Diskussion:Drehmatrix

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ist die Matrix für die Rotation um die y-Achse so richtig?

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Ist die Matrix für die Rotation um die y-Achse so richtig? Müsste das Vorzeichen nicht gvertauscht werden?

Sie war nicht richtig, habe sie gerade angepasst (Andreas, 2005-08-11).

Die Matrix ist richtig, die Drehung (Gegenuhrzeigersinn) leider nicht. Muss lauten: $p=R\cdot p'$ bzw. $p'=R^{-1}\cdot p$ (Chadong, 2005-09-15)

Was soll an $p'=R\cdot p$ falsch sein? Für mich ist das eine Drehung des Vektors p unter Verwendung der Matrix R, wobei p' entsteht. (Andreas, 2006-01-24)

Genau, die Matrix für die Rotation um die y-Achse müsste nämlich so aussehen :

${\begin{pmatrix}\cos \alpha &0&-\sin \alpha \\0&1&0\\\sin \alpha &0&\cos \alpha \end{pmatrix}}$,

(Sebastian, 2008-1-17)

Die passive Drehung sollte vielleicht noch berichtig werden $p=R^{-1}\cdot p'$ bzw. $p=R^{T}\cdot p'$. Glaube ich. (Ernald, 2008-02-12)

Die Rotationsmatrix scheint mir in Konsequenz mit den anderen Drehmatrizen leider nicht richtig zu sein. Um sich das klar zu machen, sollte man mit der rechten Hand das sogenannte Rechte-Hand-System aufspannen. Dann schaue man von oben auf den Zeigefinger (y-Achse), so daß der Mittelfinger (z-Achse) nach rechts zeigt und der Daumen (x-Achse) nach oben (Tip: das tut nach kurzer Zeit weh, daher vielleicht jemand anderen bitten, die rechte Hand so auf einen zu richten, als würde er eine Pistole mit der Hand formen und mit dem Lauf auf einen zielt :-)

Betrachten wir nun, was aus der x-Achse (dem Daumen) wird, wenn wir die Hand aus unserer Sicht um den Zeigefinger gegen den Uhrzeigersinn drehen. Der Daumen landen auf

${\begin{pmatrix}\cos \alpha \\0\\-\sin \alpha \end{pmatrix}}$

des ungedrehten (ursprünglichen) Sytems.

Die dritte Achse (der Mittelfinger) landet auf

${\begin{pmatrix}\sin \alpha \\0\\\cos \alpha \end{pmatrix}}$

des ungedrehten Systems.

Zusammengesetzt ergibt sich somit als Drehung um die y-Achse:

${\begin{pmatrix}\cos \alpha &0&\sin \alpha \\0&1&0\\-\sin \alpha &0&\cos \alpha \end{pmatrix}}$

Tip: auf der englischen Seite ist es richtig...

(Michael, 2008-08-01)

die y-Drehmatrix stimmt (schon wieder?) nicht. Sie passt vom Vorzeichen her nicht zu den anderen beiden. sieht man sich die nebendiagonale mit dem 1-Eintrag an, muss immer rechts-oberhalb vom 1er ein sin(x) stehen, und links-unterhalb vom 1er ein minus sin(x). Ich habs korrigiert. (Karl, 2009-05-03)

Erst den Artikel lesen, dann ändern. Es gibt zwei Varianten, eine Drehmatrix zu definieren, in diesem Artikel wurde eine gewählt, dies wurde konsequent durchgezogen und das ausgerechnet an einer einzigen Matrix zu ändern und dabei völlig zu ignorieren was eigentlich im Artikel steht ist schon ziemlich unsinnig, oder? --P. Birken 22:30, 3. Mai 2009 (CEST)

