Diskussion:Inhalt (Polynom)

Geschichtliche Notiz

Was ich noch zur Geschichte sagen kann: In Webers Algebra von 1895 laufen die verschiedenen Varianten (auch mit Inhalt als "Theiler der Function") unter der Überschrift "Ein Satz von Gauss". Es gab also den Begriff schon, und Weber hält eine genauere Zuschreibung anscheinend für unnötig.--Gunther 13:47, 3. Jul 2006 (CEST)

Lemma von Gauß usw.

Hallo Gunther, Danke für's Einfügen des Gauß-Lemmas, ich hatte auch überlegt, ob ich dazu noch was schreibe. Das Buch von Weber benutze ich auch, das ist selbst in Japan bei den Computeralgebraikern beliebt, obwohl es kaum jemand wirklich lesen kann... (mache zur Zeit Praktikum bei Fujitsu).

Warum in Q nur 1?

Warum ist der Inhalt des Beispielpolynoms bei rationalen Zahlen nur 1 und nicht auch 3? -- Robert Weemeyer 10:38, 17. Sep 2006 (CEST)

"Der Inhalt ist bis auf eine Einheit eindeutig bestimmt.", d.h. modulo Assoziiertheit. Es ist $\mathbb {Q} ^{\times }=\mathbb {Q} \setminus \{0\}$, da $\mathbb {Q}$ Körper, insbesondere $1\sim 3$ in $\mathbb {Q}$. --Horrorist 20:00, 18. Sep 2006 (CEST)

Nullpolynom?

Was ist den der Inhalt des Nullpolynoms (p(x)=0)? Da ggT(0,0) nicht definiert ist vermute ich, dass der Inhalt für das Nullpolynom ebenfalls nicht definiert ist (müsste man dann hier ergänzen).--Vanda1 14:40, 28. Apr. 2008 (CEST)

Das wird normalerweise so festgelegt, dass das Lemma von Gauß gilt, also als $\infty$. Habs eingefügt. -- 79.207.109.224 19:16, 28. Mär. 2009 (CET)

Habs jetzt wieder geändert. Es gibt Versionen, die den Inhalt des Nullpolynoms als $0$ annehmen, was ich besser finde, denn dann gilt immer $\mathrm {inhalt} _{R}(bf)=b\mathrm {inhalt} _{R}(f)$ für jedes b aus dem Quotientenkörper. -- 79.207.54.53 13:24, 29. Mär. 2009 (CEST)

Fehler verbessert

Hab den Fehler ausgebessert, dass Primpolynome über einem faktoriellen Ring immer prim im Polynomring über dem Quotientenkörper sind. Gilt für eine Primzahl nie! Hab zusätzliche Informationen, bzw. Definitionserweiterungen eingefügt (Referenz Bosch, Lang, Artin). Ich hoffe ich hab nicht so viele Leichtsinnsfehler reingebracht. -- 79.207.109.224 19:24, 28. Mär. 2009 (CET)

Gauß in neuem Artikel?

Ich halte es für sinnvoll, wenn man für das Lemma von Gauß alias Satz von Gauß in einen eigenen Artikel verschiebt, oder den Artikel so umordnet, dass dieser in den Vordergrund tritt. Der Satz wird unter Garantie öfter gesucht, als der Begriff "Inhalt". Aber das ist meine Meinung -- 79.207.109.224 19:24, 28. Mär. 2009 (CET)

Eine Verschiebung fände ich auch sinnvoll. --Roentgenium111 (Diskussion) 16:22, 2. Dez. 2015 (CET)

Polynomringe über Körpern

Der zweite Satz im zweiten Abschnitt

"Dieses Resultat ist theoretisch sehr interessant, da man damit nachweisen kann, dass Polynomringe in endlich vielen Variablen über faktoriellen Ringen insbesondere über Körpern faktoriell sind."

enthält die Behauptung "Polynomringe über Körpern sind faktoriell", was offenbar nicht richtig ist: der Polynomring über dem Körper der Hamiltonquaternionen H[x] ist ganz offenbar nicht faktoriell:

$x^{2}+1=(x+i)(x-i)=(x+j)(x-j)=(x+k)(x-k)$

(c.f. Beutelspacher, Lineare Algebra, Seite 169, Aufgabe 6)

Polynomringe über Körpern sind zwar Hauptidealringe (das gilt auch für H[x]) aber nicht unbedingt faktoriell; vielleicht sind wenigstens Polynomringe über kommutativen Körpern faktoriell, da bin ich aber nicht ganz sicher. --89.236.142.49 10:47, 9. Sep. 2010 (CEST)

Also, Polynome über Schiefkörpern sind so exotisch, dass sie hier wohl unter den Tisch fallen. Ringe auf Wikipedia sind per Konvention immer kommutativ und mit Einselement, was sich auf Körper fortsetzt. Nur Abweichungen davon werden angegeben. Spezieller, was ist das x oben? Eine formale Variable, die mit allen Quaternionen kommutiert? Wie wertet man Polynomfunktionen über Quaternionen aus?--LutzL 10:54, 9. Sep. 2010 (CEST)

Verständlichkeit für Nicht-Mathematiker

Bei mathematischen Themen nutze ich immer die Englische Wikipedia:

In algebra, the content of a polynomial with integer coefficients is the greatest common factor of its coefficients. Thus, e.g., the content of 12x^3+30x-20 equals 2, since this is the greatest common factor of 12, 30, and -20. The definition may be extended to polynomials with coefficients in any fixed unique factorization domain.

A polynomial is primitive if it has content unity.

Das ist zwar deutlich weniger umfangreich und wahrscheinlich auch weniger allgemein gehalten als im Deutschen, aber man versteht, was gemeint ist. Im Deutschen muss man erstmal verstehen, was ein Ring, eine Algebraische Struktur, ein Quotientenkörper, und eine Einheit in einem unitären Ring sind... --208.88.225.79 12:13, 1. Mär. 2015 (CET)

Gaußsches Hebungslemma

Kann man das Gaußsche Hebungslemma [1] hier geeignet einordnen? --Ralf Preußen (Diskussion) 13:44, 2. Aug. 2020 (CEST)

Steht doch bereits im Artikel (als Lemma von Gauß). Man könnte die Bezeichnung ergänzen, wobei die aber nicht sehr gebräuchlich zu sein scheint.—Hoegiro (Diskussion) 13:58, 2. Aug. 2020 (CEST)

Ist denn dieses "Gaußsche Hebungslemma" dasselbe wie das "Lemma von Gauß"? Ich kann das nicht beurteilen. --Ralf Preußen (Diskussion) 14:19, 2. Aug. 2020 (CEST)

siehe dazu auch: "13 Andere Formen des Gaußschen Lemmas". --Ralf Preußen (Diskussion) 14:38, 2. Aug. 2020 (CEST)

Ja, das "Das Gaußsche Lemma in der Form von Lemma 13 gilt schließlich genau dann, wenn R ein GGT-Ring ist." ist das Gleiche. Ich passe den Link entsprechend an. M.E. erledigt. --Ralf Preußen (Diskussion) 14:45, 2. Aug. 2020 (CEST)