Diskussion:Gauß-Prozess

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Beispiele

Beispiel 1

Für $n\in \mathbb {N}$ und $T:=\{1,2,\dots ,n\}$ seien $X_{1},\dots ,X_{n}$ Zufallsvariablen (auf demselben Wahrscheinlichkeitsraum) mit $X_{1}\sim {\mathcal {N}}(0,1)$ und $X_{1}=X_{2}=\dots =X_{n}$. Dann ist $(X_{t})_{t\in T}$ ein Gaußprozess. Für diesen gilt $X_{t}\sim {\mathcal {N}}(0,1)$ für alle $t\in T$, aber beispielsweise ist die bivariate Normalverteilung des Teilvektors $(X_{1},X_{2})$ eine degenerierte bivariate Normalverteilung (nichtregulärer Fall) mit nichtinvertierbarer Kovarianzmatrix und ohne zweidimensionale Dichtefunktion, da $\mathrm {Var} (X_{1})=\mathrm {Var} (X_{2})=\mathrm {Cov} (X_{1},X_{2})=1$.

Außerdem zeigt dieses Beispiel, dass Vektoren, als Spezialfall von Familien, und Mengen von Zufallsvariablen strikt auseinandergehalten werden müssen. Der Vektor $(X_{1},\dots ,X_{n})=(X_{t})_{t\in T}$ ist wohldefiniert. Für die Menge der Zufallsvariablen gilt in diesem Beispiel $\{X_{1},\dots ,X_{n}\}=\{X_{1}\}$.--Sigma^2 (Diskussion) 14:36, 28. Jul. 2023 (CEST)

Belege

Die Diskussion in diesem Absatz bezieht sich auf einen Inhalt, der am 29. Juli 2023 von Physikinger in den von ihm neu angelegten Artikel Anwendung von Gaußprozessen migriert wurde und der jetzt nicht mehr im Artikel enthalten ist.

Was willst du hier genau im Einzelnen belegt haben? Und willst du nicht erst mal im Artikel Stochastischer Prozess lauter Belege einfordern? Da herrscht ein noch viel größerer Mangel. --Physikinger (Diskussion) 10:32, 29. Jul. 2023 (CEST)

Mit Einzelnachweisen würde man hier meist nur auf das gleiche Buch referenzieren. Da die Literatur ohnehin von diesem Buch dominiert ist und es auch prominent unten aufgelistet und sogar kostenlos zugänglich ist, denke ich, dass sich der Leser hier im Zweifelsfall gut informieren kann. Dieser gesamte Artikel ist im Grund eine Einführung in das Lehrbuch von Rasmussen, das zwar einerseits eine Art Bibel auf dem Gebiet ist, jedoch zum Einstieg schwer lesbar ist. Daher ist der Artikel eigentlich im Vergleich sehr gut belegt, da ein Link zum kostenlosen Standard-Lehrbuch vorhanden ist. --Physikinger (Diskussion) 10:52, 29. Jul. 2023 (CEST)

"Dieser gesamte Artikel ist im Grund eine Einführung in das Lehrbuch von Rasmussen." Und was hat das mit einem enzyklopädischen Artikel über Gaußsche Prozesse zu tun? --Sigma^2 (Diskussion) 11:21, 29. Jul. 2023 (CEST)

Es ist ja nicht streng eine Einführung zu speziell diesem Buch, aber vom Stoff her würde jeder, der den Artikel durchliest sich in der Literatur zurechtfinden und verstehen, um was es geht. Und dazu ist die Wikipedia ja da. Das ist je gerade der Mehrwert der Wikipedia. --Physikinger (Diskussion) 12:04, 29. Jul. 2023 (CEST)

"Bibel auf dem Gebiet": Aber sicher nicht auf dem Gebiet der Gauß-Prozesse, um die es in dem Artikel gehen soll. Vielleicht ist ein Art Bibel für Nichtmathematiker, Nichtstochastiker und Nichtstatistiker auf einem Teilgebiet des Maschinellen Lernens, das mag sein. --Sigma^2 (Diskussion) 11:45, 29. Jul. 2023 (CEST)

Die Bibel für alle außer Nicht-Anwender. --Physikinger (Diskussion) 12:07, 29. Jul. 2023 (CEST)

Whataboutism führt auf dieser Seite nicht weiter. Der Artikel enthält viele neue Begriffe, die nicht erklärt sind, in der Wikipedia nicht verlinkt sind und auch nicht zu finden sind und die nicht belegt sind. Dabei ist unklar, ob diese Begriffe von Rasmussen erfunden wurden oder ob es – verursacht durch Unkenntnis der deutschen Fachbegriffe – um falsche Übersetzungen in Deutsche handelt. --Sigma^2 (Diskussion) 11:35, 29. Jul. 2023 (CEST)

Rasmussen ist ein führender und anerkannter Wissenschaftler auf dem Gebiet und er darf auch Begriffe erfinden und prägen. --Physikinger (Diskussion) 12:01, 29. Jul. 2023 (CEST)