Die drei Matrizen sind nun inkonsistent. Es ist mir schon klar, dass es ZWEI varianten gibt. Einmal, um eine Koordinatentransformation durchzuführen, und einmal um einen Punkt zu drehen. Zweitere ist die hier angeführte. Beide unterscheiden sich nur durch die Vorzeichen der sin(x)-terme. Wie gesagt: einfach einmal die Nebendiagonale anschreiben, die den 1er enthält. Dabei darf sich die Reihenfolge unter den 3 Matrizen nicht unterscheiden. Und die y-Matrix bildet hier nun eine Verletzung der Regel. Der Winkel alpha ist doch immer in die Drehrichtung der Drehachse definiert. Also: x nach y, y nach z und z nach x (rechte Handregel, Korkenzieherregel, ... - Rechtssystem!) Konsequenterweise muss die y-Drehmatrix so wie oben aussehen:

${\begin{pmatrix}\cos \alpha &0&\sin \alpha \\0&1&0\\-\sin \alpha &0&\cos \alpha \end{pmatrix}}$ (nicht signierter Beitrag von 85.127.2.40 (Diskussion | Beiträge) 21:39, 4. Mai 2009 (CEST))

Die x-Achse landet bei Drehung um die y-Achse auf der z-Achse. Sprich: $D_{y}{\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}$, während die z-Achse auf der negativen x-Achse landet, also $D_{y}{\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-1\\0\\0\end{pmatrix}}$. Dies wird durch die Matrix $D_{y}={\begin{pmatrix}0&0&-1\\0&1&0\\1&0&0\end{pmatrix}}$ geleistet. Wundert ja auch nicht, es muss doch jedem auffallen, dass die Drehung um die y-Achse kein Sonderfall sein kann und entsprechend die Matrix ganz analog zu den anderen sein muss. In der Drehebene, sprich bei Entfernen von 2. Zeile und spalte muss die Matrix den zweidimensionalen Fall wiederspiegeln. --P. Birken 20:09, 6. Mai 2009 (CEST)

Hm. Wenn ich die rechte-Hand-Regel (so wie sie im Artikel beschrieben ist) in einem Rechts-System anwende drehe ich die x-Achse auf die negative z-Achse und die z-Achse auf die positive x-Achse. Wenn die Matrix die jetzt im Artikel steht richtig ist, dann ist die Matrix zur Drehung um einen beliebigen Einheitsvektor falsch in Bezug auf die strittigen Vorzeichen. Gruß--Alexkin 20:53, 6. Mai 2009 (CEST)

Tatsache, ich falle gerade vom Glauben ab. Ich massier den Artikel mal. --P. Birken 21:27, 6. Mai 2009 (CEST)

Danke für die überfällige Korrektur. Gruss --Yasavul 11:22, 7. Mai 2009 (CEST)

Um zukünftigen Sichtern das Leben leichter zu machen möchte ich einfach mal festhalten: Die Drehmatrix für eine Drehung um die y-Achse hat die Gestalt

${\begin{pmatrix}\cos \alpha &0&\sin \alpha \\0&1&0\\-\sin \alpha &0&\cos \alpha \end{pmatrix}}$

Dabei wird die positive z-Achse in Richtung der positiven x-Achse gedreht. Für den Spezialfall $\alpha =90^{\circ }$ wird also die positive z-Achse auf die positive x-Achse gedreht, die Matrix bekommt dann die Gestalt

${\begin{pmatrix}0&0&1\\0&1&0\\-1&0&0\end{pmatrix}}$

Der Grund dafür, dass die Matrix gegenüber den andern beiden "falsch" aussieht, liegt darin, dass man um aus der einen die andere zu erhalten die Spalten und Zeilen zyklisch vertauschen muss. -- Digamma 19:47, 24. Jul. 2010 (CEST)

Alternative Erklärung

Da immer wieder die Vorzeichen der Drehmatrix $R_{y}(\alpha )={\begin{pmatrix}\cos \alpha &0&\sin \alpha \\0&1&0\\-\sin \alpha &0&\cos \alpha \end{pmatrix}}$ geändert werden, gebe ich hier noch eine Begründung für die Korrektheit obiger Version. Im Artikel heißt es im unmittelbar vorangehenden Absatz:

