Diskussion:Gaußsche Zahl

Schreibweise G

Wo wird $\mathbb {G}$ verwendet? Ich habe das noch nirgends gesehen, und ich sehe keinen Bedarf, wenn es eine andere, selbsterklärende Schreibweise gibt. Auf der englischen Seite ist auch nur Z[i] angegeben.--Gunther 14:49, 2. Mai 2005 (CEST)

Bzw. die relevante Frage ist die nach der Allgemeinverständlichkeit. Kaum jemand, der $\mathbb {G}$ liest, wird ohne Erklärung wissen, dass die ganzen gaußschen Zahlen gemeint sind.--Gunther 16:04, 2. Mai 2005 (CEST)

Begrifflichkeit

Da Primzahl für allgemeinere Ringe nicht definiert wird, halte ich es für angebracht, von Primelementen zu sprechen, auch wenn sie Zahlen sind. (Wird so z.B. auch in Neukirchs Algebraische Zahlentheorie gehandhabt.)--Gunther 14:54, 2. Mai 2005 (CEST)

Die Begriffe verzweigt, zerlegt und träge könnte man noch anführen.

Da der Artikel ansonsten elementar ist, scheint mir das übertrieben. Sollte es mal einen Artikel geben, der diese Begriffe definiert, kann man ja hierher verweisen.--Gunther 01:27, 22. Mai 2005 (CEST)

Bezug auf Zahlentheorie

Der Abschnitt "Primelemente" beginnt so:

"Mit den gaußschen Zahlen lässt sich Zahlentheorie studieren."

Dieser Satz holpert doch sehr. Zahlentheorie lässt sich studieren, bevor man sich mit den gaußschen Zahlen befasst. Sie sind ein Beispiel für ein Thema der Zahlentheorie, aber keine Voraussetzung (oder wie immer der Satz gemeint sein könnte). (Mein Mathe-Studium mit dem Schwerpunkt Zahlentheorie liegt ein paar Jahrzehnte zurück, deshalb fällt mir keine Formulierung ein.) Vielleicht könnte eine aktive Mathematikerin es angemessen umschreiben. -- Jürgen (Diskussion) 14:56, 13. Okt. 2015 (CEST)

Hallo Jürgen! Danke für den Hinweis, ich habe es soeben ausgebessert. Liebe Grüße, Franz 16:33, 13. Okt. 2015 (CEST)

Danke für die schnelle Aktion! -- Jürgen (Diskussion) 11:55, 14. Okt. 2015 (CEST)

Lage der Primelemente

In der Beschreibung zu Datei:Gaussian-primes.svg heißt es:

"... liegen die Primelemente zusätzlich symmetrisch zur Winkelhalbierenden."

Das ist IMHO ungenau: Welcher Winkel ist gemeint (eigentlich hat jedes Primelement einen eigenen Winkel, nämlich als Argument in der Polarform)? Gemeint ist wohl eine Diagonale in der Zahlenebene. Außerdem gilt das für beide Diagonalen, weil auch die Rotation vom 2. in den 4. Quadranten zu einer Achsensymmetrie führt.

Spricht etwas gegen die folgende Formulierung?

"... liegen die Primelemente zusätzlich symmetrisch zu den Diagonalen."

Auch das ist eine Kurzschreibweise, aber „weniger ungenau“. -- Jürgen (Diskussion) 15:46, 13. Okt. 2015 (CEST)

Zugleich mit Obigem ebenfalls erledigt. --Franz 16:36, 13. Okt. 2015 (CEST)

Danke auch hierfür! -- Jürgen (Diskussion) 11:55, 14. Okt. 2015 (CEST)

Missverständnis

Der Text hat mich zunächst verwirrt (zweiter Absatz im Abschnitt Primelemente):

"Die Primelemente im Ring der gaußschen Zahlen haben einen engen Bezug zu den gewöhnlichen Primzahlen. Sie zerfallen in drei Klassen."

"Sie (zerfallen)" ist Subjekt des zweiten Satzes, also habe ich das auf das Subjekt des ersten Satzes bezogen und nicht auf das zuletzt genannte Nomen. Spricht etwas gegen die folgende Formulierung?

"Die Primzahlen (betrachtet als komplexe, also gaußsche Zahlen) zerfallen ..."

Sehe ich das richtig, dass damit keine Aussage über alle Primelemente der gaußschen Zahlen verbunden ist? -- Jürgen (Diskussion) 11:55, 14. Okt. 2015 (CEST)

Hallo Jürgen!

Beide Mengen, $\mathbb {P}$ und die Menge der Primelemente von $\mathbb {Z} [\mathrm {i} ]$ zerfallen in je drei Klassen:

Bei den Primzahlen $p\in \mathbb {P}$ unterscheidet man:

(1) verzweigte (2)

(2) zerlegte (5, 13, 17, …)

(3) träge (3, 7, 11, …)

Dadurch wird, weil jedes Primelement von $\mathbb {Z} [\mathrm {i} ]$ genau eine Primzahl $p\in \mathbb {P}$ teilt, auch eine Zerlegung der Primelemente von $\mathbb {Z} [\mathrm {i} ]$ induziert:

(1) Die (vier) zum Teiler $1+\mathrm {i}$ der verzweigten Primzahl $2\in \mathbb {P}$ assoziierten Zahlen

(2) Die zu den Teilern $a\pm \mathrm {i} b$ der zerlegten Primzahlen $a^{2}+b^{2}\in \mathbb {P}$ assoziierten Zahlen

(3) Die zu den trägen Primzahlen selbst assoziierten Zahlen (diese haben außer sich selbst ja nur Einheiten als Teiler).