Das kann er wohl. Aber man kann nicht solche Begriffe unerklärt und unverlinkt in einem Enzyklopädie-Artikel voraussetzen und verwenden. So wird nirgendwo in der Wikipedia gearbeitet. --Sigma^2 (Diskussion) 18:36, 29. Jul. 2023 (CEST)

Umzug des Artikels

Der Großteil des Artikels wurde ausgelagert in Anwendung von Gaußprozessen. Der Inhalt, den ich hier in den letzten 11 Jahren verfasst habe, hat einen starken Fokus auf praktische Anwendungen. Der Grund für die Auslagerung ist, einem Konflikt zur Ausrichtung des Artikels zu umgehen, zwischen reiner Mathematik / Stochastik und der Anwendung insbesondere in der Informatik. --Physikinger (Diskussion) 18:42, 29. Jul. 2023 (CEST)

Die Auslagerung ist keine schlechte Lösung, allerdings sind sehr zeitwendige Überarbeitungen und Korrekturen von mir verlorengegangen. Mal sehen, ob ich das rekonstruieren kann. --Sigma^2 (Diskussion) 19:09, 29. Jul. 2023 (CEST)

Ich hatte den Abschnitt Notation umgeschrieben, die Notation überhaupt erst einmal eingeführt und die Tabelle dadurch erheblich verbessert, dass ich klargestellt habe, was der Unterschied zwischen einem Prozess und dessen Verteilung ist. Nun sehe ich, dass das alles nicht mehr in der migrierten Substanz enthalten ist. Ein solche Löschaktion größerer Inhalte ohne Diskussion könnte man eigentlich als Vandalismus bezeichnen.

Hier ist noch einmal die letzte Fassung aus dem Versionsverlauf gerettet:

---

Notation

Analog zur ein- und mehrdimensionalen Gaußverteilung ist ein Gaußprozess über seine ersten beiden Momente vollständig und eindeutig bestimmt. Bei der mehrdimensionalen Gaußverteilung sind dies der Erwartungswertvektor ${\vec {\mu }}$ und die Kovarianzmatrix $\Sigma$. Beim Gaußprozess treten an deren Stelle eine Erwartungswertfunktion

$m(t):=\mathbb {E} (X_{t}),\quad t\in T$

und eine Kovarianzfunktion

$k(t,t'):=\operatorname {Cov} (X_{t},X_{t'}):=\mathbb {E} \left[(X_{t}-m(t))\cdot (X_{t'}-m(t'))\right],\quad t,t'\in T$.

Diese Funktionen können im einfachsten eindimensionalen Fall als Vektor mit kontinuierlichen Zeilen bzw. als Matrix mit kontinuierlichen Zeilen und Spalten aufgefasst werden.

Folgende Tabelle vergleicht ein- und mehrdimensionale Gaußverteilungen mit der Wahrscheinlichkeitsverteilung eines Gaußprozesses mit der Erwartungswertfunktion $m$ und der Kovarianzfunktion $k$, die im folgenden als ${\mathcal {GP}}(m,k)$ notiert wird. Das Tilde-Symbol $\sim$ kann gelesen werden als „ist verteilt als“.

Zufälliges Objekt	Art der Verteilung	Notation	Verteilungsparameter	Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion
reelle Zufallsvariable $X$	Eindimensionale Gaußverteilung	$X\sim {\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})$	$\mu \in \mathbb {R} ,\sigma >0$	$p(x)={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\exp {\bigl \lbrace }-{\tfrac {1}{2}}(x-\mu )^{2}/{\sigma ^{2}}{\bigr \rbrace }$
Zufallsvektor ${\vec {X}}=(X_{t})_{t\in \{1,\dots ,n\}}$	Mehrdimensionale Gaußverteilung (regulärer Fall)	${\vec {X}}\sim {\mathcal {N}}_{n}({\vec {\mu }},\Sigma )$	${\vec {\mu }}\in \mathbb {R} ^{n}$, $\Sigma \in \mathbb {R} ^{n\times n}$, $\Sigma$ positiv definit	$p({\vec {x}})={\frac {1}{(2\pi )^{\frac {n}{2}}|\Sigma |^{\frac {1}{2}}}}\exp {\bigl \lbrace }-{\tfrac {1}{2}}({\vec {x}}-{\vec {\mu }})^{T}\Sigma ^{-1}({\vec {x}}-{\vec {\mu }}){\bigr \rbrace }$
Zufallsvektor ${\vec {X}}=(X_{t})_{t\in \{1,\dots ,n\}}$	Mehrdimensionale Gaußverteilung (singulärer Fall)	${\vec {X}}\sim {\mathcal {N}}_{n}({\vec {\mu }},\Sigma )$	${\vec {\mu }}\in \mathbb {R} ^{n},\Sigma \in \mathbb {R} ^{n\times n},$ $\Sigma$ positiv semidefinit und nicht invertierbar	(keine Dichtefunktion im $\mathbb {R} ^{n}$)
Gaußprozess$(X_{t})_{t\in T}$	alle endlichdimensionalen Verteilungen sind Gaußverteilungen	$(X_{t})_{t\in T}\sim {\mathcal {GP}}(m,k)$	$m\colon T\to \mathbb {R}$, $k\colon T\times T\to \mathbb {R}$, $k$ positiv semidefinit	(keine analytische Darstellung)

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Im Vergleich dazu die ursprüngliche Version, die sich jetzt wieder auf der Seite Anwendung von Gaußprozessen findet.

