfaltigkeiten korrigieren. Diffeomorphismen auf Distributionen erklären;  Ok
• Kernsatz von Schwartz einbauen;  Ok
• Im Abschnitt zu den Beispielen den Dirac-Kamm ergänzen und den Abschnitt zur Poisson-Gleichung in den Abschnitt über die Partiellen DGL verschieben.  Ok
• Einschränkung auf Teilmengen einbauen;  Ok

Noch offen

• Abschnitt über Sichtweisen neuschreiben;
• Abschnitt über Motivation erweitern;
• Distributionen der Ordnung k als Duale Elemenat von $C_{0}^{k}$-Funktionen;
• Elemente des Sobolew-Raums negativer Ordnung sind auch Distributionen.
• Ströme als Dualformen von Differentialformen einbauen;
• Menge der Distributionen bildet keine Algebra
• Verweis zu analytischen Funktionalen und Hyperfunktionen (Mathematik)
• Wohldefiniertheit der Operationen auf Distributionen begründen (ergänzt von Mathmensch)
• Klare Definition; ich persönlich würde sogar die Definition als Verallgemeinerung von Funktionen weglassen, da dies mich am Anfang ziemlich in die Irre geleitet hat (ergänzt von Mathmensch)

--Christian1985 (Diskussion) 21:48, 15. Apr. 2011 (CEST)

Ich habe mal zwei Punkte ergänzt. Am ersten Punkt bin ich schon dran, sollte nächste Woche fertig werden. Beim zweiten Punkt bitte ich um Zustimmung, die Definition klären zu dürfen, auch wenn viele Mathematik-Lehrbücher das anders sehen. Aus persönlicher Erfahrung halte ich die streng mathematische Sichtweise nämlich für viel verständlicher, gerade weil das Meiste, was man in Mathematik (besonders im Studium) lernt, streng mathematisch-logisch definiert ist. Darum kann ein durchschnittlicher Mathestudent mit der streng mathematischen Sichtweise wahrscheinlich besser umgehen.

Ich arbeite gern auch andere Punkte von der Arbeitsliste ab. Viele Grüße, --Mathmensch (Diskussion) 22:27, 13. Nov. 2013 (CET)

Ausdrucksweise I

Quote: "Eine Distribution ist eine stetige und lineare Funktion von einem Testfunktionenraum in die reellen Zahlen oder komplexen Zahlen. Solche Funktionen werden traditionell als Funktionale bezeichnet."

Meines wissens ist Funktional einfach eine Funktion von einer Menge von Funktionen in einen Zahlkörper (vgl Zorich: Analysis 1 (jetzt keine bösen Anmerkungen über Ana 1 ;). Das Buch wäre nach deutschem Standard Ana1 bis 2,25)). Ich möchte damit eigentlich nur auf die Formulierung "solche Funktionen" hinweisen. Mir kommt sie missverständlich vor, da mir nicht klar ist, ob das Wort "Solche" die Eigenschaften stetig und linear mitträgt oder ob mit Solche nur gemeint ist: Funktion von Testfunktionenraum in reelle Zahlen. mfg --87.145.72.67 00:53, 5. Jan. 2011 (CET)

Danke für die Anmerkung, ich denke du hast recht und ich versuche es heute abend noch besser zu formulieren. --Christian1985 (Diskussion) 17:33, 6. Jan. 2011 (CET)

"Funktional" ist (in meiner Erfahrung) generell bei (linearen) skalarwertigen (multivariaten) Funktionen üblich. Außer der Tradition der Anwendungsgebiete gibt es keinen großen begrifflichen Unterschied zwischen Funktional, Funktion, Abbildung und Operator.--LutzL (Diskussion) 00:37, 14. Nov. 2013 (CET)

Integralkern

In der Definition steht.

Diese Distributionen lassen sich als Integraloperator mit einem Integralkern $f\in L_{\mathrm {loc} }^{1}(\mathbb {R} ^{n})$ darstellen.

Unter Integralkern ist ein "Integralkern" als eine Funktion von zwei Variablen definiert. So kenne ich den Begriff auch. Was Du hier "Integralkern" nennst, würde ich eine "Dichtefunktion" nennen. -- Digamma 14:47, 13. Jan. 2011 (CET)

Hallo, ja danke Du hast natürlich Recht. Der Begriff des Integraloperators war auch ähnlich schlecht gewählt. --Christian1985 (Diskussion) 22:34, 13. Jan. 2011 (CET)

Hilbertraum und Schwartzraum: Ein Vergleich?

Für Physiker ist es interessant, einmal den Hilbertraum und den Schwartzraum (bzw. den Raum der getemperten Distributionen) gegenüberzustellen, weil man aus dem Vergleich vielleicht einiges lernen kann (z.B. über die Möglichkeit der Fouriertransformation, die ja auch für den Hilbertraum gegeben ist). Im Hilbertraum hat man es zunächst einmal mit "rauhen" Funktionen zu tun: Man fordert ja nur Lebesgue'sche Quadratintegrierbarkeit, d.h. die Funktionen sind nur bis auf "Nullmengen" (die immer noch ziemlich schrecklich aussehen können) definiert. Dagegen ist der Schwartz-Raum ein Unterraum der "glatten" Funktionen. Gemeinsam ist die Forderung, dass diese Funktionen im Unendlichen "hinreichend schnell" verschwinden. Die Hilbert-Raum-Physik ist aber dadurch extrem reichhaltig, dass man ein Skalarprodukt definieren kann (also letzten Endes "starke Konvergenz", Spektraldarstellung von Operatoren usw. Dagegen hat man bei den Distributionen "schwache Konvergenz). Was die Eigenfunktionen anbetrifft, so hat man im Hilbertraum nicht nur Punktspektren, sondern auch kontinuierlich Spektralanteile, die sogar bei den beiden wichtigsten Operatoren, dem Ort- und Impulsoperatoren 100% betragen. Die zugehörigen "uneigentlichen Eigenfunktionen" sind bis auf die oben diskutierte zusätzliche Rauhigkeit, Distributionen im Sinne diese Artikels, z.B. δ-Distributionen (man sollte eventuell im Artikel im Zusammenhang mit dem Thema "Glattheit" auf die Rauhigkeit der Zustände im Hilbertraum hinweisen; etwa nach dem Schema "dagegen sind ..."). Die Fouriertransformation ist im Hilbertraum mehr als ein Automorphismus, nämlich sogar unitär (d.h. sie erhält das Skalarprodukt).

Andererseits sind der jeweilige Zustand $|f(x)\rangle$ und sein fouriertransformierter Zustand $|{\tilde {f}}(p)\rangle =|(2\pi )^{-1/2}\int _{\mathbb {R} }{\rm {d}}x\,f(x)e^{ipx}\,\rangle \,$ wesentlich verschieden, obwohl in beiden Fällen für große Werte des Arguments der Zustand verschwinden soll. Trotzdem sind die zugehörigen Messgrößen, Ort bzw. Impuls, sogar - im Jargon der Quantenmechanik - "komplementär". Denn sie erfüllen z.B. die berühmte Heisenbergsche Unschärferelation, die auf die Operator-Relation $({\hat {p}}{\hat {x}}-{\hat {x}}{\hat {p}})=(-i)\cdot {\hat {1}}$ hinausläuft (${\hat {1}}$ ist der Einheitsoperator).

Wie gesagt ist die Fouriertransformation eine unitäre Operation U und es gilt für die Zustände die einfache Beziehung $|f(x)\rangle {\stackrel {U}{\to }}|{\tilde {f}}(p)\rangle \,$ und für die Operatoren die entsprechende Äquivalenz: ${\hat {O}}{\stackrel {U}{\to }}U{\hat {O}}{\hat {U}}^{-1}\,.$ (Erwartungswerte, $\langle \psi |{\hat {O}}\psi \rangle \,,$ bleiben also erhalten.) Aber nicht nur, dass die zugehörigen Operatoren wesentlich verschieden sein können (s.o.): Man bekommt auch wesentlich verschiedene sog. Darstellungen, die zwar bezgl. der physikalischen Aussagen äquivalent sind, aber im Formalismus ganz konträr sein können, z.B. einerseits die sog. Ortsdarstellung (="Wellenmechanik"), in der die Zustände durch Ortsfunktionen repräsentiert werden, $|\psi \rangle =|f(x)\rangle \,,$ Ortsoperator und Impulsoperator dagegen durch die Abbildungen $|\psi \rangle {\stackrel {\hat {x}}{\to }}|xf(x)\rangle$ bzw. $|\psi \rangle {\stackrel {\hat {p}}{\to }}|{(-i)\partial f(x)}\rangle \,.$(Wird fortgesetzt)

Ich verstehe nicht so recht worauf Du hinauswillst. Habe aber auch von den Thema sehr wenig Ahnung. Mit Hilbertraum meinst du wohl sicher den L^2 oder einen vollständigen Unterraum? (Antwort: Ja. Danke für den Hinweis:) Zur Zeit befindet sich dieser Artikel im Review, vielleicht willst Du auf dieser Seite auch mal vorbeischauen. --Christian1985 (Diskussion) 20:25, 25. Jan. 2011 (CET)

(Tue ich gerne, später. Zunächst: Fortsetzung! Entschuldige, "Christian1985"; ich versuche einfach indirekt, zu lernen, z.B. indem ich meine eigenen Gedanken etwas sortiere und auf Anworten hoffe; ich weiß halt einiges über den Hilbertraum und weniger über den Schwartzraum, obwohl ich mich schon immer über mögliche Zusammenhänge interessiert habe. Speziell habe ich nolens-volens viel von Dir gelernt. Also weiter im Text; vielleicht kommt ja einiges Konkretes dabei heraus:)

... und andererseits die Impulsdarstellung mit $|\psi \rangle$ (derselbe Zustand, aber in anderer Darstellung!) $=|\phi (p)\rangle$ und $|\psi \rangle {\stackrel {\hat {x}}{\to }}|(+i)\partial \phi (p)/\partial p\rangle$ bzw. $|\psi \rangle {\stackrel {\hat {p}}{\to }}|{p\phi (p)}\rangle \,.$ Also in der Ortsdarstellung ${\hat {x}}=x$ und ${\hat {p}}=-i\partial _{x}\,,$ aber in der fouriertransformierten Darstellung (="Impulsdarstellung") ${\hat {x}}=+i\partial _{p}$ und ${\hat {p}}=p\,.$