„Der Drehsinn ergibt sich, wenn man entgegen der positiven Drehachse auf den Ursprung sieht.“

Drehen wir also testhalber einmal den in die positive z-Richtung zeigenden Einheitsvektor (0,0,1) um 90° im Sinne der Geometrie (also entgegen dem Uhrzeigersinn): Wenn wir bei einem Rechtssystem entgegen der positiven y-Richtung (also in negativer y-Richtung (0,-1,0)) blicken, erkennen wir, daß das Ergebnis dieser Drehung der in positive x-Richtung weisende Einheitsvektor (1,0,0) ist:

Hält man sich die Spitze des rechten Zeigefingers an die eigene Nase, so müßte man den Mittelfinger um 90° gegen den Uhrzeigersinn drehen, um ihn in die Lage des Daumens überzuführen.

Das wird auch durch die Rechnung

${\begin{pmatrix}0&0&1\\0&1&0\\-1&0&0\end{pmatrix}}\cdot \ {\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}$

bestätigt, während

${\begin{pmatrix}0&0&-1\\0&1&0\\1&0&0\end{pmatrix}}\cdot \ {\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-1\\0\\0\end{pmatrix}}$

eine Drehung im Uhrzeigersinn (also um -90°) ergäbe.

--Franz 12:50, 8. Feb. 2012 (CET)

Man könnte auch griffig formulieren: Das x-z-Koordinatensystem ist ein Linkssystem im Gegensatz zu den x-y- und y-z-Koordinatensystemen, die beide ein Rechtssystem bilden. Deshalb muss man um die y-Achse anders herum drehen als um die beiden anderen Achsen. --Wolfgang Hugemann 08:57, 29. Nov. 2019 (CET) (unvollständig signierter Beitrag von Whugemann (Diskussion | Beiträge) )

Missverständliche Formulierung

Findet noch jemand, dass "wenn man entlang der positiven Drehachse auf den Ursprung guckt" missverständlich formuliert ist? Wenn man nämlich von einem Punkt auf der positiven Halbachse in Richtung Ursprung schaut, dann hat man die verkehrte Richtung erwischt. Besser wäre "wenn man die Drehachse in positiver Richtung entlangschaut".

Es entspricht eher der Intuition, von außen auf das Koordinatensystem zu schauen statt im Ursprung zu sitzen, wodurch sich diese Definition ergibt. Jedenfalls drehen die angegebenen Matrizen in einem Rechtssystem mit dieser Definition in positive Richtung (Gegenuhrzeigersinn). --Markus (Mh26) ✉ 19:01, 24. Jul 2005 (CEST)

Ich schlage als eindeutige und intiuitive Formulierung die "rechte-Hand-Regel" vor: Lässt man den rechten Daumen in Richtung der Drehachse zeigen, so geben die restlichen Finger der Hand die positive Drehrichtung an. (Andreas, 2005-08-11)

Rotationsmatrix für Kugelkoordinaten?

Ich habe mich schon totgegooglet, und auch in der Wikipedia bin ich bisher nicht fündig geworden, um Kugelkoordinaten von einem Koordinatensystem auf ein anderes (gedrehtes) System mit gleichen Zentrum umzuwandeln. :-( --RokerHRO 07:47, 11 November 2005 (CET)

Vektor n

Im Text wird der Vektor n bei der allgemeinen Definition von Rotationsmatrizenverwendet, aber vorher nicht definiert. Ist das der Normalenvektor, oder der Normaleneinheitsvektor, oder...? Außerdem sollte man auch sagen, daß \phi der Drehwinkel ist. Und wenn man schon sagt, daß das eine allgemeine Definition von Drehungen ist, sich nicht auf den R^3 beschränken. 11. Dez 2006, 9:58

Dem stimme ich voll zu; wenn hier Symbole verwendet weren, sollte man auch dazu schreiben, was sie bedeuten, sonst kann man ja gleich von Quark und Milchstraße reden...Das passt hier alles hinten und vorne nicht!

