Diskussion:Integralrechnung

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Beispiel

In dem Artikel wird zwar wunderbar mit Formelzeichen herumhantiert, aber nirgendwo wird beschrieben, wie man denn nun mittels Integralrechnung die Fläche unter einer Funktion in der Praxis ausrechnet. Hier würde an den passenden Stellen jeweils eine konkrete Beispielsrechnung gute Dienste zum Verständnis leisten. --Wikilaser (Diskussion) 20:37, 14. Mär. 2012 (CET)

Kauf dir den ALTEN Kusch/Rosenthal Band 4 Integralrechnung. (Die "überarbeitete" Ausgabe von 2000 ist eine üble Verschlimmbesserung). Im Alten Band (z.B. 1993) findest du eine nachvollziehbare Erklärung auf die meisten (fast) all deiner Fragen. Solltest Du mathematisch gar keine Ahnung haben musst Du leider Band 1 und 3 auch durcharbeiten. Verständlichere Mathematikbücher kenne ich leider nicht. Die meisten Mathematik"didakten" in Deutschland sind verhinderte Klein-Mathematiker und leiden unter geistiger Inzucht.(ob man ihren Müll-Unterricht nachvollziehen kann oder nicht interessiert sie nur peripher) Deutschland ist ohnehin eine Pädagogik-Wüste; ein reines Pseudo-Elitensieb für überkommen-verstaubte Privilegien-Vorstellungen einer Buddenbrook-Gesellschaft. Leider sind manche WIKI-Artikel der Naturwissenschaft und Mathematik genauso arrogant-selbstverliebt, dass es ihre Autoren nicht kümmert, ob man ihre Ausführungen versteht. 37.5.134.89 21:44, 29. Apr. 2013 (CEST)

Wir hätten auch verstanden, was Du meinst, wenn Du sprachlich nicht so den Mund vollgenommen hättest. So ein Schwadronieren ist peinlich. Meine Leseempfehlung: S. P. Thompson: Höhere Mathematik und doch verständlich (engl. Calculus made easy), Hans Bussmann/Elfriede Wenzelburger: Anschauliche Differentialrechnung und Anschauliche Integralrechnung (Verlag Urban und Schwarzenberg). Die angegebenen Titel müssten Pflichtlektüre für alle Wikipedia-Autoren mathematischer Artikel sein. HarWie (Diskussion) 13:51, 20. Feb. 2020 (CET)

meiner Meinung ist der Artikel mit Bezug auf das Oma-Verstehen komplett durchgefallen, traurig aber wahr (nicht signierter Beitrag von 62.155.212.106 (Diskussion) 12:43, 6. Okt. 2013 (CEST))

"Grau ist jede Theorie" daher die Frage, ob es nicht Sinn macht, auch (oder gerade?) in einem wissenschaftlichen Artikel, Praxisbezüge (bspw. durch Beispiele) einzufügen?--Wikiseidank (Diskussion) 11:54, 8. Jun. 2016 (CEST)

df(x)

Soweit ich das überblicken kann wird nicht darauf eingegangen was es zu bedeuten hat, wenn hinter dem "d" eine Funktion steht. Kann das jemand ergänzen? 134.106.106.34 15:53, 19. Apr. 2012 (CEST)

Das ist dann ein Stieltjes-Integral. Das wird im Artikel erwähnt, aber vielleicht nicht an der passenden Stelle. --Digamma (Diskussion) 16:23, 19. Apr. 2012 (CEST)

Quadratur der Parabel von Archimedes

Im Text stand zu Archimedes ursprünglich, er habe keinerlei Grenzwertbegriff benutzt; das ist nicht ganz korrekt, denn seine Quadratur der Parabel enthält den Beweis, dass

$\sum _{k=0}^{\infty }{\left({\frac {1}{4}}\right)^{k}}={\frac {4}{3}}$

ist. Die rechte Seite ist ein Grenzwert, wenn auch nicht einer Funktion, sondern einer Folge.--Slow Phil (Diskussion) 21:18, 3. Dez. 2012 (CET)