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Notation

Analog zur ein- und mehrdimensionalen Gaußverteilung ist ein Gaußprozess über seine ersten beiden Momente vollständig und eindeutig bestimmt. Bei der mehrdimensionalen Gaußverteilung sind dies der Erwartungswertvektor ${\vec {\mu }}$ und die Kovarianzmatrix $\Sigma$. Beim Gaußprozess treten an deren Stelle eine Erwartungswertfunktion $m(t):=\mathbb {E} (X_{t})$ und eine Kovarianzfunktion $k(t,t'):=\operatorname {Cov} (X_{t},X_{t'})$ $:=\mathbb {E} \left[(X_{t}-\mathbb {E} (X_{t}))\cdot (X_{t'}-\mathbb {E} (X_{t'}))\right]$. Diese Funktionen können im einfachsten eindimensionalen Fall als Vektor mit kontinuierlichen Zeilen bzw. als Matrix mit kontinuierlichen Zeilen und Spalten aufgefasst werden. Folgende Tabelle vergleicht eindimensionale und mehrdimensionale Gaußverteilungen mit Gaußprozessen. Das Tilde-Symbol $\sim$ kann gelesen werden als „ist verteilt wie“.

Art der Verteilung	Notation	Größen	Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion
Eindimensionale Gaußverteilung	$X\sim {\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})$	$X,\mu ,\sigma \in \mathbb {R}$	$p(x)={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\exp {\bigl \lbrace }-{\tfrac {1}{2}}(x-\mu )^{2}/{\sigma ^{2}}{\bigr \rbrace }$
Mehrdimensionale Gaußverteilung	${\vec {X}}\sim {\mathcal {N}}_{n}({\vec {\mu }},\Sigma )$	${\vec {X}},{\vec {\mu }}\in \mathbb {R} ^{n};\Sigma \in \mathbb {R} ^{n\times n}$	$p({\vec {x}})={\frac {1}{(2\pi )^{\frac {n}{2}}|\Sigma |^{\frac {1}{2}}}}\exp {\bigl \lbrace }-{\tfrac {1}{2}}({\vec {x}}-{\vec {\mu }})^{T}\Sigma ^{-1}({\vec {x}}-{\vec {\mu }}){\bigr \rbrace }$
Gaußprozess	$(X_{t})\sim {\mathcal {GP}}(m,k)$	$m\colon T\to \mathbb {R}$ $k\colon T\times T\to \mathbb {R}$	(keine analytische Darstellung)

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--Sigma^2 (Diskussion) 19:45, 29. Jul. 2023 (CEST)

Ich hatte hier jetzt etwas radikal gelöscht wodurch auch einige Änderungen von dir mit verschwunden sind. Tut mir leid. Es sollte nur auch nicht zu viel Radundanz zwischen den Artikeln verbleiben, wobei etwas Wiederholung schon ok ist. Ich wusste nicht, ob die Tabelle hier dann überhaupt notwendig ist, wenn man die Analogie gar nicht betonen will. Das ist ja hauptsächlich für die Anwendung bedeutend, wenn man eine Implementierung im Hinterkopf hat. Aber füge sie gerne wieder ein wie du denkst. --Physikinger (Diskussion) 22:14, 29. Jul. 2023 (CEST)

Hier brauchst Du nichts einzufügen, gedacht war das als Verbesserung des Teils, den Du jetzt migriert hast. Ich habe es auch dort hinterlegt. Erstaunlicherweise hast Du nicht die letzte Version migriert, sondern ein ältere Version. --Sigma^2 (Diskussion) 22:56, 29. Jul. 2023 (CEST)

Ja, wie gesagt, das war Absicht. Aber ich übernehme deine Änderungen noch, sofern sie auch im neuen Kontext passen. --Physikinger (Diskussion) 23:37, 29. Jul. 2023 (CEST)

Du hast bei der Regression noch ergänzt: "Sie unterscheidet sich auch häufig von der in der Statistik üblichen Terminologie und Vorgehensweise. Dort wo in der Statistik Modellparameter aus Daten mit statistischen Methoden geschätzt werden, wird im Bereich des maschinellen Lernens eher gefittet und kalibriert.".