Was soll denn zum Beispiel das \epsilon oder das \gamma bedeuten? Wenn e_\alpha ein Vektor ist, so ist e_\alpha\cdot e_\alpha ist eine Zahl, Ist I die Einheitsmatrix, kann man hier keine Zahl abziehen... 14:20, 21. Sep. 2007 (CEST)

Spur der Drehmatrix

Ganz unten auf der Seite steht, dass die Spur der Drehmatrix Tr D = 1 + 2cos(alpha) beträgt. Das klingt so, als ob es generell gelte, es gilt aber nur für O(3). In O(2) beispielsweise beträgt die Spur 2cos(alpha). Ich hab es mal dazugeschrieben. Ob es eine allgemeine Formel gibt, weiß ich nicht. 28.06.2007

Drehachse

Ich möchte nur anmerken, dass in geraden Dimensionen eine Drehachse nicht zu existieren braucht.

Konstantin (nicht signierter Beitrag von 89.56.172.57 (Diskussion) 15:32, 29. Feb. 2006 (CEST))}

Netter fun-fact. Hast du dafür eine Quelle? Oder kannst du es zumindest erklären? --Martin Thoma 10:06, 11. Sep. 2013 (CET)

Hallo Martin! Der zweidimensionale Fall liefert sofort ein Beispiel für Konstantins Behauptung: Im R² gibt es überhaupt keine Drehungen, die eine Fixgerade haben: Bei Drehungen bleibt genau ein Punkt oder (bei einer Nulldrehung) die ganze Ebene unverändert. Also haben die Drehungen dort keine Drehachse. Liebe Grüße, Franz 13:52, 11. Sep. 2013 (CEST)

Hallo Franz. Ein Beispiel ist kein Beweis. Die Aussage lautet ja nicht, dass es einen Raum gerader Dimension gibt, in der keine Drehachsen existieren, sondern dass es in allen Räumen gerader Dimension so ist. --Martin Thoma 15:25, 11. Sep. 2013 (CEST)

Das sehe ich nicht so: Um etwa den durchaus vergleichbaren Satz „Funktionen brauchen nicht injektiv zu sein.“ zu beweisen, genügt ja auch die Angabe eines einzigen Beispiels. Ich muß aber einräumen, daß Konstantins Aussage einen gewissen Interpretationsspielraum läßt, weil sie nur umgangssprachlich formuliert ist. Da er sich nach über sieben Jahren vermutlich nicht mehr selbst dazu äußern wird, werden wir wohl nie mit Sicherheit erfahren, wie er es gemeint hat. Es ist auch nicht weiter wichtig für mich. Franz 15:56, 11. Sep. 2013 (CEST)

Die Sache ist nicht so schwierig. Punkte auf einer Drehachse sind solche, die auf sich selbst abgebildet werden, also Eigenvektoren zum Eigenwert 1. Drehungen (d.h. orientierungstreue orthogonale Abbildungen) in ungerader Dimension haben immer einen Eigenwert 1, da das charakteristische Polynom eine reelle Nullstelle hat (daraus kann man dann zeigen, dass es auch einen Eigenwert 1 hat). In gerader Dimension braucht das charakteristische Polynom aber keine reelle Nullstelle zu haben. In diesem Fall hat die Drehung keine Drehachse. Ein einfaches Beispiel in Dimension 4 ist eine Blockmatrix aus zwei zweidimensionalen Drehungen:

${\begin{pmatrix}\cos \alpha &-\sin \alpha &0&0\\\sin \alpha &\cos \alpha &0&0\\0&0&\cos \beta &-\sin \beta \\0&0&\sin \beta &\cos \beta \end{pmatrix}}$

--Digamma (Diskussion) 17:28, 11. Sep. 2013 (CEST)

Ein allgemeines Beispiel, dass in geraden Dimensionen kein Eigenwert 1 existieren muss: Die negative Einheitsmatrix

--LamaMaddam (Diskussion) 12:00, 4. Dez. 2019 (CEST)