Der eigentliche Punkt, auf den ich hinaus will, ist die Möglichkeit der Fouriertransformation bei den getemperten Distributionen. Dabei denkt man natürlich an das kontinierliche Spektrum im Hilbertraum, besonders an die Tatsache, dass der Impulsoperator in diesem Raum ein rein-kontinuierliche Spektrum besitzt und dass generell die "uneigentlichen Eigenfunktionen", die bei diesem Spektralanteil auftreten, Distributionen im Sinne dieses Artikels sind, die wegen fehlender Quadratintegrierbarkeit eigentlich keine Elemente des Hilbertraums sind, aber "fast", in dem Sinne, dass man aus ihnen leicht quadratintegrable Wellenpakete bilden kann. Diese Distributionen sind im Hilbertraum natürlich Fourier-integrierbar, wenn auch mit der Lebesgueschen "Rauhigkeit" versehen. Somit kommt einem die Fouriertransformierbarkeit der temperierten Distributionen ja nicht ganz unnatürlich vor. Mathematisch gesehen wird das Ganze m.E. erhärtet durch die Tatsache, dass Ort und Impuls bei der Definition der Schwartz-Funktionen im Gegensatz zur Quantenmechanik völlig gleichberechtigt sind: Man betrachtet glatte Funktionen, die erstens bei sehr großem Argument "hinreichend rasch" abfallen (ganz gleich ob dieses Argument nun x oder p ist), und die zweitens konkret für alle Multi-Indizes α und β und alle x die Bedingung erfüllen, dass $|x^{\alpha }(-i\partial _{x})^{\beta }f(x)|$ endlich bleibt (das -i ist mathematisch unwesentlich, aber wegen der physikalischen Interpretation des Impulsoperators, ${\hat {p}}\phi (x)=-i\partial _{x}\phi (x)$ nützlich; das Wesentliche an der Schwartz-Definition erscheint mir die Symmetrie des oft als nur "technische Einzelheit" beschriebenen - oder in diesem Artikel ganz weggelassenen - Kriteriums bzgl x und $\partial _{x}\,).$ Bemerkenswert erscheint mir in diesem Zusammenhang auch die obige Bemerkung "derselbe Zustand, aber in anderer Darstellung". - MfG, Meier99 22:31, 25. Jan. 2011 (CET)

Inzwischen sehe ich selbst schon einiges klarer: die $\delta _{a}(x)$ für a>0 sind ja quadratintegrierbar, glatt und alles was man will, insbesondere sind also Skalarprodukte, $\langle \delta _{a}|\delta _{a}'\rangle \,,$ Projektionsoperatoren, $|\delta _{a}\rangle \langle \delta _{a}|\,,$ usw., definiert (Wirkung des letztgenannten Operators entsprechend der Schreibweise. d.h. im Hilbertraum gilt $|\psi \rangle \to |\delta _{a}\rangle \,\langle \delta _{a}|\psi \rangle \,.$ Für $a\to 0\,,$ also für die δ-Distribution, ist das Ganze nicht mehr definiert, obwohl diese Elemente, z.B. die Fouriertransformierte der δ-Distribution als sogenannte monochromatische ebene Wellen vorkommen, oder in der Ortsdarstedllung die δ-Distribution selbst. (Die Physiker schreiben z.B. ${\hat {x}}=\int _{x'\in \mathbb {R} }{\rm {d}}x'\,|\delta (x-x')\rangle \langle \delta (x-x')|\,.$ Man spricht von "uneigentlichen Eigenfunktionen", nämlich von Distributionen wie der δ-Distribution oder ihrer nicht quadratintegrierbaren Fouriertransformierten.

Das heißt, nach Fouriertransformation, physikalisch: Nicht für streng monochromatische Wellen, ${\tilde {\delta }}(p_{0})=e^{ip_{0}x}/{\sqrt {2\pi }}\,,$ sondern nur für daraus gebildete Wellenpakete, z.B. $\phi (p)=\int _{p_{0}\in \Delta p}{\rm {d}}p_{0}e^{ip_{0}x}/{\sqrt {2\pi }}\,,$ muss Quadratintegrierbarkeit gefordert werden. Genau an dieser Stelle muss man auch die Topologie wechseln, von der "starken" Skalarprodukt-induzierten Hilbertraum-Topologie zu der "schwachen" Topologie der Distributionen, indem man nämlich Funktionale definiert und die Grenzwerte "vor dem Integral" bildet, und nicht dahinter. Das macht z.B. auch deshalb Sinn, weil so sichergestellt ist, dass eventuelle singuläre Terme nichts beitragen, weil z.B. $\int _{a\,\geq \,0}\delta _{a}(x)f(x){\rm {d}}x\equiv \int _{a\,>\,0}\delta _{a}(x)f(x){\rm {d}}x$ ist.

Das grundlegende Thema war urprünglich die Möglichkeit der Fourier-Transformation in ein-und demselben Raum. Das ist sowohl im Hilbertraum als auch im Schwartzraum gegeben; in beiden Fällen handelt es sich um einen Automorphismus. Insbesondere schließt dies auch - im Gegensatz zu dem, was ich gestern noch glaubte, in beiden Fällen nicht aus, dass man verschiedene Darstellungen ein- und derselben Physik erhält, nämlich einmal die Ortsdarstellung (Wellenmechanik), mit Funktionenen $f(x)\in \mathbb {L} ^{2}(\mathbb {R} _{x})\,,$ und den entsprechenden Operatoren für Orts- und Impuls-Variable, und zum anderen die durch Fouriertransfomation erhaltene "Impulsdarstellung" mit Fourier-transformierten Funktionen und den entsprechenden "komplementären" Darstellungen für diese Operatoren. Die quadratintegrierbaren Funktionen (L²-Funktionen) des Hilbertraums bilden aber, weil sie "rauh" sind, im Gegensatz zu den "glatten" Testfunktionen des Schwartzraums, in diesem keinen Unterraum, obwohl auch im Hilbertraum die Fouriertransformation existiert und einen Automorphismus bildet, also insbesondere das Skalarprodukt invariant lässt. Im Hilbertraum hat man die durch das Skalarprodukt erzeugte "starke" Topologie und insbesondere eine vollständige Spektraldarstellung, die damit zusammenhängt, im Schwartzraum hat man dagegen "nur" die "schwache Topologie". Der Zusammenhang zwischen den beiden Räumen ist also komplziert.

Als Resümee schlage ich drei kurze Zusätze zum Artikel vor (im Unterabschnitt "Temperierte Distributionen):

• Erstens im Anschluß an die Ersteinführung des Schwartzraumes den Satz: Dabei werden bei der Definition des Schwartzraumes in den grundlegenden Seminormen Multiplikationen mit Ortsvariablen bzw. Ableitungen nach diesen Variablen (Physikalisch: Orts- bzw. Impulsvariable) äquivalent behandelt. Die Äquivalenz ist für die Möglichkeit der Fouriertransformation wichtig.

• Zweitens an geeigneter Stelle: Auch die sogenannten „uneigentlichen Eigenfunktionen“ des kontinuierlichen Spektrums von physikalischen Variablen der Quantenmechanik sind in Strenge temperierte Distributrionen.

• Drittens, ebenfalls an geeigneter Stelle: Die quadratintegrierbaren Funktionen des Hilbertraums der Quantenmechanik bilden dagegen - weil sie nicht durch glatte Testfunktionen erzeugt, nur bis auf "Nullmengen" definiert werden - keinen Unterraum von S', obwohl auch in diesem Raum die Fouriertransformation einen Automorphismus bildet.

- MfG, Meier99 12:43, 26. Jan. 2011 (CET)

Mal ein paar wirre Gedanken zur Topologie von mir. Also in einem Hilbertraum wird natürlich durch das Skalarprodukt die Topologie erzeugt. Lapidar gesagt ist das tolle an einem Hilbertraum ja, dass der seinem Dualraum entspricht. Das heißt man kann Element des Hilbertraums auf Elemente des Hilbertraums anwenden und erhält eine komplexe Zahl. Dieses aufeinander Anwenden geschieht durch das Skalarprodukt. In Banachräumen (oder wie hier in lokal konvexen Vektorräumen) versucht man ein ähnliches Konstrukt. Man hat also seinen (zur Vereinfachung) Banachraum und möchte dort auch so eine Paarung wie im Hilbertraum haben. Dazu betrachtet man eben den Dualraum und paart diesen mit dem Ausgangsraum. Man schreibt das auch oftmals genauso hin wie im Hilbertraum, insbesondere bei der BraKet-Schreibweise gibt es dort keine Differenzierung glaube ich! Im Unterschied zum Hilbertraum wird durch diese Paarung eben eine andere Topologie erzeugt. In unserem Fall ist das die Schwach-*-Topologie für den Dualraum. Aber es gibt glaube ich auch noch eine andere sinnvolle Möglichkeit eine Topologie auf dem Dualraum zu erhalten, die aber bei den Distributionen keine Anwendung findet.