Nun aber Fakt ist, dass es damals noch keinen Grenzwertbegriff gab. Jetzt stellt sich mir die Frage, wie er diesen Zusammenhang notiert und die Summe berechnet hat und ob man in dem Zusammenhang von Grenzwertbildung im üblichen Sinne sprechen sollte. Außerdem ist mir unklar was Du mit dem Grenzwert von Funktionen meinst? Insgesamt finde ich Deine Ergänzung leider nicht ganz glücklich. Grüße --Christian1985 (Disk) 21:26, 3. Dez. 2012 (CET)

Mit Grenzwert von Funktionen meine ich den Wert, gegen den eine Funktion geht, wenn das Argument gegen einen bestimmten Wert läuft - nicht notwendigerweise gegen $\infty$, sondern auch z.B. gegen 0 oder einen Wert $x_{0}$. Die besagte Funktion kann z.B. eine gebrochene Funktion mit Definitionslücke, aber ohne Polstelle sein, zum Beispiel ein Differenzenquotient.--Slow Phil (Diskussion) 15:40, 4. Dez. 2012 (CET)

Soweit ich weiß, geht auf Eudoxos von Knidos die Auffassung zurück, dass zwei geometrische Größenverhältnisse gleich sind, wenn die kleineren und die größeren rationalen Größenverhältnisse übereinstimmen (man denke an Dedekindsche Schnitte). Darauf aufbauend hat auch Archimedes seine Beweise geführt und durch obere und untere Abschätzungen die Gleichheit von verschiedenen Flächen gezeigt. In einem gewissen Sinne ist das durchaus dem, was wir heute Grenzwertbildung nennen, schon sehr nahe, und die Beweise waren wohl ordentlich. Auf der anderen Seite muss man da mit solchen Aussagen, Archimedes hätte Grenzwerte benutzt, sehr vorsichtig sein – die Griechen hatten noch nicht einmal das Konzept rationaler Zahlen. Für Quellen siehe diese Entwurfseite. --Chricho ¹ ² ³ 22:06, 3. Dez. 2012 (CET)

Ich habe das umformuliert, wer jetzt einen Aspekt vermisst oder die Formulierung unschön finde, möge den Abschnitt mit Bedacht verändern. --Chricho ¹ ² ³ 23:23, 3. Dez. 2012 (CET)

Die jetzige Formulierung ist nicht ganz akkurat: Die durch eine Parabel begrenzte Fläche ist natürlich unendlich groß. Was Archimedes bestimmt hat, ist die Fläche zwischen einer Sekante (genauer gesagt dem Abschnitt, der "innerhalb" der Parabel verläuft) und dem Parabelbogen zwischen den Schnittpunkten der Sekante mit der Parabel, wie man im englischen Artikel über die Quadratur der Parabel sehen kann. Zudem ist Archimedes Abschätzung des Kreisumfangs m.E. eine Abschätzung von $\pi$; das Symbol . Die Formulierung "lässt sich aus heutiger Sicht als ... betrachten" würde ich eher auf Archimedes' Quadratur der Parabel beziehen, weil er dort eine geometrische Reihe berechnet und damit - eben aus heutiger Sicht einen Grenzwertbegriff vorweggenommen hat.--Slow Phil (Diskussion) 12:54, 4. Dez. 2012 (CET)

Das mit Pi sehe ich auch so wie Slow Phil. Zu Archimedes Zeiten war schon bekannt, dass Pi eine Konstante ist und welche Rolle sie spielt. Die Feinheiten der Nomenklatur als Grund zu nehmen, nicht zu sagen er haette Pi angenaehert finde ich nicht gut. --P. Birken (Diskussion) 13:28, 4. Dez. 2012 (CET)

Noch etwas habe ich vergessen: Archimedes' Quadratur der Parabel ist nicht die Integration einer quadratischen Funktion, denn Letztere ist die Berechnung einer Fläche außerhalb der Parabel, nämlich zwischen einem Parabelbogen und einer Achse, die orthogonal zur Symmetrieachse der Parabel verläuft. Natürlich lässt sich das eine aus dem anderen berechnen, aber so viel Präzision sollte schon sein.--Slow Phil (Diskussion) 14:18, 4. Dez. 2012 (CET)