Auf welchen Schritt bezieht sich das genau? Meinst du damit die Vernachlässigung der Erwartungstreue, wenn man eine Kovarianzfunktion auswählt oder konstruiert? Oder bezieht sich das auf die Maximum-Likelihood Optimierung der Hyperparameter? Der Anwender wird vermutlich den Unterschied hier nicht ganz verstehen. Es klingt ja so, als hätte man die Wahl zwischen zwei Vorgehensweisen. Hat man das in der Anwendung? --Physikinger (Diskussion) 00:06, 30. Jul. 2023 (CEST)

"Ausgewählt", "konstruiert", "kalibriert", "gefittet", "Maximum-Likelihood Optimierung" usw. ist Physiker- oder Informatiker-Jargon und hat nichts mit Statistik zu tun. Erwartungstreue ist eine theoretische Eigenschaft einer Schätzfunktion. Man kann einen Modellparameter, z. B die Kovarianzfunktion eines stationären Prozesses aus Daten erwartungstreu schätzen oder man kann die Maximum-Likelihood-Methode anwenden, die nur in Ausnahmefällen (z. B. bei der Mittelwertschätzung) zu erwartungstreuen Schätzern führt. Man kann andere Schätzmethoden verwenden, wie die Bayessche Inferenz mit nichtinformativer A-priori-Verteilung, die Momentenmethode, die Minimum-Chi-Quadratmethode und viele mehr. Eigenschaften dieser Methoden werden im Fachgebiet Statistik untersucht und dokumentiert (Liste statistischer Zeitschriften).

Du hast als Anwendung meist stetige Prozesse in der Physik mit vielen Daten im Hinterkopf. Für Gauß-Prozesse gibt es aber auch andere Anwendungsbereiche mit in der Regel extrem wenigen Datenpunkten, dort werden statistische Methoden verwendet. Z. B. in der Biometrie, Psychometrie, Ökonometrie, Technometrie und Finanzmarktstatistik ist die Datensituation häufig so: man hat Daten aus einer (!) Realisierung (einem Pfad) eines stochastischen Prozesses. Wiederholungen sind nicht möglich, da es reale Daten sind, die im natürlichen Zeitablauf anfallen. Von diesem Pfad beobachtet man einen endlichen Ausschnitt (Zeitintervall) und in diesem Zeitintervall hat man nur endlich viele Beobachtungspunkte, die zu Daten $x_{1},\dots ,x_{n}$ führen (einfachster univariater Fall). Auf diese Datenpunkte werden statistische Methoden der Parameterschätzung angewendet, indem Parameter einer speziellen Modellstruktur geschätzt werden. Im zeitdiskreten Fall sind dies z. B. AR-Prozesse, MA-Prozesse, ARMA-Prozesse, ARIMA-Prozesse und viele weitere Klassen stochastischer Prozesse, die es sämtlich auch in einer speziellen Spezifikation als Gauß-Prozesse gibt, und für die eine ziemlich weitentwickelte statistische Schätztheorie existiert, die schon in den 70er Jahre des vergangenen Jahrhunderts zu umfangreichen Monographien geführt hat.

In anderen Anwendungsbereichen (Physik, Meteorologie usw.) geht man dagegen teilweise in Datenmengen unter und kann dort die von Dir beschriebenen Methoden anwenden. Wenn ich diese Methoden überhaupt der Statistik zuordnen müsste, dann als deskriptive (beschreibende) Statistik oder explorative Statistik im Sinn der statistischen Datenanalyse (Explorative Datenanalyse, allerdings nur Rumpfartikel), jedenfalls aber nicht als Inferenzstatistik. Die Parameter eines Gauß-Prozesses sind nur dann mit statistischen Methoden schätzbar (identifizierbar im Sinn der Inferenzstatistik), wenn es a-priori eine erhebliche Einschränkung der Parameteranzahl gibt, so dass diese deutlich unter dem Stichprobenumfang $n$ liegt. Das Kalibrieren und Fitten von Modellen mit riesigen Parameteranzahlen, von denen dann schließlich eines ganz gut mit den Daten zusammenpasst, hat nichts mit statistischer Methodik zu tun.

Der neue Titel Anwendung von Gaußprozessen ist mir daher auch zu allgemein. Wenn das, was man dort liest, in einer anwendungsnahen Zeitschrift etwa folgenden Titel hätte "Zum Einsatz explorativer Methoden maschinellen Lernens auf zeitstetige Gauß-Prozesse bei Verfügbarkeit großer Datenmengen" würde ich mich über den Inhalt nicht getäuscht fühlen. Das geht natürlich nicht als Name eines WP-Artikels, aber besser etwas besseres als Anwendung von Gaußprozessen müsste schon möglich sein, auch wenn es eine Anwendung ist.

Ja, man hat in der Anwendung grundsätzlich die Wahl zwischen statistischer Modellierung und Schätzmethodik einerseits und maschinellem Lernen und KI andererseits. --Sigma^2 (Diskussion) 11:33, 30. Jul. 2023 (CEST)

Ok.--Physikinger (Diskussion) 22:11, 31. Jul. 2023 (CEST)