Zu deinen Ergänzungsvorschlägen. Dein erster Vorschlag gehört in den Artikel Schwartz-Raum denke ich, aber dann sollte dazu auch ein kurzer Abschnitt zur Physik entstehen, ohne deine gestrigen Überlegungen würde ich diesen Satz nicht verstehen. Dann zum Thema uneigentliche Eigenfunktionen fehlt hier sicher ein Abschnitt, aber ich habe davon noch keine Ahnung, da ich mehr mit elliptischen DLGs arbeite. Und Dein dritter Punkt stimmt nicht. Denn so viel ich weiß kann man den L^2 in S' stetig einbetten auf jedenfall kann man ihn in D' stetig einbetten! --Christian1985 (Diskussion) 13:35, 26. Jan. 2011 (CET)

Du hast Recht. Ich war sowieso auf dem Weg, mich bzgl. Punkt 3 zu korrigieren: Jede Funktion aus ${\mathcal {S}}$ ist quadratintegrierbar, also gilt ${\mathcal {S}}\subset {\mathcal {H}}$, also ${\mathcal {H}}'\subset {\mathcal {S}}'$, aber ${\mathcal {H}}={\mathcal {H}}'.$   Also ${\mathcal {S}}\subset {\mathcal {H}}\subset {\mathcal {S}}'.$ Diese Beziehung ist nach Israel Gelfand benannt ('Gelfandsches Raumtripel'). - MfG, Meier99 15:49, 26. Jan. 2011 (CET)

Hallo, also das große Problem des Artikels zu den Distributionen ist ja, dass der Artikel wohl jetzt schon sehr schwer verständlich ist. Das Thema "verallgemeinerte Eigenfunktionen" ist bestimmt recht umfangreich und ich bin mir nicht sicher in welchen Artikel das Thema gehört, es gibt ja auch noch den Artikel Spektraltheorie.... oder vielleicht ganz woanders hin. Ich werde im Artikel Temperierte Distributionen mal ${\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})\subset {\mathcal {L}}^{2}(\mathbb {R} ^{n})\subset {\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{n})$ erwähnen und in diesem Artikel schauen, ob sich ein Platz für ${\mathcal {D}}(\Omega )\subset L^{2}(\Omega )\subset {\mathcal {D}}'(\Omega )$ findet. In der englischen Wikipedia gibt es den Artikel en:Rigged_Hilbert_space, der wohl versucht das von dir angesprochene Thema zu behandeln. --Christian1985 (Diskussion) 22:44, 26. Jan. 2011 (CET)

   Genau! Habe inzwischen auch im hiesigen Artikel unter "Temperierte Distributionen" einen kurzen Unterabschnitt "Gelfandsches Raumtripel" addiert, der nur die Gelfandsche Beziehung ${\mathcal {S}}\subset {\mathcal {H}}\subset {\mathcal {S}}'$ kurz und "schmerzlos" begründet, und dann - ganz ohne Argumentation - angibt, dass die Funktionen des kontinuierlichen Spektrums von Operatoren in ${\mathcal {H}}$ nicht quadratintegrierbar sind, sondern nur zu ${\mathcal {S}}'$ gehören. Dann wird nur noch auf Band III des Buches von Gelfand hingewiesen, das ja in der Literaturliste angegeben ist. - Dabei muss es bleiben. Obwohl der konkrete Zusammenhang gar nicht so kompliziert ist:
   Die Funktionen des kontinuierlichen Spektrums einer Messgröße im Hilbertraum - um die geht es; und das bedeutet eine zwar für Nichtphysiker nicht wichtige, aber immnerhin doch nennenswerte Anwendung der hier verwendeten Begriffe - sind in der Tat nicht quadratintegrierbar, sondern Distributionen aus ${\mathcal {S}}',$ Distributionen wie etwa $\delta _{0}\,\,(=\delta ).$ Sie können aber mit einem kontinuierlichen Index $\mathbf {\lambda }$ versehen werden (z.B. $\delta _{0}\to \delta _{\lambda })$ und verhalten sich bei gegebenem $\phi \in {\mathcal {S}}$ bezüglich der Integration über ${\rm {d}}\mathbf {\lambda }$ wie quadratintegrierbare Funktionen $f(\lambda )\,,$ wohlgemerkt: Funktionen von $\mathbf {\lambda } \,.$ Denn bei gegebenem $\phi$ erhält man durch die Distribution $d_{\lambda }$ eine komplexe Zahl, bei Variation von $\lambda$ also eine komplexe Funktion. Man kann zeigen, dass diese Funktion quadratintegrierbar bezüglich $\lambda$ ist. Das Ergebnis des Integrals $\int _{\Delta \lambda }|f(\lambda )|^{2}{\rm {d}}\lambda$ gibt in der Tat, bei passender Normierung, die Wahrscheinlichkeit, im Zustand $\phi$ einen Messwert des kontinuierlichen Spektrums der betrachteten Messgröße aus dem Intervall $\Delta \lambda$ zu bekommen. - Finito! -- MfG, Meier99 12:49, 28. Jan. 2011 (CET) , mit Zusätzen zu späterem Zeitpunkt.

Ich bin mit dem Abschnitt nicht so ganz glücklich. Ich bin der Ansicht dass der Abschnitt über temperierte Distributionen hier einfach zu lange wird, es gibt schließlich einen eigenen Artikel zu diesem Thema und in diesem Artikel sollte hauptsächlich der Raum ${\mathcal {D}}'$ betrachtet werden, für den nebenbei ja auch ein Geldfandtrippel gibt. --Christian1985 (Diskussion) 18:09, 29. Jan. 2011 (CET)

Cauchyscher Hauptwert

Ich verstehe die neue Änderung nicht! Was sind denn "verallgemeinerte komplexe Funktionen"?? --Christian1985 (Diskussion) 18:09, 29. Jan. 2011 (CET)

Es gibt reelle und komplexe Hilberträume, es gibt auch reelle und komplexe Distributionen, z.B. arbeitet man in letzteren mit komplexen Testfunktionen $\phi (x)$ und betrachtet Abbildungen nach $\mathbb {C} \,,$ obwohl x nach wie vor aus $\mathbb {R}$ sein soll. Mir ist unklar, was Du nicht verstanden hast. Ich vermute mal, dass es sich vielleicht auf diesen Punkt bezieht. Es ist von mir nicht gemeint, dass auch $x\in \mathbb {C}$ ist, sondern es gilt wie üblich z=x+iy. Mit x ist also immer das gemeint, was die Physiker darunter verstehen. Trotzdem ist die Distribution "1/(x-i\epsilon)" ganz selbstverständlich komplex und nicht reell, obwohl sowohl x als auch ε reell sein sollen. - Sorry, aber mir scheint: bei den Mathematikern muss auch der Physiker wirklich alles sagen, was er (irrtümlich!) für selbstverständlich hält. -- MfG, Meier99 19:46, 29. Jan. 2011 (CET)

Ja alles dazu sagen finde ich immer sehr gut, insbesondere da ja die Physiker und die Mathematiker schon bald zwei unterschiedliche Sprachen haben. Unter eine komplexen Distribution habe ich mir im ersten Moment eine Distribution mit holomorphen Testfunktionen vorgestellt oder zumindest mit Testfunktionen die auf $\mathbb {C}$ definiert sind, da ja eine Distribution nach der Definition des Artikels sowieso nach $\mathbb {C}$ abbildet. Ich präzisiere das noch eben. --Christian1985 (Diskussion) 19:56, 29. Jan. 2011 (CET)

Ich bin immernoch ein bischen verwirrt. Der hier betrachtete Testfunktionenraum ist also ${\mathcal {D}}(\mathbb {R} ,\mathbb {C} )$ also der Raum der beliebig oft differenzierbaren Funktion von $\mathbb {R}$ nach $\mathbb {C}$ mit kompaktem Träger? --Christian1985 (Diskussion) 20:23, 29. Jan. 2011 (CET)

Genau! - Frage: Ist PV(1/x) Fourier-transformierbar? Ich glaube nicht, bin mir aber nicht ganz sicher; jedenfalls wäre das so oder so auch in dieser Hinsicht ein nennenswertes Beispiel. -- MfG, Meier99 15:33, 30. Jan. 2011 (CET)

Puh gute Frage. Ich denke sie ist fourier-transformierbar. Für die Existenz der Grenzwerte müsste es doch reichen, dass die Testfunktionen für unendlich schneller fallen als der Logarithmus wächst und dass die Testfunktionen beschränkt sind. Die wirklich böse Stelle liegt ja bei Null und nicht bei unendlich. Daher gehe ich davon aus, dass PV(1/x) in S' liegt und damit fourier-transformierbar ist. Viele Grüße --Christian1985 (Diskussion) 23:29, 3. Feb. 2011 (CET)

Träger

Ich wollte kurz erklären, warum ich beim Träger einer regulären Distribution T_f ergänzt habe, dass dieser mit dem Träger der Funktion f übereinstimmt, wenn diese stetig ist. Das liegt daran, dass der Träger einer lokal-L1-Funktion kein sinnvolles Konzept zu sein scheint. Wenn ich den Träger nach wie vor definiere als den Abschluss der Nicht-Nullstellen, dann kann ich den Träger einer Funktion f total verändern, wenn ich die Funktion auf einer Nullmenge abändere. Eine solche Änderung ändert aber die dazugehörige Distribution keineswegs und somit ändert sich auch der Träger der Distribution nicht. Kurz gesagt: Die Indikatorfunktion (charakteristische Funktion) von \Q hat Träger \R, aber die dazugehörige Distribution ist 0 und hat somit leeren Träger. (Man könnte natürlich den Träger einer lokal-L1-Funktion definieren, als den Träger der dazugehörigen regulären Distribution, aber ich weiß nicht, ob dies üblich ist) Ich hoffe, ich habe meine Änderung ausreichend begründet und es ist in Ordnung, die Stetigkeitsannahme bei der Aussage zu den Trägern wieder hinzuzufügen. Viele Grüße, --Cosine 14:27, 6. Apr. 2011 (CEST)

Danke für den Diskussionsbeitrag. Bevor ich gestern Deinen Beitrag revertiert habe, habe ich noch in Analysisbüchern die Definition des Trägers einer Funktion nachgeschlagen. In diesen war der Träger für alle Funktionen definiert, aber für L^p-Äquivalenzklassen ist er wohl wirklich nicht wohldefiniert. Danke für Dein Beispiel! Du hast Recht bezüglich dessen, dass an f weitere Forderungen gestellt werden müssen und Stetigkeit ist wohl die nächst greifbare ist, aber für Treppenfunktionen müsste es auch richtig sein. Du kannst meinen Revert gerne wieder rückgängig machen. Entschuldige, viele Grüße --Christian1985 (Diskussion) 18:01, 6. Apr. 2011 (CEST)

Gibt es so etwas wie einen "essentiellen Träger" (analog zum essentiellen Supremum)? Sinnvoll wäre etwa eine Definition wie die folgende: Ein Punkt gehört nicht zum "essentiellen" Träger, wenn er eine Umgebung besitzt, in der die Menge der Punkte an denen die Funktion von Null verschieden ist, eine Nullmenge ist.