„Durch eine Parabel begrenzte Fläche“ soll nur heißen, dass die Fläche an einer Seite durch eine Parabel begrenzt ist, dass da nichts anderes begrenzt, lese ich da nicht raus, aber wenn das missverständlich ist… Habe den Bezug zu einer Integration umformuliert, stößt das auf Zustimmung? Bzgl. π gebe ich euch Recht, wie das jetzt formuliert ist, ist das zu stark für diese Feinheit, er hat jedenfalls das Verhältnis von Umfang zu Durchmesser betrachtet, und warum sollte man dieses nicht π nennen. --Zur ursprünglichen Frage: Besteht denn Bedarf in dem Abschnitt etwas zum Bezug zwischen Exhaustionsmethode und Grenzwertbegriff zu sagen? Chricho ¹ ² ³ 14:41, 4. Dez. 2012 (CET)

Bei mir zumindest stößt die Umformulierung auf Zustimmung. Ich möchte aber noch ein paar Kleinigkeiten einfügen.--Slow Phil (Diskussion) 15:11, 4. Dez. 2012 (CET)

Also der Satz „Dabei wertete er (soweit bekannt, erstmals) eine geometrische Reihe aus und nahm somit den heutigen Begriff des Grenzwertes konvergenter Folgen oder Reihen vorweg.“ erscheint mir nicht tragbar. Griechen haben keine Reihen ausgewertet, es war nicht so, dass die bestimmte Zahlen als Grenzwerte irgendwelcher Folgen definiert hätten. Sie haben eben die Exhaustionsmethode benutzt: Gegeben zwei Flächen, als geometrische Entitäten, beweise die Gleichheit der Inhalte. Dass dabei auftretende Argumente auch für einen heutigen Grenzwertbeweis benutzt werden könnten, macht den Satz nicht minder unzutreffend. --Chricho ¹ ² ³ 01:55, 5. Dez. 2012 (CET)

"Griechen haben keine Reihen ausgewertet,..." Archimedes offensichtlich doch. Dies jedenfalls behauptet die englischsprachige Wikipedia in dem Artikel zur Quadratur der Parabel. Wenn Du meinst, dies stimme nicht, sollten wir die englischsprachigen Wikipedianer in die Diskussion einbeziehen. Abgesehen davon sollte man sich immer darüber klar sein, dass die Fähigkeiten einer Kultur mindestens das umfasst, was sie überliefert hat. Auch in diesem Artikel ist ausdrücklich die Rede davon, dass er die Fläche exakt, nicht etwa nur Näherungsweise berechnet habe, und soweit ich weiß, arbeitet die Exhaustionsmethode mit (immer besseren, aber eben nicht exakten) Näherungen.--Slow Phil (Diskussion) 12:30, 5. Dez. 2012 (CET)

Ich zitiere einmal Boyer, Merzbach, A History of Mathematics: „Archimedes did not refer to the sum of the infinite series, for infinite processes were frowned on in his day; instead, he proved by a double reductio ad absurdum that K [Fläche des Parabelsegments] can be neither more nor less than 4/3 T [Fläche des Dreiecks darunter].“ Auf geometrische Weise hatte er die Parabel und das Dreieck gegeben. Und dann hat er bewiesen, dass das Verhältnis 4:3 sein muss, denn sonst ließe sich eben ein Widerspruch konstruieren, indem man die Parabel hinreichend oft (endlich oft) mit Dreiecken „zustopft“. Aus heutiger Sicht können wir da von Partialsummen einer unendlichen Reihe sprechen, deren Grenzwert wir ausrechnen und über solche Grenzwerte Flächeninhalte analytisch definieren. Ein solcher analytischer Ansatz war aber nicht die griechische Vorgehensweise, bei der Flächeninhalte nicht einmal als Zahlen, algebraische Objekte aufgefasst wurden. Ein Grenzwert von irgend etwas wurde nie definiert, sondern nur Flächen und Längen verglichen. Was mich bei Boyer, Merzbach jetzt aber verwirrt: Dort steht, er habe zwei Beweise geliefert (neben dem Pseudobeweis mit Infinitesimalen), einen über die Exhaustionsmethode und den besagten. Da frag ich mich, was beim Exhaustionsbeweis anders sein mag. --Chricho ¹ ² ³ 16:44, 5. Dez. 2012 (CET)