Versuchte Hilfe im Anwendungsartikel

Hallo Sigma^2 ich habe probiert Physikinger bei der Formulierung eines Satzes zu helfen, sodass er nicht mehr falsch ist. "Eine Realisierung eines (zur Regression gefitteten) Gauss-Prozesses kann als eine zufällige Funktion mit bestimmten bevorzugten Eigenschaften (z.B. Korrelation) angesehen werden, siehe Pfad (Stochastik). Die Verteilung der Realisierungen eines Gaußprozesses kann als Wahrscheinlichkeitsverteilung von Funktionen verstanden werden." Könntedt du mir dazu bitte Rückmeldung geben ob es so auch aus deiner Sicht passt, bzw. wie ich es korrekt formulieren kann (ich will dich auch gar nicht erneut in die Diskussion verwickeln). Ich bin froh, dass du den Artikel hier zurecht gerückt hast. Den Anwendungsartikel ... Naja ich habe das gefühl es könnte zu viel unserer Energie kosten Physikinger komplett auf die richtige Spur zu bringen (keine weitere Wertung oder Angriff beabsichtigt). Ich probiere nur ein paar der größten Fehler, die du angekreidet hast dort rauszunehmen. Besten Dank biggerj1 (Diskussion) 11:46, 1. Aug. 2023 (CEST)

Bitte lasst mich doch einfach in Frieden. Der Artikel ist nicht für Mathematiker geschrieben, sondern für Leser aus anderen Disziplinen, die auf eine niedrige Einstiegshürde angewiesen sind, um in das Thema überhaupt einsteigen zu können. Wenn man interdisziplinäre Probleme lösen muss, dann kann und will man nicht jede Disziplin komplett lernen, weil man sich sonst verzettelt. Die Wikipedia sollte Wissen für jeden verständlich machen und herunterbrechen. Der Artikel zur Anwendung ist eine Schatzkiste für jeden, der ein sehr komplexes numerisches Problem in einem technischen Bereich lösen muss. Mir hätte er Jahre erspart. Er ist relativ eigenständig, so dass man keine anderen Begriffe lesen muss und das sollte aus didaktischen Gründen auch so bleiben. Mit der Trennung des Themas in die beiden Zielgruppen braucht euch der Artikel zur Anwendung wirklich nie wieder zu interessieren. Einfach nie wieder lesen, aus der Beobachtungsliste entfernen und am besten vergessen. --Physikinger (Diskussion) 21:17, 1. Aug. 2023 (CEST)

@Biggerj1:, @Physikinger:. Ich habe zwar keine Lust noch weiter zu diskutieren, aber ich möchte nochmals etwas Licht in Rasmussens Definition bringen und seine Intention dahinter. Rasmussen schreibt

A Gaussian process is a GENERALIZATION of a multivariate Gaussian distribution...

er schreibt nicht "A Gaussian process is a distribution" (und wenn doch, dann hab ich das nicht gesehen). Er verwendet das Wort "Verallgemeinerung" aus dem Grund, weil Verteilungen und allgemeiner die ganze Mathematik in unendlicher Dimension (zum Beispiel $\mathbb {R} ^{\infty }$) nicht mehr gleich wie in endlich-dimensionalen Fällen funktioniert. Aus diesem Grund ist auch die Funktionalanalysis entstanden. Ein einfaches Beispiel:

Ein Ball mit Radius $5$ hat in $\mathbb {R} ^{d}$ ein $5^{d}$-Mal so großes Volumen wie ein Ball mit Radius $1$. Wie kann ich nun Bälle in $\mathbb {R} ^{\infty }$ vergleichen? $5^{\infty }=\infty$ und $10^{\infty }=\infty$ usw. Diese Schwierigkeiten führen dazu, dass man auch nicht einfach die Maßtheorie auf solche Räume übertragen kann. Was ist zum Beispiel das Produkt von unendlich vielen Maßen (z.B. das Lebesgue-Maß)

$\bigotimes _{i=0}^{\infty }\lambda _{i}(x)$?

Noch schlimmer, was wenn wir $\mathbb {R} ^{I}$ betrachten und $I$ überabzählbar ist? Deshalb definiert man einen gaußschen Prozess über die Verteilung einer endlichen Anzahl von Komponenten $(X_{1},\dots ,X_{n})$. Aus diesem Grund spricht Rasmussen von "Verallgemeinerung der multivariaten Gauß-Verteilung". Allerdings gibt es eben auch ein unendlich-dimensionales gaußsche Maß wegen dem Erweiterungssatz von Kolmogorov und dieses IST die Verteilung des Gauß-Prozesses. Aber um sich nicht mit unendlich-dimensionalen Dingen rumzuschlagen, verzichtet man häufig auf eine nähere Beschreibung dieser Verteilung und definiert diese Verteilung indirekt durch die Verteilung von $(X_{1},\dots ,X_{n})$.--Tensorproduct 22:42, 1. Aug. 2023 (CEST)

Es wird doch jetzt etwas chaotisch, wenn hier über den Artikel Anwendung von Gaußprozessen diskutiert wird. Die Vorstellung von Physikinger, man solle ihn mit "seinem" Artikel in Ruhe lassen, ist nicht akzeptabel. Wenn ein Autor falsche Aussagen und [WP:TF]] in die WP schreibt, kann er sich nicht einer Korrektur verweigern. Ich finde, die beiden Abschnitte "Mathematische Beschreibung" und "Rechenoperationen mit Gaußprozessen" sollten fehlerfrei sein, dort befinden sich Definitionen und beweisbare Aussagen. Praktisch alles ohne Beleg.