Andererseits definiert zum Beispiel Federer (H. Federer, Geometric Measure Theory) den Träger nur für stetige Funktionen. -- Digamma 20:09, 6. Apr. 2011 (CEST)

Es gibt wohl den Begriff des essentiellen Trägers im Zusammenhang mit Distributionen. Jedoch ist dieser scheintbar noch nicht so recht verbreitet und aufgrund fehlender Literatur weiß ich auch nicht was dahinter steckt. Viele Grüße --Christian1985 (Diskussion) 21:45, 15. Apr. 2011 (CEST)

Alternative Definition

Ich habe noch ein paar Änderungen gemacht und vergessen, diese im "Zusammenfassung und Quellen"-Feld zu begründen.

Ich habe versucht, noch besser auszudrücken, dass es zwei alternative Definitionen einer Distribution gibt, die aber äquivalent sind. Den irreführenden Satz, dass für lineare Funktionale Stetigkeit und Beschränktheit äquivalent sind habe ich entfernt, weil dies meines Wissens nach nur für bornologische Räume gilt. (Dies ist zwar hier ein bornologischer Raum, aber der entsprechende Satz sah so aus, als würde dies allgemein für beliebige lokalkonvexe Räume gelten). Ich hoffe, das ist in Ordnung so. Noch nicht zufrieden bin ich damit, dass durch meine Änderung die Defintion der "Ordnung" sich nun auf Notationen in einer Formel im vorherigen Abschnitt bezieht... Vielleicht kann man das ja noch verbessern. Ich weiß gerade nicht wie...

Idealerweise müsste man auch an irgendeinem Ort (also entweder hier oder bei Testfunktion) einmal die (LF)-Topologie auf den Testfunktionen definieren, damit die erste Definition (die über stetige Funktionale) überhaupt sinnvoll ist, aber ich weiß nicht, wo dafür der richtige Ort ist. (oder sie steht schon irgendwo und ich habe sie übersehen). Viele Grüße, --Cosine 10:51, 29. Apr. 2011 (CEST)

Okay, ich bin doof. Die DEfinition der Topologie steht drin. Sorry.--Cosine 10:54, 29. Apr. 2011 (CEST)

Ergebnis Review vom 18. Dezember 2010-13. Juni 2011

Eine Distribution im Bereich der Mathematik bezeichnet ein Objekt aus der Funktionalanalysis, das je nach Blickwinkel als eine Verallgemeinerung des Begriffs der Funktion angesehen wird. Das Objekt wurde Mitte des 20. Jahrhunderts insbesondere von Laurent Schwartz untersucht, der für seine Arbeiten über die Distributionen die Fields-Medaille erhielt.

Hallo, ich habe in diesen Artikel schon einiges an Zeit investiert und komme nun nicht mehr so richtig weiter. Ich vermute, dass der Artikel zu technisch ist und ich weiß nicht wie ich das verbessern kann. Es fehlt außerdem noch ein Verweis auf den Kernsatz von Schwartz, was allerdings auch sehr technisch wäre. Zudem stelle ich mir die Frage, ob man den Abschnitt über Testfunktionen großenteils auslagern sollte, da Testfunktionen zum Beispiel auch bei der schwachen Ableitung von Nöten sind. Ich würde mich über Hilfe freuen. -- Christian1985 (Diskussion) 14:13, 18. Dez. 2010 (CET)

Hallo Christian, erstmal Respekt vor einem solchen Artikelthema. Gleich vorneweg, ich habe nur die Einleitung und das erste Kapitel - das nicht ebenfalls „Einleitung“ heißen sollte – gelesen. Ich wage auch zu behaupten, dass im Moment kaum jemand den Artikel lesen wird, der nicht Mathematik mit Spezialgebiet Funktionalanalysis studiert hat (was, wie ich vermute, auf Dich zutrifft). Natürlich zieht so ein Thema eh nicht viele Leute an, aber ein Ziel könnte ja sein, wenigstens diejenigen Akademiker zu interessieren, die schon mal ein Integralzeichen gesehen haben. Dazu müsste mMn mehr – für Dich evtl. Banales – erklärt oder verlinkt werden. Im einzelnen meine ich folgendes:

• Was sind „singuläre Objekte“? Auch „Dichtefunktion“ und „Raumintegral“ könnten gerne verlinkt werden.  Ok
• „In der Einleitung dieses Artikel wurde gesagt, dass eine Distribution ein Funktional also insbesondere eine Funktion ist“. Die Einleitung, also die ersten paar Zeilen des ganzen Artikels, sollen eine Zusammenfassung des Artikelinhalts geben. Ein Satzteil wie „in der Einleitung wurde gesagt“ geht also gar nicht. Zudem wurde nicht von einem Funktional (was ist das?), sondern von einer Funktion gesprochen.  Ok
• Wenn ein sowieso schon abgehobenes Thema fast zu Beginn schon einen zwar wissenschaftlich begründeten, aber doch grundlegenden Widerspruch (Funktion ja oder nein) enthält, dann ist auch der letzte Halblaie verwirrt. Auf die zwei Sichtweisen muss man natürlich hinweisen, aber ich würde den vorhandenen Widerspruch nicht gleich an den Anfang stellen (aus rein psychologischen Gründen).
• Was ist eine „Cc∞-Funktion“, was ist das bei seinem ersten Auftauchen nicht erklärte „δ“? Mit viel Übertreibung könnte man sagen, die Kenntnis der Delta-Distributionen wird vorausgesetzt, um Distributionen zu erklären. :-)
• „In diesem Artikel wird vorwiegend die mathematische Sichtweise verwendet.“ Auf die Gefahr hin, jetzt als Dummkopf dazustehen: welche der Sichtweisen ist denn nun die als „mathematisch“ bezeichnete?

Mein Eindruck: Die ganzen mathematischen Schätze, die vielleicht im Artikel stehen, wird fast niemand lesen. Das liegt einerseits am Thema, aber ich meine auch daran, dass bisher nicht wenigstens versucht wird, die Halblaien ins Boot zu holen. Das wäre sehr wichtig, um ein etwas breiteres Publikum anzusprechen. Ich wünsche Dir trotzdem viel Erfolg und Gruss --Toni am See 17:47, 18. Dez. 2010 (CET)

Hallo Christian, mir fehlt ein Abschnitt, der erklärt, wie man dazukommt, so etwas zu betrachten. Zum Beispiel motiviert durch die Elektrodynamik: In den Maxwellschen Gleichungen kommt die Ladungsdichte vor. Nun möchte man aber auch Ladungsverteilungen betrachten, die sich nicht durch eine solche Dichtefunktion beschreiben lassen, z.B. Punktladungen, Ladungen, die entlang einer Fläche oder einer Linie konzentriert sind, oder Dipole. Distributionen, zusammen mit einer schwachen Formulierung der Differenzialgleichungen, sind eine Möglichkeit, solche Verteilungen zu behandeln. Ich vermute mal, dass daher auch der Name kommt, denn "Distribution" bedeutet ja wörtlich nichts anderes als "Verteilung". -- Digamma 18:03, 18. Dez. 2010 (CET) noch offen

Hallo, ich habe mitlerweile die Einleitung überarbeitet, den Teil zur Geschichte erweitert und den Abschnitt zu den Sichtweisen nach unten verschoben und angepasst. Jedoch bin ich mit dem Geschichtsteil nun icht so ganz zufrieden. Die Sache mit den Funktionalen auf den Lp-Räumen muss wohl irgendwie in den Artikel rein, aber ich weiß nicht so genau wie.

Ja Toni danke für Deine Kritikpunkte ich versuche sie auch noch weiter umzusetzen, dass das $\delta$ nicht definiert ist, ist der Witz an der Sache, es ist nicht die Deltadistribution gemeint, sondern ein mathematisch undefiniertes Objekt, das Physiker einfach mal so hinnehmen. Ich könnte da durchaus ein anderes Zeichen nehmen.

Danke Diagamme für deine Rückmeldung, diese Idee halte ich für sehr gut.

Sieht jemand eine Möglichkeit den Abschnitt zur Definition verständlicher zu schreiben? --Christian1985 (Diskussion) 18:13, 21. Dez. 2010 (CET)

Im Artikel steht

${\mathcal {D}}\subset {\mathcal {S}}\subset {\mathcal {E}}\subset {\mathcal {E}}'\subset {\mathcal {S}}'\subset {\mathcal {D}}'$

Stimmt denn ${\mathcal {E}}\subset {\mathcal {E}}'$? Haben nicht die Distributionen aus ${\mathcal {E}}'$ kompakten Träger?-- Digamma 21:12, 21. Dez. 2010 (CET)  Ok

Hm.. ja das wirkt auf mich auch nicht mehr nachvollziehbar. Ich habe es mal zu ${\mathcal {D}}\subset {\mathcal {E}}'\subset {\mathcal {S}}'\subset {\mathcal {D}}'$ reduziert. Werde nochmal darüber nachdenken. Mir sind noch ein paar Fragen gekommen.... Nennt man überhaupt die Funktionen aus S und E Testfunktionen? Weiterhin stellt sich mir die Frage ob man die Tempierten Distributione mit der Fouriertransformation in einen eigenen Artikel packen sollte genauso die Distributionen mit kompaktem Träger. Ich glaube der Artikel ist einfach zu abschreckend mit den ganzen Funktionenräumen. Was denkt ihr? --Christian1985 (Diskussion) 21:51, 21. Dez. 2010 (CET)

IANAFA, aber: Von "Sinn" (verallgemeinerte Ableitung) und "Form" (stetig, lineares Funktional) wird die Form im Artikel zurückgehalten, deswegen ist zum Beispiel erst im Nachhinein ersichtlich, warum die Beobachtung von Hadarmard angeführt wird. Wäre es verständlicher, wenn man die Eigenschaft dessen, was da verallgemeinert werden soll (Ableitung als Funktional) und die Form der Verallgemeinerung (Funktionale) stärker in Beziehung setzt? --Erzbischof 14:09, 27. Dez. 2010 (CET)

Erzbischof, ich verstehe Deinen Vorschlag nicht ganz, was meinst du mit die "Form" wird im Artikel zurückgehalten? Ich werde in dem Teil zur Geschichte noch erläutern, warum da aufeinmal von dem Begriff des Funktionals gesprochen wird. Ich denke jedoch nicht, dass die Distributionen eingeführt wurden, um die Ableitung zu verallgemeinern, sondern das war physikalisch motiviert und die Verallgemeinerung der Ableitung war eben ein tolles Nebenprodukt. --Christian1985 (Diskussion) 20:19, 27. Dez. 2010 (CET)