Liebe Grüße, Franz 12:33, 14. Okt. 2015 (CEST)

Dann wird eine kurze Erläuterung für mich noch schwieriger. Zur Erklärung: Ich bin dabei, das Wikibook b:Komplese Zahlen fertigzustellen; es lag jahrelang rudimentär herum. Als mathematische Anwendung wollte ich u.a. die gaußschen Zahlen erwähnen. Gerade weil ich das kurz machen will, muss ich es selbst erst einmal verstehen. Aber obwohl mein Schwerpunkt in den 1970er-Jahren die Zahlentheorie war, kann ich mich an Primelemente überhaupt nicht erinnern. Mit deinen Hinweisen komme ich (hoffentlich) weiter, sodass ich es selbst verstehe und auch verständlich erklären kann. -- Gruß Jürgen (Diskussion) 12:52, 14. Okt. 2015 (CEST)

Inzwischen bin ich mit meinem Verständnis weiter. Die Sache mit der 2 hat sich direkt geklärt. Für die anderen Punkte hat mir die Lektüre von Zahlentheorie (Wikiversity-Kurs) geholfen (ganz langsam kamen 40 Jahre verschüttete Erinnerungen wieder  ). Damit sind alle Feststellungen geklärt. Allerdings sehe ich keine einfach einleuchtenden Erläuterungen, die ich im Kapitel Anwendungen in der Mathematik anbringen könnte; das ist in diesem Kapitel aber nicht erforderlich. Damit können wir die Diskussion als erledigt ansehen; danke für deine Hilfe! -- Jürgen (Diskussion) 12:01, 16. Okt. 2015 (CEST)

Originalliteratur von Gauß verlinken?

FranzR hat mir freundlicherweise den Link zu einer online zugänglichen Kopie einer Übersetzung der Disquisitiones Arithmeticae von Gauß geschrieben. Das ist eine wahre Fundgrube zu den Gaußschen Zahlen (und noch viel mehr). Alles, was bisher auf der Seite steht, findet man da.

Gibt es einen Grund, warum das nicht auf der Seite verlinkt ist? M.E. spricht das Copyright von Google nicht dagegen, oder übersehe ich da was?

Ansonsten würde ich drigend empfehlen, das als allererste Literaturstelle aufzunehmen, zumal auch der Ursprung des Begriffes 'Gaußsche Zahl' damit verbunden ist und jeder Wiki-Nutzer die Option haben sollte, das zu lesen.

--Wolfgang (Wolfk.wk) (Diskussion) 14:30, 10. Aug. 2017 (CEST)

Nur dass sich Gaußsche Zahlen nicht in den Disquisitiones Arithmeticae finden, sondern in den Abhandlungen über biquadratische Reste (ebenfalls in der Übersetzung von Maser enthalten). Gegen eine Verlinkung spricht nichts (auch im Artikel zu den Disquisitiones verlinkt).--Claude J (Diskussion) 15:04, 10. Aug. 2017 (CEST)

Leibniz-Reihe

Vielleicht interessante Ergänzung, Ableitung der Leibniz-Reihe für Pi über die Primfaktorzerlegung Gaußscher Zahlen: Youtube, oder Gaussian circle problem (Mathworld, obwohl hier die Verbindung nicht deutlich wird und auch nicht bei Hilbert/Cohn-Vossen, auf die Mathworld verweist). Wird auch in Opolka, Scharlau, From Fermat to Minkowski, S.73ff dargestellt (und auf Dirichlet, teilweise auch auf Gauß zurückgeführt).--Claude J (Diskussion) 16:13, 19. Sep. 2017 (CEST)

Präzise Formulierungen?

Im Text wird mehrmals der sprachliche "bis auf" Operator verwendet, dessen Bedeutung aber nicht erklärt (oder verlinkt) ist. Damit lassen sich sehr schön sprachlich verknappte Texte generieren, bis auf die Tatsache, dass sie dann leider unpräzise oder schwer verständlich sind. Eine gewisse Ratekunst gehört beim Lesen mathematischer Texte dazu?

So sind "Primelemente" laut Text "Gaußsche Zahlen der Form <xyz>, bis auf die Einheitsfaktoren". Okay, die Einheitsfaktoren 1, -1, i, -i gehören also nicht dazu. Allerdings genügen diese ohnehin nicht der Form <xyz>, wozu sie also extra erwähnen. Ach so, als Faktoren sind sie aber doch wiederum zugelassen, das also ist der Kern des "bis auf" Operators. Allerdings dürfte in anderen Fällen dem "bis auf" wieder eine andere Bedeutung zukommen. Vielleicht so ein Hinweis auf eine Art Äquivalenzrelation, die im einzelnen dann aber nicht genau spezifiziert wird. "Bis auf" kann ja sprachlich sowohl "außer" als auch "einschließlich" heißen, da ist also alles drin.

Diese Raterei kostet immer viel Zeit. Im vorliegenden Fall musste ich erst die englische Wikipedia konsultieren, um zu verstehen, was gemeint ist. (nicht signierter Beitrag von 95.91.208.28 (Diskussion) 12:42, 13. Apr. 2021 (CEST))