Ich finde die Diskussionspunkte, die es schon gab, müssen dorthin kopiert und konsequent weitergeführt werden, bis man die Einführungsabschnitte dort ertragen kann. Es gibt vielleicht kleine Erkenntnisfortschritte, im Aufsatz Anwendung von Gaußprozessen ist jetzt – nach zweifacher Intervention – z. B. die Definition der Stationarität korrigiert, die jahrelang falsch im Artikel Gauß-Prozess stand, auch wenn es sprachlich noch hakt: "konstanter Erwartungswert", obwohl zuvor eine Erwartungswertfunktion eines Gaussprozesses definiert wurde, die einem stationären Gauss-Prozess konstant ist.--Sigma^2 (Diskussion) 00:31, 2. Aug. 2023 (CEST)

@Biggerj1: Das sollte wir entweder auf Deiner Diskussionsseite oder auf meiner Diskussionsseite oder auf der Diskussionsseite zum Artikel diskutieren. Nur so viel: ich sehe Änderungsbedarf. --Sigma^2 (Diskussion) 00:31, 2. Aug. 2023 (CEST)

Ich plane den Artikel zur Anwendung demnächst ganz oder zum großen Teil aus der Wikipedia zu entfernen. Aber gebt mir noch etwas Zeit. Es gibt ein paar Inhalte, die nicht von mir geschrieben sind, die ich in einem der beiden Artikel bestehen lassen.--Physikinger (Diskussion) 08:00, 2. Aug. 2023 (CEST)

Lieber Physikinger. Also ich kann für mich sprechen und dir sagen, dass ich keine negativen Absichten habe. Ich hoffe auch, dass du meinen Absatz hier nicht falsch verstehst. Ich wollte dir nie zu nahe treten! Meine Intention war zwischen den beiden mathematisch geprägten Kollegen (Sigma^2 und Tensorproduct) und dir zu vermitteln. Ich fände es schade wenn deine Reaktion wäre das Handtuch als Autor zu schmeißen - auch dann hätte Wikipedia sicher einen großen Verlust. Dein Vorschlag den Artikel zu splitten ist ja schon gut um Spannungen abzubauen. Bei ein paar Aspekten, wollten wir nur eben korrigierend umformulieren (und selbst bei mir sieht Sigma^2 Möglichkeiten korrekter zu formulieren - ich freue mich über sein Feedback). Vielleicht hilft dir ja meine Perspektive? Dann würden neue Leser profitieren, weil sie nicht-triviale mathematische Begriffe (wie von dir bemerkt), hoffentlich leicht verständlich erklärt bekommen (was teilweise nicht leicht ist und daher noch nicht zu deiner Zufriedenheit umgesetzt ist). Über die Schriftform dauert es narürlich länger. Vielleicht kommst du ja noch zu einem anderen Schluss. biggerj1 (Diskussion) 08:46, 2. Aug. 2023 (CEST)

Was ich nicht verstehe ist folgendes: warum ist das so eine große Sache, auf Wikipedia korrekt zwischen einem Prozess und seiner Verteilung zu unterscheiden? Es sind ja auch zwei verschiedene Wörter. Man muss nicht im Detail verstehen, was der Unterschied ist. Man kann sich einfach merken, ein Prozess hat eine Verteilung. Selbst die Notation $X_{t}\sim {\mathcal {GP}}(m(t),k(t,t))$ sagt genau das, den sonst würde $X_{t}={\mathcal {GP}}(m(t),k(t,t))$ stehen.--Tensorproduct 17:10, 2. Aug. 2023 (CEST)

+1 es ist sehr verwirrend beides zu vermischen--biggerj1 (Diskussion) 19:38, 2. Aug. 2023 (CEST)

@Biggerj1 Es ist nur verwirrend, weil es falsch ist. PS: Mach dir kein Gewissen, dies ist eine freie Enzyklopädie und jeder kann Mitarbeiten, jedoch müssen die Dinge dann schon korrekt sein. Wenn man dann sachliche Kritik persönlich nimmt, dann ist das eine falsche Interpretation. Mich hat Physikinger deshalb auch schwer angegriffen (und auch beleidigt), obwohl ich nur wollte, dass die Dinge korrekt sind. Vorallem in einem Artikel wie stochastische Prozesse, den 1000te von Mathematiker lesen. Trotz den Beleidigungen habe ich mir viel Zeit für ihn genommen, um ihm die Dinge zu erklären und mit Quellen zu beweisen.--Tensorproduct 23:32, 2. Aug. 2023 (CEST)

Das ist ein Strohmann-Argument. Das habe ich nie behauptet. Ich sage nur, dass ${\mathcal {N}}(\mu ,\Sigma )\,{\hat {\approx }}\,{\mathcal {GP}}(m(t),k(t,t')$ (entspricht ungefähr), weil die Rechnung in der Anwendung einfach völlig gleich ist und man sich nur zusätzlich ein paar Indizes merken muss. Diese Klarstellung ist mein Verständnis von der lexikalischen Reduktion auf das Wesentliche. --Physikinger (Diskussion) 12:39, 6. Aug. 2023 (CEST)