Allgemeine Definition

Ich denke, dass die Definition $R={\vec {n}}\cdot {\vec {n}}+\cos \phi [{\vec {I}}-{\vec {n}}\cdot {\vec {n}}]+\sin \phi {\vec {J}}$ bzw. ${R}_{\alpha \beta }=n_{\alpha }n_{\beta }+\cos \phi ({\delta }_{\alpha \beta }-n_{\alpha }n_{\beta })-\sin \phi {\varepsilon }_{\alpha \beta \gamma }n_{\gamma }$ nur für Drehmatritzen im 3-dimensionalen Raum gilt (der Levi-Civita-Tensor scheint mir hier nur für 3 Dimensionen definiert zu sein, ich weiß nicht, wie er für $\alpha ,\beta ,\gamma >3$ definiert ist). Diese Definition scheint mir fehlplatziert, vorallem nach der allgemeinen Definition unter den Punkten a) und b), die auf Längen-, Winkel- und Orientierungserhaltung beruhen. Eine allgemeine Definition der Komponenten für $n\times n$-Matritzen wäre wünschenswert.

Multiplikation der Drehmatrizen gleich Euler-Winkel-Matrizen?

In dem Abschnitt http://de.wikipedia.org/wiki/Drehmatrix#Drehmatrizen_des_Raumes_R.C2.B3 steht, dass die drei Matrizen für die Drehung um die Achsen in Kombination auch als Euler-Winkel ausgedrückt werden können. Sind diese Eulerschen Winkel und die Multiplikation der Matrizen das gleiche? Wenn ich die Matrizen miteinander multipliziere, erhalte ich die Matrix $R={\begin{pmatrix}cosZcosY+(-sinZ-sinX-sinY)&cosZ+(-sinZcosX)&cosZsinY+(-sinZ-sinXcosY)\\sinZcosY+cosZ-sinX-sinY&sinZ+cosZcosX&sinZsinY+cosZ-sinXcosY\\cosX-sinY&sinX&cosX*cosY\end{pmatrix}}$

(Hat ein Computerprogramm erzeugt), die mit keiner der Eulerschen-Winkel-Konventionen im Artikel http://de.wikipedia.org/wiki/Eulersche_Winkel übereinstimmt. (nicht signierter Beitrag von 94.222.35.9 (Diskussion | Beiträge) 14:48, 8. Mär. 2010 (CET))

R_n(alpha)

$R_{\hat {n}}(\alpha )={\begin{pmatrix}n_{1}^{2}\left(1-\cos \alpha \right)+\cos \alpha &n_{1}n_{2}\left(1-\cos \alpha \right)-n_{3}\sin \alpha &n_{1}n_{3}\left(1-\cos \alpha \right)+n_{2}\sin \alpha \\n_{2}n_{1}\left(1-\cos \alpha \right)+n_{3}\sin \alpha &n_{2}^{2}\left(1-\cos \alpha \right)+\cos \alpha &n_{2}n_{3}\left(1-\cos \alpha \right)-n_{1}\sin \alpha \\n_{3}n_{1}\left(1-\cos \alpha \right)-n_{2}\sin \alpha &n_{3}n_{2}\left(1-\cos \alpha \right)+n_{1}\sin \alpha &n_{3}^{2}\left(1-\cos \alpha \right)+\cos \alpha \end{pmatrix}}$

$R_{\hat {n}}(\alpha )={\begin{pmatrix}n_{1}^{2}\left(1-\cos \alpha \right)&n_{1}n_{2}\left(1-\cos \alpha \right)&n_{1}n_{3}\left(1-\cos \alpha \right)\\n_{2}n_{1}\left(1-\cos \alpha \right)&n_{2}^{2}\left(1-\cos \alpha \right)&n_{2}n_{3}\left(1-\cos \alpha \right)\\n_{3}n_{1}\left(1-\cos \alpha \right)&n_{3}n_{2}\left(1-\cos \alpha \right)&n_{3}^{2}\left(1-\cos \alpha \right)\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}\cos \alpha &-n_{3}\sin \alpha &n_{2}\sin \alpha \\n_{3}\sin \alpha &\cos \alpha &-n_{1}\sin \alpha \\-n_{2}\sin \alpha &n_{1}\sin \alpha &\cos \alpha \end{pmatrix}}$