Ich meine: Es besteht eine Lücke zwischen "Schon im Jahr 1903 führte Jacques Hadamard den für die Distributionentheorie wichtigen Begriff des Funktionals ein" und "Eine Distribution ist eine lineare und stetige Abbildung, welche einer Testfunktion eine komplexe Zahl zuordnet." Der Zusammenhang zwischen beiden Bemerkungen ist nicht so klar. Am besten schon in der Einleitung Distributionen als Funktionale auf Testfunktionen einordnen. --Erzbischof 13:13, 28. Dez. 2010 (CET)

Ah nun verstehe ich glaube ich deine Anmerkung. Ich habe nun den Begriff Funktional schonmal in der Einleitung und im Abschnitt zu den Testfunktionen untergebracht.--Christian1985 (Diskussion) 15:23, 29. Dez. 2010 (CET)

Hallo Christian, wie ich sehe, steckst Du noch richtig Arbeit in den Text rein. Bravo! Denn die Textabschnitte – wie im Kapitel „Geschichte der Distributionentheorie“ – können ja auch von Nichtmathematikern gelesen werden. Gut auch die Auflockerung durch die Bilder. Mittlerweile bekomme ich Lust, in den nächsten Tagen den (*zitter*) ganzen Artikel zu lesen. Wäre es ok, wenn ich dabei eventuellen sprachlichen Kleinkram bereinigte? Die mathematischen Formeln würde ich selbstverständlich nicht antasten. Gruss --Toni am See 08:27, 28. Dez. 2010 (CET)

Danke für Dein Lob. Ich habe noch einen größeren Plan wie ich den Artikel umbauen möchte. So möchte ich die Abschnitte 2.3, 8.6.1 und 8.6.2 in den Artikel Benutzer:Christian1985/Spielwiese/Temperierte_Distribution (zur Zeit riesen Baustelle) auslagern und den Abschnitt 2.2 weiter nach unten verschieben. Ich denke nämlich, dass der Paragraph 2 besonders unschön zu lesen ist, da er mit vielen Fachbegriffen um sich wirft und diese werden kaum gebraucht, um den Artikel verstehen zu können. Wenn Du den Artikel durchliest, fände ich es sogar sehr schön, wenn die sprachlichen Schnitzer entfernst. Danke schön für Deine Mitarbeit. --Christian1985 (Diskussion) 12:57, 28. Dez. 2010 (CET)

Danke für die Info über den Umbauplan. Dann warte ich vielleicht lieber noch diesen Umbau ab. Denn ich bin ja nicht sicher, ob ich mehr als einmal durch den ganzen Artikel durchkomme… :-) Gruss --Toni am See 19:01, 28. Dez. 2010 (CET)

So der angekündigte Umbau ist vollzogen. Der nun freigewordene Platz muss nun nur noch dazu verwendet werden, die restlichen Aspekte verständlicher darzustellen. --Christian1985 (Diskussion) 15:23, 29. Dez. 2010 (CET)

Ja, ich glaube der Artikel wird immer besser. Weitere Kleinigkeiten, die mir gerade auffallen: a) Die Bilder sollten so platziert werden, dass die Porträtierten „zum Artikel gucken“. Also wenn der Porträtierte vom Leser aus gesehen nach rechts guckt, sollte das Bild links platziert werden – und umgekehrt. Siehe dazu auch WP:AI#Positionierung von Bildern. b) Im Kapitel „Definition“ sollten noch nicht ${\mathcal {E}}$ und ${\mathcal {S}}$ (und deren Dualräume) benutzt werden, denn diese Buchstabenverwendungen werden ja erst später im Artikel erklärt. Ok Gruss --Toni am See 06:20, 30. Dez. 2010 (CET)

Ah die Restbestände an Bezeichnungen ${\mathcal {E}}$ und ${\mathcal {S}}$ hatte ich in dem Abschnitt völlig übersehen, habe sie nun entfernt. Du merktest an, dass du die physikalische Sicht nicht verstehst? Ich versuche sie hier in der Diskussion nochmal darzulegen und du sagst mir welcher Aspekt dir fehlt. Also mathematisch gesehen ist eine Distribution $T$ ein stetiges, lineares Funktional. Dieses kann man, was bis jetzt nur im Geschichtsteil steht, immer durch $T(\phi )=\lim _{n\to \infty }\int _{\Omega }\phi (x)g_{n}(x)dx$ darstellen. Die Physiker ziehen nun (unbewusst) den Grenzwert in das Integral rein, also $\int _{\Omega }\lim _{n\to \infty }\phi (x)g_{n}(x)dx=\int _{\Omega }\phi (x)g(x)dx.$ Dies ist aus mathematischer Sicht allerdings einfach falsch und deshalb kann es passieren, dass g (im Artikel $\delta$) keine Funktion mehr ist, sondern eben irgendwas anderes, was nicht präzise definiert ist. Aber auch vielen Mathematikern gefällt diese "Physikervariante", weil $\int _{\Omega }\phi (x)g(x)dx$ an ein L2-Skalarprodukt erinnert und das ist für einen Mathematiker etwas "schönes". Soll ich versuchen den Abschnitt zu den Sichtweisen so auszuziehen, oder ist das genauso unverständlich? --Christian1985 (Diskussion) 10:55, 30. Dez. 2010 (CET)

Ahaa, also das finde ich (als wie gesagt Halblaie) jetzt eine super Erklärung! „Die Physiker ziehen nun (unbewusst) den Grenzwert in das Integral rein“, dieser Aspekt hatte zumindest mir gefehlt. Am Wortlaut („unbewusst“) kann man noch feilen, aber das wäre glaube ich ein Gewinn für den Artikeltext. Sehen das die Experten auch so? Danke und Gruss --Toni am See 17:42, 30. Dez. 2010 (CET)

Was wird Quellenmäßig von diesem Artikel erwartet? Die Mathematik aus dem Artikel ist komplett in Hörmanders Buch enthalten und der Teil über die Geschichte steht in der Dissertation. --Christian1985 (Diskussion) 15:23, 29. Dez. 2010 (CET)

Ein netter Artikel, der nur leider etwas omA-unfreundlich ist ;-) Ich teile aber insbesondere einen der noch offenen Kritikpunkte, die Toni am See am Anfang dieses Reviews genannt hat: ob es jetzt eine Funktion oder ein Funktional ist und warum nicht, wird dort nicht ganz ersichtlich. Vielleicht könnte die folgende "Physikersichtweise" die Einleitung etwas verständlicher machen: "Die Ableitung der Stufenfunktion ist im Raum der Funktionen nicht definiert. Benötigt man jedoch ein Objekt, dessen Integral gerade die Stufenfunktion ist, so muss man die Funktionen verallgemeinern und landet bei den FunktionalenDistributionen. Dort hat man die Delta-"Funktion" als einen Spezialfall der Distributionen zur Verfügung und betreibt wieder saubere Mathematik." Das ist vielleicht sehr einseitig auf die (eindimensionale) Delta-Funktion zugeschnitten, wäre aber als Motivation für omA (oder zumindest einen Oberstufenschüler, der bereits eine Stufenfunktion und das Wort Ableitung kennengelernt hat) meiner Meinung nach sehr hilfreich. --Dogbert66 15:00, 31. Dez. 2010 (CET)

Ja die Oma-Unfreundlichkeit ist sicher das bei weitem größte Problem des Artikels. An Deinem Vorschlag für einen Einleitungssatz verstehe ich allerdings zwei Dinge nicht. Indem man Funktionen verallgemeinert landet man doch nicht bei Funktionalen? Zumindest aus der heutigen mathematischen Sicht sind Funktionale eine bestimmte Sorte von Funktionen. Und wie integriert man über Funktionale? Dazu müsste man ja als Integrationsraum die Menge der Testfunktionen nehmen... Wahrscheinlich verstehe ich das falsch und es geht darum das distributionserzeugende Objekt zu integrieren? Schreibt man denn in der Physik sowas wie $H(x)=\int \delta$, wobei H die Heaviside-Funktion ist? --Christian1985 (Diskussion) 15:29, 31. Dez. 2010 (CET)

siehe Streichung/Korrektur oben. Und ja, um genau das $H(x)=\int \delta$ geht es, das einem dann gleichermaßen erlaubt, im 3D-Fall über die Poisson-Gleichung zu integrieren und ähnliches zu tun. Wir arbeiten also nicht im Raum der Funktionen, sondern der Distributionen (und sind sehr glücklich dabei). --Dogbert66 16:19, 31. Dez. 2010 (CET)

Ich hätte noch, dass im Artikel an vielen Stellen von "Distribution ordnet einer Testfunktion eine Zahl zu" die Rede ist, während meine Vorstellung ist: wenn man eine Testfunktion gegen eine reguläre Distribution faltet, wird die reguläre Distribution in einem bestimmten Bereich (kompakter Träger!) "getestet" wird und also auch allgemein die Distribution das Objekt des Interesses ist, während die Testfunktion die Untersuchungsmethode repräsentiert. Etwa wie hier (gbooks). Die Überlegung dazu wäre, dass eine Distribution eine verallgemeinerte Funktion darstellt, weil sie sich unter Messungen/Testfunktionen testen laesst. Gruß, --Erzbischof 15:42, 31. Dez. 2010 (CET)

Und da sind wir wohl bei dem Kernproblem des Artikel und möglicherweise der ganzen Theorie. Man (also auch ich) stellt sich eine Distribution immer als zwei Funktionen unter einem Integral vor, wovon eine fixiert und eine variable ist. Aber diese Vorstellung kann man eben nicht mathematisch präzisieren. Also muss in dem Artikel wohl recht weit am Anfang die mathematisch präzise Definition mit den Funktionalen stehen. Weiter dachte ich mir, dass wenn einmal diese Sichtweise im Artikel steht, dass man sie dann konsequent durchziehen sollte. Mich hatte es beim Erlernen der Theorie verrückt gemacht, dass die meisten Bücher die Sichtweise auf die Distributionen gewechselt haben, wie es ihnen gerade passte ohne diesem Wechsel speziell zu erwähnen. Aber das mag alles Geschmacksache sein. Der Abschnitt zu den Sichtweisen muss ja eh komplett neugeschrieben werden. Würde es reichen dies dort unterzubringen? --Christian1985 (Diskussion) 16:06, 31. Dez. 2010 (CET)