So war es nicht. Mit einer von mir vorgeschlagenen Definition und Tabelle wollte ich vorschlagen, ${\mathcal {GP}}[...]$ als Symbol für die Wahrscheinlichkeitsverteilung des gaußschen stochastischen Prozesses einzuführen, so wie man ${\mathcal {N}}(\mu ,\Sigma )$ als Symbol für die Wahrscheinlichkeitsverteilung eines gaußverteilten Zufallsvektors eingeführt. Ein gaußverteilter Zufallsvektor ist übrigens auch ein Gaußprozess $(X_{t})_{t\in T}$, nur eben der Spezialfall mit endlicher Indexmange $T=\{1,\dots ,n\}$. Aber genau das sollte ja nicht in den Artikel, weil Du darauf beharrt hast, dass ${\mathcal {GP}}[...]$ ein Symbol für den Gaußprozess und nicht für seine Verteilung sein soll und eigentlich keine noch kleine Verbesserung am Artikel dulden wolltest. --Sigma^2 (Diskussion) 18:51, 6. Aug. 2023 (CEST)

Also ${\mathcal {N}}$ ist die Normalverteilung, aber ${\mathcal {GP}}$ ist nicht der Gaußprozess? Ok, dann weiß ich jetzt, warum ihr so verwirrt seid. Aber es ist dann auch seltsam. Was "ist" denn dann ein stochastischer Prozess? Die Definition sagt:

"Ein stochastischer Prozess ... ist ein mathematisches Objekt zur Modellierung von zufälligen, oft zeitlich geordneten, Vorgängen."

Das Modell, von dem hier die Rede ist, steckt aber beim Gaußprozess in den Parametern des ${\mathcal {GP}}$-Ausdrucks, also in der rechten Seite von $X_{t}\sim {\mathcal {GP}}(m(t),k(t,t'))$, d.h. die Funktionen m(t) und k(t,t') enthalten die analytischen Ausdrücke und Parameter des Modells und sie sind damit das Modell. Rechts steht nur die Variable $X_{t}$, die diesem Modell auf der linken Seite folgt. Was macht also $X_{t}$ selbst zu einem Modell, wenn es nur eine schlichte Variable ist? Und warum soll andererseits eine Verteilung kein Modell sein? Eine Verteilung modelliert doch ein bestimmtes Verhalten, welches man z.B. in der Natur beobachten kann. --Physikinger (Diskussion) 23:15, 6. Aug. 2023 (CEST)

Diskussion hier erledigt, da ich meine Formulierung erst mit Sigma^2 klarstellen will biggerj1 (Diskussion) 08:48, 2. Aug. 2023 (CEST)

Ich habe den Archivierungsbaustein entfernt, wegen der aktuellen Löschtätigkeit und des Löschantrages von Physikinger. Die Diskussionen sollten noch eine Weile leicht zugängig sein.--Sigma^2 (Diskussion) 00:40, 3. Aug. 2023 (CEST)

Inzwischen hat sich die Situation dadurch grundlegend geändert, dass Physikinger ohne das Ergebnis seines eigenen Löschantrages abzuwarten, 95 % des Artikels Anwendung von Gaußprozessen gelöscht hat. --Sigma^2 (Diskussion) 18:57, 6. Aug. 2023 (CEST)

Löschung auf Diskussionsseite zu Einleitung

@Biggerj1:, @Tensorproduct: Ich habe jetzt erst gesehen, dass Physikinger am 30. Juli 2023 (siehe Versionsgeschichte dieser Seite) einen ganzen Absatz zur Einleitung des jetzigen Artikels gelöscht hat. So etwas ist auf Diskussionsseiten nur in extremen Ausnahmefällen (z. B. persönliche Angriffe) vorgesehen. Findet Ihr, dass so ein Ausnahmefall vorliegt? --Sigma^2 (Diskussion) 01:03, 2. Aug. 2023 (CEST)

Ob man den Absatz hätte löschen müssen? Wahrscheinlich nicht. Vielleicht kannst du ja den Teil der konstruktiv war rekonstruieren, wenn es dir wichtig ist. Ich persönlich würde nicht zu viel Energie in eine weitere Ausseinandersetzung stecken biggerj1 (Diskussion) 01:26, 2. Aug. 2023 (CEST)

Das weiß ich leider nicht. Aber du kannst ja sicher den Edit rückgängig machen? Auch habe ich etwas den Überblick verloren, was nun alles gelöscht/verschoben wurde.--Tensorproduct 16:58, 2. Aug. 2023 (CEST)

Abschnitt: Spezialfälle und Interpretation

Hallo @Sigma^2, der Abschnitt Spezialfälle und Interpretation sollte meines Erachtens überarbeitet werden (oder ganz entfernt werden). Ein gaußscher Prozess und ein gaußscher Vektor etc. sind verschiedene Konzepte. Ein Prozess ist eine Abbildung der Form $\Omega \times T\to \mathbb {R}$ oder $\Omega \times T\to \mathbb {R} ^{n}$, ein Vektor ist eine Abbildung der Form $\Omega \to \mathbb {R} ^{n}$. Konfuserweise vermischst du hier die Zeit-Dimension mit der Raum-Dimension. Ein Vektor ist keine Folge. --Tensorproduct 20:25, 30. Aug. 2023 (CEST)

Die Formulierungen "sollte ... ganz entfernt werden" und "konfus" sind übertrieben und an der Grenze des Unkollegialen.