$R_{\hat {n}}(\alpha )={\begin{pmatrix}n_{1}\\n_{2}\\n_{3}\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}n_{1}&n_{2}&n_{3}\end{pmatrix}}\cdot \left(1-\cos \alpha \right)+{\begin{pmatrix}\cos \alpha &-n_{3}\sin \alpha &n_{2}\sin \alpha \\n_{3}\sin \alpha &\cos \alpha &-n_{1}\sin \alpha \\-n_{2}\sin \alpha &n_{1}\sin \alpha &\cos \alpha \end{pmatrix}}$

$R_{\hat {n}}(\alpha )={\hat {n}}\cdot {\hat {n}}^{T}\cdot \left(1-\cos \alpha \right)+{\begin{pmatrix}\cot \alpha &-n_{3}&n_{2}\\n_{3}&\cot \alpha &-n_{1}\\-n_{2}&n_{1}&\cot \alpha \end{pmatrix}}\cdot \sin \alpha$— Christoph Päper

Was genau willst du sagen? --Martin Thoma 10:04, 11. Sep. 2013 (CEST)

Ich weiß auch nicht, was er damit sagen will, aber eine Drehung ist nicht durch eine Achse definiert und auch nicht durch drei Normalen oder was die n_i bedeuten sollen. Ich werde mal schauen, ob es den allgemeinen Fall schon als Paper gibt (inkl. LGS-Löser) und ihn sonst erst veröffentlichen und dann hier einstellen. VG der Martin (nicht signierter Beitrag von 88.78.117.8 (Diskussion) 15:50, 18. Dez. 2013 (CET))

"Eine Drehung ist nicht durch eine Achse definiert" ??? Eine Drehung ist durch eine orientierte Achse und einen Drehwinkel definiert. Der Vektor ${\hat {n}}$ ist ein Einheitsvektor in Richtung der positiv orientierten Drehachse, $n_{1}$, $n_{2}$ und $n_{3}$ sind die Komponenten von ${\hat {n}}$. Und $\alpha$ ist der Drehwinkel. --Digamma (Diskussion) 21:52, 18. Dez. 2013 (CET)

Winkel alpha

Der Autor möge doch bitte ganz zu Anfang eine Winkeldefinition festlegen. Alles einfach Alpha nennen, ohne zu zeigen wie Alpha definiert ist, ist nicht sehr hilfreich. (nicht signierter Beitrag von 79.243.170.223 (Diskussion) 11:45, 24. Jun. 2013 (CEST))

Fehler bei Drehung um beliebige Achse?

Hallo, eine Rotation um eine Belibige Achse lässt sich mit der im Beitrag stehenden Matrix nicht durchführen. Auf http://www.cs.helsinki.fi/group/goa/mallinnus/3dtransf/3drot.html is eine afgeführt mit leicht anderen Vorzeichen. Mit dieser funktionieren Rotationen. (nicht signierter Beitrag von Steff82 (Diskussion | Beiträge) 13:00, 9. Dez. 2014 (CET))

Hallo Steff82! Wie kommst Du nur darauf, daß das nicht möglich sei? Um eine solche Behauptung zu beweisen, müßtest Du schon eine konkrete Rotation angeben (was Dir aber nicht gelingen wird, weil alles in Ordnung ist). Die Angabe einer anderen Drehmatrix ist dafür jedenfalls ungeeignet, weil nirgends behauptet wurde, daß deren Darstellung eindeutig bestimmt wäre. Liebe Grüße, Franz 15:11, 9. Dez. 2014 (CET)