Ich habe mir selbst noch keine Vorgedanken gemacht, wie man die Darstellung von Distributionen man das am besten aufzieht und bin auch zunächst etwas ratlos. Hier noch Terence Tao im Princeton Companion [1], betont den Auswertungsaspekt, vielleicht ist das hilfreich. --Erzbischof 16:45, 31. Dez. 2010 (CET)

Meine bescheidene Meinung zu den zwei Sichtweisen gleicht der des Hauptautors: Im Prinzip soll der Artikel sich von Anfang an für eine der Sichtweisen entscheiden, und das muss wohl die mathematische sein. Damit aber die wichtige physikalische Sicht nicht zu kurz kommt, ist diese im Sichtweisen-Kapitel (und evtl. in den Beispielen) entsprechend darzustellen; aber eben nur dort. Noch ein Wort zur Oma-Tauglichkeit: Natürlich kann der Artikel die niemals erreichen. Wenn aber wenigstens die Einleitung laienverständlich ist, könnte eine „Lesenswert“-Auszeichnung mMn durchaus ein Ziel sein. Gruss --Toni am See 20:18, 2. Jan. 2011 (CET)

P.S. Im Kapitel über reguläre Distributionen müssten dann eigentlich die Sätze „In der Praxis verwendet man jedoch diese [Integraloperator-]Schreibweise auch für nicht reguläre Distributionen. Jedoch muss einem dabei bewusst sein, dass dies nur eine Schreibweise ist“ gestrichen werden. Nicht weil es falsch wäre, sondern weil da wieder die Sichtweisen vermischt werden. Gruss --Toni am See 23:54, 2. Jan. 2011 (CET)

Neben dem Sichtweisenabschnitt ist auch die Einleitung noch auf meiner Todo-Liste. Mir ist zum Inhalt noch ein Gedanke gekommen. Und zwar Frage ich mich, ob man die Faltung nicht auch nach Temperierte Distribution auslagern sollte. Man kann eben eine normale Distribution mit einer Distribution mit kompaktem Träger falten oder man kann zwei Temperierte Distributionen miteinander falten. Die Temperierten Distributionen mit der Faltung als Multiplikation bilden ja einen Ring mit Einselement. Das ist vielleicht schon was schöner als zwei Distributionen aus unterschiedlichen Räumen miteinander zu falten. --Christian1985 (Diskussion) 14:30, 9. Jan. 2011 (CET)

Okey das mit der Faltung stimmt nicht ganz, was ich hier geschrieben habe, drum bleibt der Artikel wie er ist. Da die Diskussion nun schon ein Weile ruht, werde ich die Tage den Review beenden. Vielen Dank für Eure Mitarbeit. --Christian1985 (Diskussion) 18:47, 20. Jan. 2011 (CET)

Die Einleitung ist durch das Entfernen des "je nach Blickwinkel" schon etwas konkreter geworden. Ich finde allerdings immer noch, dass viel gewonnen wäre, wenn u.a. der erste Satz des zweiten Absatzes weiter nach oben gestellt würde (d.h. erst mal erzählen, wozu die Distributionen gut sind, bevor man jede OMA verliert). Und was bedeutet "informell"??? --Dogbert66 00:29, 21. Jan. 2011 (CET)

Ja die Einleitung steht durchaus noch auf der Todo-Liste. Das informell ist nun weg. Ich finde die Einleitung ein extrem schwieriges Ding. Du kannst Dich gerne daran versuchen, sie zu verbessern. Dein Vorschlag von weiter oben hat für mich allerdings noch ein Problem. Dieser zielt sehr darauf ab, dass Funktionen verallgemeinert werden, was aber im Artikel so gut wie gar nicht aufgegriffen wird. --Christian1985 (Diskussion) 01:30, 21. Jan. 2011 (CET)

Äh, aber der Einleitungssatz ist doch gerade "Eine Distribution im Bereich der Mathematik bezeichnet ein Objekt aus der Funktionalanalysis, das als eine Verallgemeinerung des Begriffs der Funktion angesehen werden kann. Mathematisch präzise handelt es sich allerdings um eine besondere Art eines Funktionals." Du schriebst "Verallgemeinerung", erklärst nicht in welche Richtung und motivierst nicht wozu; der zweite Absatz holt das teilweise nach. Ok, ich überlege mir mal etwas. --Dogbert66 10:38, 21. Jan. 2011 (CET)

Ja das ist richtig, aber die Sichtweise als verallgemeinerte Funktion wird ja nur im Abschnitt zu den zwei Sichtweisen erläutert, der auch noch überarbeitet werden muss. Ansonsten habe ich zumindest versucht konsequent die andere Sichtweise zu verwenden. Der Begriff "verallgemeinerte Funktion" steht deshalb in der Einleitung, weil ich glaube, dass viele Menschen, die mal entfernt etwas von Distributionen gehört haben, sich gemerkt haben, dass diese den Funktionsbegriff erweitern sollen. Viele Grüße--Christian1985 (Diskussion) 11:14, 21. Jan. 2011 (CET)

was hieltest Du davon, einfach den ersten und zweiten Absatz der Einleitung zu vertauschen? (Fettdruck ändern und ggf. den bisherigen Einleitungssatz positiv formulieren statt eines "kann man sehen als" und "mathematisch präzise" - ja was ist es denn nun??) Begründung: der zweite Absatz ist durchaus etwas für OMA, der bisherige Einleitungssatz ist dagegen extrem vage. --Dogbert66 11:01, 4. Feb. 2011 (CET)

Habe gerade die Einleitung in diesem Sinne abgeändert. Die "präzise" Definition steht jetzt vorne, ohne als solche bezeichnet zu werden. Der Begriff "Verallgemeinerung" erscheint erst, nachdem diese auch erläutert/motiviert wurde. Dadurch ist die Einleitung glatter.  Ok --Dogbert66

Als Resümee einer unter dem Thema "Vergleich mit dem Hilbertraum" geführten Diskussion zum Originalartikel schlage ich drei kurze Zusätze zum Artikel vor (im Unterabschnitt "Temperierte Distributionen):

• Erstens im Anschluss an die Ersteinführung des Schwartzraumes den Satz: Dabei werden bei der Definition des Schwartzraumes in den grundlegenden Seminormen Multiplikationen mit Ortsvariablen bzw. Ableitungen nach diesen Variablen (Physikalisch: Orts- bzw. Impulsvariable) völlig äquivalent behandelt. Das ist für die Möglichkeit der Fouriertransformation wichtig.

• Zweitens an geeigneter Stelle: Auch die sogenannten „uneigentlichen Eigenfunktionen“ des kontinuierlichen Spektrums wichtiger Variablen der Quantenmechanik sind in Strenge temperierte Distributrionen.

• Drittens, ebenfalls an geeigneter Stelle: Jede Funktion aus ${\mathcal {S}}$ ist quadratintegrierbar, also ist ${\mathcal {S}}\subset {\mathcal {H}}\,$ (der Hilbertraum), also ${\mathcal {H}}'\subset {\mathcal {S}}'\,.$ Aber ${\mathcal {H}}'={\mathcal {H}}\,.$ Also erhält man die Beziehung ${\mathcal {S}}\subset {\mathcal {H}}\subset {\mathcal {S}}'$, die auch nach Israel Gelfand benannt ist ('Gelfandsches Raumtripel'). Weitere Einzelheiten sind im Buch 'Gelfand-Schilow' nachzulesen (siehe Literatur). - MfG, Meier99 15:11, 26. Jan. 2011 (CET)

Noch eine blöde Frage: gehört der Abschnitt zu Test-Funktionen nicht eine Stufe weiter eingerückt zu den Beispielen (so zwischen Dirac-Kamm und Radon-Maß)? noch offen --Dogbert66 13:58, 26. Feb. 2011 (CET)

Hallo, wie Du die Einleitung umgebaut hast gefällt mir gut. Die Testfunktionen sind keine Beispiele für Distributionen, sondern die Distributionen die ja Funktionale auf den Testfunktionen sind, werden an Testfunktionen auswertet. Daher erklärt der Artikel erstmal, was eine Testfunktion ist. --Christian1985 (Diskussion) 14:07, 26. Feb. 2011 (CET)

Ok, es war eine blöde Frage ;-) Ist mir bei nochmaligem Lesen auch aufgefallen. Dennoch: der Absatz stört den Lesefluss. Oma hat festgestellt, dass das Thema schwierig ist, hat sich durch den Geschichtsteil durchgekämpft und erwartet jetzt eine Definition (evtl. noch vorangestellt, aber gerne auch danach: die von Digamma (und auch mir) gewünschte physikalische Motivation). Wenn Du die Testfunktionen für die Definition benötigst, dann sollten sie dennoch keinen eigenen Abschnitt haben, sondern einfach im Abschnitt Definition vorkommen - sinnvollerweise sogar erst nach der Definition mit einem Satz "Dabei ist T eine Testfunktion und so und so definiert...'". --Dogbert66 14:37, 26. Feb. 2011 (CET)

Ich habe den Abschnitt über Testfunktionen mal in den Abschnitt Definitionen verschoben. Jedoch bin ich mir unsicher, ob man erst die Testfunktionen definieren sollte oder erst die Distributionen. Viele Grüße --Christian1985 (Diskussion) 11:39, 27. Feb. 2011 (CET)

Vorschlag vom 18. März

Ich hätte ein ganz fachidiotisches Anliegen: Würde es dir sehr widerstreben, einige Anwendungen in der Physik zu benennen? Z.B.: Gelfand-Tripel in der Quantenmechanik, Kernsatz von Schwartz und überhaupt mehrdimensionale Distributionen in der (axiomatischen) Quantenfeldtheorie. Außerdem wollte ich noch zwei Themen einwerfen, die physikalisch im Kontext der Distributionen interessant sind, aber evtl. aus mathematischer Sicht zu abseitig, nämlich Wellenfrontmenge und die Tatsache, dass die Distributions-Symbole, die unter dem Integral auftauchen (wie $\delta (x)$) i.a. nicht miteinander multipliziert werden können - Stichwort "algebra of generalized functions" - was natürlich aus Physikersicht ein besonders interessantes Problem ist. -- Ben-Oni 02:10, 18. Mär. 2011 (CET)