Man kann übrigens hier den Originaltext von Archimedes in der englischen Übersetzung nachlesen. Ist ziemlich interessant: Auf alle Fälle hat er die Reihe in dem Sinn berechnet, dass er eine Formel für alle Partialsummen beweist (Proposition 23). Inwieweit er mit Proposition 24 einen Grenzwert im modernen Sinn bestimmt, ist wohl gar nicht so einfach zu beantworten. -- HilberTraum (Diskussion) 21:01, 5. Dez. 2012 (CET)

Ich denke dass so wie es jetzt steht, die Botschaft die richtige ist: Er hat bestimmte nichttriviale Flaecheninhalte exakt berechnet, dazu war das Hantieren mit letztlich unendlichen Objekten notwendig, er hat aber nicht den Grenzwertbegriff von Newton genommen, sondern sich irgendwie durchgewurschtelt, um das mal flapsig zu formulieren. Die Abschaetzung fuer Pi ist uebrigens auch interessant, er hat da letztlich unendliche Kettenbrueche geschickt abgeschaetzt, um auf die 3 10/71 zu kommen. Krasser Typ :-) --P. Birken (Diskussion) 15:33, 7. Dez. 2012 (CET)

Ich denke nicht, dass „durchgewurschtelt“ da das richtige Wort ist. Er hat im Rahmen der damals vorhandenen Begriffe einen korrekten (sofern man das ohne Formalisierung sagen kann), in der Geometrie verankerten Beweis geführt. Unter diesen Begriffen fanden sich weder Integrale, noch Grenzwerte, Reihen oder rationale Zahlen. Dass er eine geometrische Reihe ausgerechnet hätte, kann man meines Erachtens genauso wenig sagen wie, dass Dedekind einen adjungierten Funktor für die Ordnung auf $\mathbb {Q}$ ausgerechnet hätte. Muss der Bezug zu einer geometrischen Reihe denn überhaupt hier im Artikel stehen? Ist das von Interesse für die Geschichte der Integralrechnung, ob das in moderner Fassung auf eine geometrische Reihe hinausläuft, oder er irgendeine andere Exhaustion gemacht hat? --Chricho ¹ ² ³ 16:32, 7. Dez. 2012 (CET)

Ich bin nach wie vor überzeugt davon, dass man sehr wohl von einer Vorwegnahme des Grenzwertbegriffs für Folgen bzw. Reihen (nicht des Grenzwertbegriffs für Funktionen) sprechen kann. Ich habe ja nicht behauptet, er hätte diesen Begriff eingeführt. Das Wort "Vorwegnahme" impliziert ja gerade, dass es das Vorweggenommene eigentlich noch nicht gibt und derjenige, der es vorweggenommen hat, es auch nicht als geschlossene Theorie eingeführt hat. Hätte Archimedes die fragliche Fläche mit einer bestimmten endlich Zahl von zum Rande hin imer kleiner werdenden Dreiecken "zugestopft", so hätte immer noch etwas zur exakten Lösung gefehlt, es wäre immer noch einen Näherung geblieben. Es steht jedoch da, dass er die Fläche exakt berechenet habe, und wenn das stimmt, hat er damit automatisch implizit gezeigt, dass die Summe von 1 und allen natürlichzahligen vielen Potenzen von 1/4 eben 4/3 ist.--Slow Phil (Diskussion) 12:58, 10. Dez. 2012 (CET)