Die Unterschiede in den Vorzeichen kommen daher, dass in einem Fall das Koordinatensystem gedreht wird und der Punkt fest bleibt, in anderen Fall aber der Punkt in einem festen Koordinatensystem gedreht wird. -- HilberTraum (d, m) 14:38, 10. Dez. 2014 (CET)

Hab zufällig grad einen zu exakt zur angegebenen Matrix führenden Rechenweg gefunden:

Es soll ein beliebiger 3d-Punkt P um den Winkel alpha um eine bliebige Achse gedreht werden. Die Drehachse kann durch zwei beliebige Punkte Q1 und Q2 definiert werden. Zwecks Vereinfachung sei aber angenommen:

Q1 : der Nullvektor

Q2 : Richtungsvektor der Länge 1

Q=normalize(Q2)

Die Idee ist, zunächst den Punkt Pr auf der Drehachse zu suchen, von dem aus die Richtungen zu P bzw. Q1 rechtwinklig aufeinender stehen.

Oder anders gesprochen: Wir wollen von P die Richtungsanteile Q2 abziehen, um einen Abstandsvektor Pu zur Drehachse zu erhalten.

Pr ist einfach zu finden:

Pr = Q*dot(Q,P)

Pu = P -Pr

Hilfsweise sei noch ein weiterer Vektor

Pv = cross(Pu,Q)

verwendet, um die Drehebene aufzuspannen.

Da Pu und Q schon rechtwinklig aufeinander standen, und Q Einheitslänge hatte, gilt ohne weiteres Zutun schon:

length(Pu) = length(Pv)

was ideal für eine Drehung um alpha in der von Pu und Pv aufgespannten Ebene passt:

P2 = cos(alpha)*Pu -sin(alpha)*Pv

jetzt nur noch die Anfangs abgezogenen Anteile entlang der Drehachse wieder dazu ergibt den gedrehten Punkt P3:

P3 = P2 +Pr

In Komponentendarstellung ergibt sich dann

cosa = (1-cos(alpha))

P3x= +Px*( cosa*Qx^2 +cos(alpha) ) +Py*( cosa*Qx*Qy -sin(alpha)*Qz ) +Pz*( cosa*Qx*Qz +sin(alpha)*Qy )

p3y= +Px*( cosa*Qx*Qy +sin(alpha)*Qz ) +Py*( cosa*Qy^2 +cos(alpha) ) +Pz*( cosa*Qy*Qz -sin(alpha)*Qx )

P3z= +Px*( cosa*Qx*Qz -sin(alpha)*Qy ) +Py*( cosa*Qy*Qz +sin(alpha)*Qx ) +Pz*( cosa*Qz^2 +cos(alpha) )

--77.8.118.241 01:05, 29. Apr. 2017 (CEST)

Verweis auf arctan2

fehlt (nicht signierter Beitrag von 95.91.251.62 (Diskussion) 17:39, 22. Okt. 2017 (CEST))

Ist der n-dimensionale Fall konsistent mit den 3D Fällen ?

Wenn ich die Formel für eine Rotation um $z$ z.B. für ${\frac {\pi }{2}}$ anwende, und dann die Formel für n-dimensionale Rotationen in der Ebene aufgespannt durch $g_{1}=(1,0,0)$ und $g_{2}=(0,1,0)$ anwende, bekomme ich Rotationen in entgegengesetzte Richtung. Im Text wird nicht näher darauf eingegangen in welche Richtung die allgemeine Formel nun für welche Wahl von $g_{1}$ und $g_{2}$ dreht, aber ich denke das sollte noch hinzugefügt werden?