Der Kernsatz von Schwartz steht im Artikel. Vielleicht hast du ihn noch nicht gefunden und kannst mir sagen, wo Du ihn suchen würdest? Das Gelfan-Tripel für Temperierte Distributionen wurde letztens von Benutzer:Meier99 eingebaut. Dieses würde ich gerne woanders hinstecken und es auf "normale" Distributionen erweitern. Zum Thema mehrdimensionale Distributionen in der Quantenfeldtheorie weiß ich nichts, da wird es schwer etwas zu ergänzen, aber vielleicht möchte es ja jemand anders machen? Auf die Idee, dass man diese Distributionen-Symbole multiplizieren will, bin ich gar nicht gekommen, lässt sich aber bestimmt irgendwo mit einem kurzen Beispiel einbauen. Wellenfrontmengen vermisse ich selbst etwas in dem Artikel, weiß aber im Moment auch nicht so viel dazu. --Christian1985 (Diskussion) 11:57, 18. Mär. 2011 (CET)

Zu den ersten zwei Punkten: Nein, ich meinte, man könnte im Artikel erwähnen, dass die entsprechenden Konzepte in den entsprechenden physikalischen Theorien angewandt werden. Wenn du grünes Licht gibst, kann ich das auch selbst entwurfsweise reinschreiben. -- Ben-Oni 19:35, 18. Mär. 2011 (CET)

Ja klar kannst Du das machen. Aber bitte prüfe noch, ob die Informationen, die Du zum Kernsatz von Schwartz ergänzen willst, nicht eventuell im Artikel Kernsatz von Schwartz besser aufgehoben wären. Der Artikel bräuchte auch noch etwas Zuwendung. --Christian1985 (Diskussion) 10:42, 19. Mär. 2011 (CET)

Also... ich bin Physiker, daher bitte verzeiht mir, wenn ich mathematischen Unfug erzähle. Man könnte ja auf die Idee kommen, wenn man lineare Abbildungen von Funktionenräumen in Körper hat, auch multilinerare Abbildungen von mehreren Argumenten aus demselben Funktionenraum ${\mathcal {D}}(\Omega )$ in einen Körper zu betrachten. Nach dem, was ich mitgenommen habe, sagt dann der "Kernsatz von Schwartz", dass eine solche "Multidistribution" wieder eine ordinäre Distribution (der Schwartzkern) ist, nur auf dem Funktionenraum ${\mathcal {D}}(\Omega \times \Omega \times \dots \times \Omega )$. Daher die enorme Vereinfachung, dass man über "Multidistributionen" gar nicht sprechen muss, weil sie bereits Distributionen sind. (Daher reicht es auch das Ganze für "Bidistributionen" zu zeigen.) Was mich nur wundert, ist dass die "Bidistribution" im Satz von Schwartz indirekt als lineare Abbildung dargestellt wird; da ist mir als Physiker nicht klar, ob das einen tieferen Sinn hat oder nur Geschmacksache ist und sowas wie $({\mathcal {D}}(\Omega )\times {\mathcal {D}}(\Omega ))'$ vermeiden soll. -- Ben-Oni 16:21, 20. Mär. 2011 (CET)

Habe ich Dich richtig verstanden, dass Du sagtest, zu jeder Abbildung ${\mathcal {D}}'(\Omega _{1})\times {\mathcal {D}}'(\Omega _{2})\to \mathbb {C}$ gäbe es eine eindeutige Abbildung ${\mathcal {D}}'(\Omega _{1}\times \Omega _{2})\to \mathbb {C}$? Meinst Du da nicht vielleicht eher das Tensorprodukt von Distributionen? Das wurde in der Vorlesung in der ich saß direkt vor dem Kernsatz von Schwartz angeschrieben und die beiden Themen werden auch im Buch von Hörmander in einem Kapitel abgehandelt. Der Kernsatz hat aber eine andere Aussage. Da geht es darum, dass man eine (abstrakte) lineare Abbildung ${\mathcal {K}}:C_{c}^{\infty }(\Omega _{2})\to {\mathcal {D}}'(\Omega _{1})$ als einen Integraloperator, der im Sinn oszillierender Integrale existiert, darstellen kann. --Christian1985 (Diskussion) 17:36, 20. Mär. 2011 (CET)

Hmm, nein, ich meine sowas wie $({\mathcal {D}}(\Omega _{1})\times {\mathcal {D}}(\Omega _{2}))'\cong {\mathcal {D}}'(\Omega _{1}\times \Omega _{2})$. Ich weiß wie gesagt nicht, ob das allgemeingültig ist (evtl. gilt das nur für bestimmte "Testfunktionenräume", z.B. solche, in denen die glatten Funktionen mit kompaktem Träger dicht liegen), aber z.B. im Streater-Wightman wird sowas, wenn ich mich nicht irre, als direktes Korollar des Kernsatzes genannt, wobei da als "Testfunktionen" die Schwartz-Funktionen dienen. Der Kernsatz sagt ja, es gibt eine Bijektion zwischen a) den linearen (schwach*-stetigen) Abbildungen ${\mathcal {K}}:{\mathcal {D}}(\Omega _{2})\to {\mathcal {D}}'(\Omega _{1})$ und b) den Distributionen $K\in {\mathcal {D}}'(\Omega _{1}\times \Omega _{2})$. Nun ist meine Frage: Wenn ${\mathcal {D}}(\Omega _{2})$ und ${\mathcal {D}}'(\Omega _{1})$ endlichdimensionale Hilberträume wären, wäre der Raum der linearen Abbildungen ${\mathcal {K}}:{\mathcal {D}}(\Omega _{2})\to {\mathcal {D}}'(\Omega _{1})$ kanonisch isomorph zum Raum der bilinearen Abbildungen ${\mathcal {D}}(\Omega _{2})\times {\mathcal {D}}(\Omega _{1})\to \mathbb {K}$ (den Raum meine ich mit $({\mathcal {D}}(\Omega _{2})\times {\mathcal {D}}(\Omega _{1}))'$). Lässt sich eine derartige Auffassung auf diesen Fall erweitern? (Ist aber für den Artikel hier jetzt auch nicht so wichtig, und evtl. sollte ich mich besser mal in Ruhe durch ein Funktionalanalysis-Buch durchwühlen. Also fühle dich nicht genötigt noch weiter zu erläutern, wenns anfängt zu nerven.) -- Ben-Oni 00:23, 21. Mär. 2011 (CET)

Ah, nun habe ich auch wieder ne Kleinigkeit gelernt. Hat man eine Abbildung ${\mathcal {K}}:{\mathcal {D}}(\Omega _{2})\to {\mathcal {D}}'(\Omega _{1})$ so gibt es eindeutige Abbildung ${\mathcal {K}}:{\mathcal {D}}(\Omega _{2})\times {\mathcal {D}}(\Omega _{1})\to \mathbb {C} .$ Ob das für alle unendlichdimensionalen Vektorräume gilt, weiß ich gerade auch nicht. Aber hier gilt es, da wir hier dichte Teilräume von $L^{2}$ haben und damit der Darstellungssatz_von_Riesz anwendbar ist. Zusammen mit dem Kernsatz von Schwartz hast Du nun Dein gesuchtes Ergebnis. --Christian1985 (Diskussion) 17:24, 22. Mär. 2011 (CET)

Mir sieht die ursprüngliche Aussage $({\mathcal {D}}(\Omega _{1})\times {\mathcal {D}}(\Omega _{2}))'\cong {\mathcal {D}}'(\Omega _{1}\times \Omega _{2})$ von Ben-Oni danach aus, als beruhe sie auf einer Aussage, dass die Testfunktionen der Gestalt $\phi (x)\psi (y)$ mit $\phi \in {\mathcal {D}}(\Omega _{1})$, $\psi \in {\mathcal {D}}(\Omega _{2})$ den Testfunktionenraum ${\mathcal {D}}(\Omega _{1}\times \Omega _{2})$ erzeugen. Sehe ich das richtig? -- Digamma 12:42, 26. Mär. 2011 (CET)

Vorneweg erst einmal Hut vor deiner Arbeit. Ich bin diplomierter Mathematiker mit Schwerpunkt Funktionalanalysis. Jedoch habe ich bisher noch keinen Artikel in der Wikipidia aus diesem Spezialgebiet in dieser Ausführlichkeit angetroffen. Deine Ausarbeitung ist sehr gut, nur befürchte ich, dass nur ein sehr sehr kleiner Kreis an Lesern überhaupt im Stande ist, deinen Ausführungen zu folgen, geschweige denn sie zu verstehen bzw. auf die Details einzugehen. Ich muss gestehen, da ich schon seit einigen Jahren aus dem Thema draussen bin, zur tieferen Qualität deines Artikels nicht viel beitragen zu können, bzw. mich erst wieder ein wenig reinarbeiten müsste. Der Sprachstil ist aus der mathematischen Lehre bestimmt. Du könntest einige Sätze aus dem typischen mathematischen Sprachjargon "eindeutschen" ;-)), könntest Sätze, nur als Beispiel aus dem Abschnitt Harmonische Distributionen abändern bzw. kürzen: Etwa als Vorschlag:

• Da die distributionelle Ableitung allgemeiner ist als das gewöhnliche Differential, könnte man auch mehrere Lösungen der Laplace-Gleichung erwarten. Es zeigt sich jedoch, dass es für jede harmonische Distribution $T\in {\mathcal {D}}'(\Omega )$ eine glatte Funktion gibt, die diese Distribution erzeugt. Somit existieren keine singulären Distributionen, die die Gleichung erfüllen, insbesondere ist der singuläre Träger einer harmonischen Distribution leer. Diese Aussage ist übertragbar auf elliptische Differentialgleichungen. Für Physiker und Ingenieure bedeutet dies, dass sie in der Elektrodynamik, zum Beispiel in der Theorie der maxwellschen Gleichungen, unbedenklich mit Distributionen arbeiten können, auch wenn sie „nur“ an gewöhnlichen Funktionen interessiert sind.