Vertauschen der Integrationsgrenzen

Ich vermisse im Artikel die Konvention, dass

$\int _{a}^{b}f(x)dx=-\int _{b}^{a}f(x)dx.$

In welchen Abschnitt sollte das? -- UKoch (Diskussion) 16:31, 8. Jan. 2013 (CET)

Integrationsgebiet

Der Begriff des Integrationsgebietes erscheint in dem Artikel: Liste_mathematischer_Symbole#Integralrechnung und im Zusammenhang mit der Notation des Integrals. In dem hiesigen Artikel der Integralrechnung ist der Begriff auch nicht erklärt. Man kann nur raten ob es sich dabei entweder um das geschlossene Intervall von a nach b oder um die Fläche handelt. Da in anderen Artikeln , wie zb Kurvenintegral das Integrationsgebiet in den Formeln verwendet wird, wäre eine klare Definition des Begriffs wünschenswert. (nicht signierter Beitrag von 46.115.105.176 (Diskussion) 21:38, 16. Nov. 2013 (CET))

Fehlermeldung "Fehler beim Parsen" im Artikel

Ich erhalte neuerdings auf Artikelseiten, die mathematischen Text enthalten, rot ausgedruckte Fehlermeldungen, die alle beginnen mit dem Hinweis "Fehler beim Parsen". Beispielsweise wird in diesem Artikel die Formel über der Zwischenüberschrift "Integration und Substitution" auf meinem PC (Windows 7) nicht ausgedruckt, sondern stattdessen erscheint dort plötzlich mitten im Artikel die Fehlermeldung:

Fehler beim Parsen(Unbekannte Funktion „\begin“): {\begin{aligned}\int _{a}^{b}x\ln(x)\,{\mathrm d}x&={\frac {b^{2}}2}\ln(b)-{\frac {a^{2}}2}\ln(a)-\int _{a}^{b}{\frac {x^{2}}2}\cdot {\frac 1x}\,{\mathrm d}x\\&={\frac {b^{2}}2}\left(\ln(b)-{\frac 12}\right)-{\frac {a^{2}}2}\left(\ln(a)-{\frac 12}\right).\end{aligned}}

Liegt das an einem Programmierfehler bei Wikipedia? ---Davido Keltenbeil (Diskussion) 16:05, 8. Feb. 2014 (CET)

Ja seit Donnerstag Abend hat Wikipedia den Fehler, dass align- und alignd-Umgebungen nicht mehr als PNG dargestellt werden können. Ich hoffe das ändert sich bald wieder! Wenn man angemeldet ist, kann man in den Einstellungen unter Aussehen MathJax aktivieren, damit werden zumindest die meisten Probleme, die seit Donnerstag existieren umgangen. Viele Grüße--Christian1985 (Disk) 16:22, 8. Feb. 2014 (CET)

Vielen Dank für den Hinweis. Da bleibt einem ja noch die Hoffnung ... Beste Grüße ---Davido Keltenbeil (Diskussion) 16:52, 8. Feb. 2014 (CET)

Exakte Verfahren

Hier steht, dass das bestimmte Integral in den Grenzen a und b als Differenz der Stammfunktion an diesen Stellen berechnet werden kann, sobald f eine Stammfunktion F besitzt und dies nach dem Haupsatz gelten würde. Nach H. Heuser ist dies aber nicht so. Die Funktion f muß Riemann integrierbar sein, damit diese Formel gilt. Es gibt Funktionen die nicht R-integrierbar sind, aber dennoch eine Stammfunktion besitzen (ein Beispiel findet man ebenfalls im Heuser). Für stetiges f - wie es der Hauptsatz voraussetzt - gibt es solche Beispiele nicht und ist die Formel auch richtig. Kann das bitte jemand ändern oder mich über meinen Denkfehler aufklären? (nicht signierter Beitrag von 88.68.136.104 (Diskussion) 22:34, 5. Okt. 2014 (CEST))

In dem Abschnitt wird vermutlich inplizit vorausgesetzt, dass das Integral existiert; es soll nur noch berechnet werden. Ansonsten hast du natürlich Recht. --Digamma (Diskussion) 14:48, 6. Okt. 2014 (CEST)