Bevor Du den Abschnitt multivariate Gaußprozesse eingefügt hast, gab es im Artikel nur univariate Gaußprozesse. Jetzt gibt es Anpassungsbedarf im darauf folgenden Abschnitt, damit es nicht zu Verwechselungen kommt, und es ist wohl sinnvoll, dort den Begriff Vektor zu vermeiden. Ich werden den Abschnitt überarbeiten.

Vielleicht ist Dir nur eine enge Verwendung des Begriffs Vektor vertraut. Elemente des $\mathbb {R} ^{n}$ können als Punkte (n-Tupel) oder als Vektoren (evtl. mit Richtungsinterpretation wie in Physik und analytischer Geometrie) oder als Funktionen $x\colon \{1,2,\dots ,n\}\to \mathbb {R}$ aufgefasst werden. Die letzte Interpretation führt zur Identifizierung des kartesischen Produkts $\mathbb {R} ^{n}$ mit dem Funktionenraum $\mathbb {R} ^{\{1,\dots ,n\}}$ aller Funktionen $x\colon \{1,2,\dots ,n\}\to \mathbb {R}$. In diesem Sinn bezeichnen die Schreibweise als Funktionsgraph $\{(1,x_{1}),(2,x_{2}),\dots ,(n,x_{n})\}$, die Schreibweise als Vektor $(x_{1},\dots ,x_{n})$ und die Schreibweise als Familie $(x_{i})_{i\in \{1,\dots ,n\}}$ reeller Zahlen dieselbe Abbildung und dasselbe mathematische Objekt.

Es ist daher natürlich (und nicht konfus), eine Familie reellwertiger Zufallsvariablen $(X_{i})_{i\in \{1,\dots ,n\}}$ – auf demselben WR und mit der speziellen Indexmenge $\{1,\dots ,n\}$ – als Zufallsvektor aufzufassen.

Wenn ${\mathfrak {X}}$ die Menge aller reellwertigen Zufallsvariablen (auf einem gegebenen WR) bezeichnet, dann können Zufallsvektoren $(X_{1},\dots ,X_{n})$ als Abbildungen $\{1,\dots ,n\}\to {\mathfrak {X}}$, Folgen von Zufallsvariablen $(X_{1},X_{2},\dots )$ als Abbildungen $\mathbb {N} \to {\mathfrak {X}}$ und allgemeiner stochastische Prozesse $(X_{t})_{t\in T}$ als Abbildungen $T\to {\mathfrak {X}}$ interpretiert und sogar definiert werden.--Sigma^2 (Diskussion) 09:58, 31. Aug. 2023 (CEST)

@Sigma^2 Es war nicht meine Absicht dich irgendwie anzugreifen. Wenn du das so aufgefasst hast, dann tut es mir Leid. Es geht nicht darum, ob man eine Funktion als Vektor betrachten kann oder nicht, das weiß ich natürlich.

1. Der Punkt ist, bei stochastischen Prozessen geht es in der Regel darum, dass man eine zeitliche Abfolge modelliert und dann Konzepte wie zum Beispiel die Filtration definiert. Wenn du jetzt der Auffassung bist, dass ein $X_{1}$ und $X_{n}$ im selben Vektor stehen, dann müssen diese zur gleichen Zeit stattfinden, dann können wir auch gleich von Vektoren statt von Prozessen sprechen. Die Interpretation als zufällige Funktion kann man natürlich stehen lassen, ist aber für die Allgemeinheit auch nicht verständlich. Dann haben wir dasselbe Problem und wir betrachten Pfade und keine zeitlichen Abbildungen.
2. Mit konfus meinte ich, dass es für mich konfus war, wenn man plötzlich ein-dimensionale Prozesse als Vektoren betrachtet, da es eben auch mehr-dimensionale Prozesse gibt. Das verwirrt doch die meisten Leser (inklusive mich).

Aber wenn du es unbedingt so haben willst und meinen Input direkt als "unkollegial" bezeichnest (obwohl ich nichts im Abschnitt gelöscht oder modifiziert habe), dann lass es halt so. Kann mir auch egal sein, wie der Artikel am Ende ist.--Tensorproduct 11:00, 31. Aug. 2023 (CEST)

Unabhängige Meinung: Ich finde es im Prinzip nicht verwirrend. Ich finde die sonst wohlbekannten Fälle hier als Gaußprozesse einzuordnen sogar didaktisch gar nicht verkehrt biggerj1 (Diskussion) 12:56, 31. Aug. 2023 (CEST)