Ich glaube, Du hast recht, und habe dies (und ein paar Formulierungen) verbessert. --Bleckneuhaus (Diskussion) 20:50, 9. Feb. 2018 (CET)

Drehmatrizen des Raumes $\mathbb {R} ^{3}$

Man sollte die drei Drehwinkel nicht sämtlich $\alpha$ nennen. In der Photogrammetrie sind etwa $\omega$ (x-Achse), $\varphi$ (y-Achse) und $\kappa$ (z-Achse) gängig. Auf diese Weise könnte man dann auch mal die komplette Drehmatrix als Hintereinanderschaltung der Einzeldrehungen ausformulieren. (In der Photogrammetrie ist die Reihenfolge typischerweise z-, y-, x-Achse.) ${\begin{pmatrix}\cos \kappa \,\cos \varphi &-\sin \kappa \,\cos \varphi &\sin \varphi \\\cos \kappa \,\sin \varphi \,\sin \omega +\sin \kappa \,\cos \omega &\cos \kappa \,\cos \omega -\sin \kappa \,\sin \varphi \,\sin \omega &-\cos \varphi \,\sin \omega \\\sin \kappa \,\sin \omega -\cos \kappa \,\sin \varphi \,\cos \omega &\cos \kappa \,\sin \omega +\sin \kappa \,\sin \varphi \,\cos \omega &\cos \varphi \,\cos \omega \end{pmatrix}}$ (nicht signierter Beitrag von Whugemann (Diskussion | Beiträge) 03:55, 26. Nov. 2019 (CET)) --Wolfgang Hugemann 03:56, 26. Nov. 2019 (CET) (unvollständig signierter Beitrag von Whugemann (Diskussion | Beiträge) )

So etwas ähnliches steht im Artikel Eulersche Winkel. Für diesen Artikel würde das, glaube ich, zu weit gehen. --Digamma (Diskussion) 19:03, 26. Nov. 2019 (CET)

Syntaxfehler in Formeln ?

Im Abschnitt Eigenschaften:

   Die Menge aller Drehmatrizen eines Raumes bildet die Drehgruppe, nämlich die spezielle orthogonale Gruppe:

       Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \mathrm{SO}(n)=\left\{\text{lineare Abbildung }R:\,\mathbb{R}^{n}\to\mathbb{R}^{n}\ |\ R^{T}R=I_n\, ,\\det\,R=1\right\}} 

   Mit der Lie-Gruppe S O ( n ) {\displaystyle \mathrm {SO} (n)} \mathrm{SO}(n) ist eine Lie-Algebra s o ( n ) {\displaystyle {\mathfrak {so}}(n)} \mathfrak{so}(n) verknüpft, ein Vektorraum mit einem bilinearen alternierenden Produkt (Lie-Klammer), wobei der Vektorraum bezüglich der Lie-Klammer abgeschlossen ist. Dieser Vektorraum ist isomorph zum Tangentialraum am neutralen Element der S O ( n ) {\displaystyle \mathrm {SO} (n)} \mathrm{SO}(n) (neutrales Element ist die Einheitsmatrix), sodass insbesondere dim ⁡ s o ( n ) = dim ⁡ S O ( n ) {\displaystyle \dim {\mathfrak {so}}(n)=\dim \mathrm {SO} (n)} {\displaystyle \dim {\mathfrak {so}}(n)=\dim \mathrm {SO} (n)} gilt. Die Lie-Algebra besteht aus allen schiefsymmetrischen n × n {\displaystyle n\times n} n\times n-Matrizen und ihre Basis sind die sog. Erzeugenden. Die Exponentialabbildung verknüpft die Lie-Algebra mit der Lie-Gruppe:

       Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \exp\colon\\mathfrak{so}(n)\to\mathrm{SO}(n),\ J\mapsto\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}J^{k}} 

Im Abschnitt Infinitisemale Drehung:

Dabei wurde die Exponentialfunktion identifiziert. Die Exponentialfunktion von Matrizen ist über die Reihendarstellung definiert, wie im letzten Schritt gezeigt. Es lässt sich zeigen, dass Erzeugende spurfrei sein müssen:

   Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle 1=\det R(\alpha)=\exp(\alpha\\operatorname{Sp}\,J)\quad\implies\quad\operatorname{Sp}\,J=0}

Kann das jemand auflösen ? --178.202.149.200 19:26, 16. Aug. 2020 (CEST)

Erledigt, danke für den Hinweis! 91.118.242.246 21:05, 16. Aug. 2020 (CEST)