Deine Werbungsversuche: Für Physiker und Techniker, sind auch sehr schön ... ;-)) auch wenn sie „nur“ an gewöhnlichen Funktionen interessiert sind. ;-)). Wenn ihr oder du an den Künsten interessiert seid, könntet ihr vielleicht einmal einen Blick auf den Artikel Fauvismus werfen. Hatte den Artikel heute zwar aus dem Review entfernt, beobachte die Seite dennoch weiter. Falls ihr dort einen Kommentar abgeben möchtet. Beste Grüße --Rigo 23:26, 27. Mär. 2011 (CEST)

Definition von Funktional

Im Artikel steht:

Aus heutiger Sicht ist ein Funktional eine Funktion, die anderen Funktionen eine Zahl zuordnet.

So ist Funktional aber nicht definiert. Zum ersten ist das Funktional ein Operator und zum zweiten muss der Definitionsraum kein Funktionenraum sein. --Jobu0101 19:51, 9. Dez. 2011 (CET)

Das steht ja nur im Geschichtsabschnitt so etwas schwammig. Den soll ja noch jemand verstehen können, der kein Mathematikstudium absolviert hat. Abgesehen davon ist ein Operator auch eine Funktion. Würde man in dem Satz nun Funktionen durch Vektoren ersetzen, so würde das für die meisten Leser auch nichts verbessern, da sie sich unter Vektoren nur n-Tupel vorstellen können. --Christian1985 (Diskussion) 20:04, 9. Dez. 2011 (CET)

Okay. Außerdem habe ich gerade gelesen, dass ein Funktional noch nicht einmal eine lineare Abbildung sein muss. Das hatte ich anders im Kopf. Im Gegensatz dazu steht aber auf deiner Benutzerseite: Exaktheit darf insbesondere nicht zugunsten der Allgemeinverständlichkeit aufgegeben werden. --Jobu0101 23:02, 9. Dez. 2011 (CET)

Ob ein Funktional linear ist, kommt darauf an, ob Du ein Buch zur linearen oder zur nicht linearen Funktionalanalysis aufschlägst. ;) Die meisten Bücher definieren es ja schon als lineare Funktion und wer die exakte Definition von Funktional wissen möchte, findet sie ja im entsprechendn Artikel. Viele Grüße --Christian1985 (Diskussion) 23:28, 9. Dez. 2011 (CET)

Abschnitt "temperierte Distribution"

Genauso wie man die Distributionen mit einer lokal-konvexen Topologie ausstatten kann, kann man das auch bei den temperierten Distributionen tun (Fréchet-Raum). Wichtig ist dabei, dass die temperierten Distributionen in den Raum der Distributionen einbetten (bzgl. dieser Topologien). Die Aussage, dass die temperierten Distributionen eine ausgezeichnete Teilmenge der Distributionen sind, lässt sich dann präzisieren: Die temperierten Distributionen lassen sich in kanonischer Weise in die Distributionen topologisch einbetten. Da die Topologien dieser Räume entscheidend für deren analytische Eigenschaften sind, sollte man auch auf den Zusammenhang der Topologien hinweisen. (nicht signierter Beitrag von 197.27.17.245 (Diskussion) 10:08, 4. Mär. 2013 (CET))

Einleitung

Bitte um Aufklärung: Was ist der im Kommentar erwähnte neue Artikel? Und welche Differentialgleichungen haben Distributionen als Lösung? Klassisch als einführendes Beispiel ist doch die Dirac-Delta-Distribution als Ableitung der Heaviside-Funktion. Und die größte Verbreitung von Distributionen dürfte gleichfalls das Dirac-Delta als rechte Seite bei der Definition Greenscher Funktionen bzw. Kerne von linearen PDE haben. Die Greensche Funktionen selber sind aber wirkliche stetige Funktionen mit einem Knick auf der Diagonalen.--LutzL (Diskussion) 00:55, 14. Nov. 2013 (CET)

Glättung einer Distribution

Aus dem Abschnitt "Glättung einer Distribution" werde ich nicht schlau. Insbesondere wird hier keine konkrete Operation erklärt. Ich habe vielmehr den Eindruck, dass der Abschnitt darauf abzählt, dass die regulären Distributionen dicht in der Menge aller Distributionen liegt. Das wird ja schon im zweiten Teil des Kapitels Distribution_(Mathematik)#Konvergenz abgerissen. Oder worum geht es in dem Abschnitt? Grüße--Christian1985 (Disk) 11:17, 15. Nov. 2013 (CET)

Operationen auf Distributionen definiert durch den adjungierten Operator

Hallo,

ich habe diese für Anfänger unverständlichen Formeln zum Bestimmen der adjungierten Operatoren für die Multiplikation und für die Ableitung wieder rausgelöscht, da ich es als viel zu kompliziert empfinde. Sicherlich ist es richtig, dass dass dieses Konstrukt im Hintergrund der meisten Operationen auf Distributionen steht, nicht nur bei der Multiplikation und der Ableitung, sondern erst recht auch bei der Fourier-Transformation und wahrscheinlich auch bei der Faltung. Gerade die Ableitung lässt sich wie der Artikel es ja auch macht, viel einfacher motivieren, obwohl genau das gleiche dahinter steckt, und das halte ich für völlig ausreichend. Insbesondere haben Physiker und Ingenieur, die an Distributionen Interesse haben, wohl kein Interesse sich diese Formelschlachten anzutun. Viele Grüße--Christian1985 (Disk) 11:37, 15. Nov. 2013 (CET)

Topologie auf dem Raum der Testfunktionen?

VORSICHT: Im Abschnitt über Testfunktionen steht: "Die Topologie wird auf dem Raum durch einen Konvergenzbegriff festgelegt." und "Die Menge $C_{c}^{\infty }(\Omega )$ ist – ausgestattet mit diesem Konvergenzbegriff – ein lokalkonvexer Raum." Das scheint mir nicht ganz korrekt zu sein. Überlicherweise definiert man eine (lokalkonvexe) Topologie auf $C_{c}^{\infty }(\Omega )$ als induktiver Limes der Fréchet-Räume $C_{c}^{\infty }(K_{n})$ der unendlich oft differenzierbaren Funktionen auf $\Omega$ mit Träger in $K_{n}$, wobei $K_{n}$ eine kompakte Ausschöpfung von $\Omega$ ist. Dies macht $C_{c}^{\infty }(\Omega )$ zu einem LF-Raum. Diese Topologie induziert einen Konvergenzbegriff (von Folgen) und zwar den im Artikel geschilderten. Jedoch, wenn man rein diesen Konvergenzbegriff von FOLGEN als Definition für eine Topologie hernimmt, dann ist die induzierte Topologie immer sequentiell. Jedoch ist der LF-Raum $C_{c}^{\infty }(\Omega )$ nicht sequentiell! Die von der LF-Folgenkonvergenz induzierte Topologie ist aber NICHT lokalkonvex - und noch nicht mal eine Vektorraumtopologie! --yadaddy_ag (Disk) 16:51, 05. Mai 2016 (CET)

Definition der Distributionen nicht korrekt

Leider ist die hier (8. Jul. 2019) gegebene Definition von Distributionen insofern nicht korrekt, als der Einfluss der Paarung mit einem Testelement fehlt. Distributionen sind nicht Elemente des Dualraums der Test-Funktionen, sondern Elemente des Dualraums der Test-Dichten. Die Elemente des Dualraums der Testfunktionen sind sogenannte Distributionen-Dichten (vgl. Hörmander: "The Analysis of Linear Partial Differential Operators I"). Es gibt zwar gewisse Isomorphien, weil man einer Testfunktion f eine Testdichte f |dx| zuordnen kann. Spätestens bei Koordinatentransformationen, push-forwards und pull-backs fällt aber auf, dass eine Definition einer Distribution als lineares Funktional auf Testfunktionen einen inkonsistenten Begriff zum Funktionsbegriff bildet und dann eben keine Erweiterung des Funktionsbegriffs darstellt: Die Funktionen lassen sich nämlich nicht geometrisch invariant als reguläre Distributionen in den Raum der Distributionen einbetten. Leider wird dieser Sachverhalt in fast der gesamten funktionalanalytischen Literatur ignoriert und dieser "Fehler" immer weitergeschleppt und weiterverbreitet. ASlateff --193.170.72.133 17:11, 8. Jul. 2019 (CEST)

Antwortversuch:

Erstens (formal): Wir stellen hier das etablierte Wissen dar. Wenn fast die gesamte funktionalanalytische Literatur den von dir genannten Sachverhalt ignoriert, dann werden wir das nicht anders tun.

Zweitens (inhaltlich, meine persönliche Meinung dazu): Distributionen sind meiner Meinung nach tatsächlich eher als Verallgemeinerung von Dichten zu betrachten und weniger von Funktionen. Zum Beispiel beschreibt die Diracsche Delta-Distribution ein Punktmaß und ist deshalb eine verallgemeinerte Dichte. Schon das Wort "Distribution" verweist darauf: Es werden Ladungs- und Massenverteilungen dargestellt, die keine Dichte besitzen. Das genannte Buch von Hörmander besitze ich leider nicht. Aber für die meisten Zwecke der Funktionalanalysis (nämlich wenn es um Funktionen auf dem $\mathbb {R} ^{n}$ geht und nicht um Funktionen auf Mannigfaltigkeiten) dürfte der Unterschied zwischen einer Funktion und einer Dichte unerheblich sein. --Digamma (Diskussion) 20:52, 8. Jul. 2019 (CEST)

Der Begriff der Distribution basierend auf Dichten wurden im Artikel Dichtebündel von mir angerissen. Diese Definition ist meines Wissens nach erst in der globalen Analysis relevant, also dann wenn man Distributionen nicht mehr auf offenen Teilmengen des $\mathbb {R} ^{n}$ sondenr auf Mannigfaltigkeiten betrachtet. Spontan würde mich noch interessieren, ob diese Definition äquivalent zur Definition Distribution_(Mathematik)#Distributionen_auf_Mannigfaltigkeiten ist. Diagammas erstem Punkt stimme ich uneingeschränkt zu. Viele Grüße --Christian1985 (Disk) 21:57, 8. Jul. 2019 (CEST)

Auch das oben zitierte Buch von Hörmander definiert Distributionen zunächst so, wie dies hier im Artikel geschieht.--Christian1985 (Disk) 18:04, 9. Jul. 2019 (CEST)