PS: Bei nochmaligem Nachdenken bin ich mir nicht sicher, ob es genügt, Integrierbarkeit + Existenz der Stammfunktion vorauszusetzen. Man sollte Stetigkeit fordern, dann ist man auf jeden Fall auf der sicheren Seite. Ich werde es ergänzen. Danke für den Hinweis. --Digamma (Diskussion) 15:07, 6. Okt. 2014 (CEST)

Verlinkung

Der Artikel existiert auch auf der englischen (und vielen anderen) Wikipedia. Die Sprachenliste sollte man dazu updaten. http://en.wikipedia.org/wiki/Integral

Die englische Seite wiederum, zeigt bereits auf die deutsche. --Atheist (Diskussion) 22:00, 2. Feb. 2015 (CET)

Neue Vektorgrafiken

Ich habe neue Vektorgrafiken entworfen. Ich bin mir sicher sie sind fehlerfrei. Um Anregungen wird gebeten! -Benutzer:Johannes Schneider (Diskussion)--- (Diskussion) 03:58, 25. Jun. 2015 (CEST)

Wieso soll $x\mapsto \sin {\frac {1}{x^{2}}}$ nicht Riemann-integrierbar sein?

Zum Abscnitt Riemann-Integral, vorletzter Abschnitt: Die Funktion ist beschraenkt und nur im Nullpunkt unstetig (wenn man sie da beliebig ergaenzt). Da greift das Lebesgue-Kriterium fuer Riemann-Integrierbarkeit. --109.84.0.47 16:33, 16. Jan. 2017 (CET)

Ja stimmt, das ist im Artikel falsch. Aber irgendwie müsste der ganze Abschnitt neu gefasst werden. Riemann-Integrierbarkeit hat doch erstmal nichts mit der Variation zu tun. Hm -- HilberTraum (d, m) 15:11, 18. Mai 2017 (CEST)

Der gaußsche Integralsatz und der Satz von Stokes

Im Abschnitt Integralrechnung#Der gaußsche Integralsatz und der Satz von Stokes heißt es:

"Der Rand sei orientiert durch ein äußeres Normalen-Einheitsfeld ${\vec {n}}$."

mit dem gleichen Buchstaben $n$ wie bei der Dimension. Wenn sie nicht gemeint ist – und ich kann's mir nicht vorstellen, könnte man besser einen anderen Buchstaben nehmen (falls die Namensgebung überhaupt erforderlich). --Nomen4Omen (Diskussion) 17:21, 24. Mai 2017 (CEST)

Das verwirrt hier tatsächlich. Eine Alternative zu ${\vec {n}}$, die durchaus üblich ist, wäre ${\vec {\nu }}$. Den Namen braucht man weiter unten, in der Beziehung $\mathrm {d} ^{(n-1)}{\vec {S}}={\vec {n}}\,\mathrm {d} ^{(n-1)}S$. (Eine andere Alternative wäre, die Dimension in den Formeln nicht explizit zu nennen.) --Digamma (Diskussion) 19:10, 24. Mai 2017 (CEST)

Newton-Schreibweise

Mich würde als Leser noch brennend interessieren, wie die Newton-Schreibweise ausgesehen hatte. Um zu verstehen warum die Leibniz-Schreibweise sich durchgesetzt hatte. Wenn jemand die noch einfügen könnte, wäre das prima. 94.219.22.127 19:52, 3. Jul. 2019 (CEST)

Einleitung runderneuert - Vorschlag

Der Einleitungstext ist nicht so gut verständlich, wie er für Otto Normalleser (+*in) sein könnte. Hier ein Verbesserungsvorschlag:

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Die Integralrechnung ist neben der Differentialrechnung der wichtigste Zweig der mathematischen Teildisziplin Analysis. Sie ist aus der Aufgabe entstanden, einen Flächeninhalt oder ein Volumen zu berechnen. Unter dem Oberbegriff Integral werden das unbestimmte und das bestimmte Integral einer Funktion zusammengefasst. Die Berechnung von Integralen heißt Integration.

• Das bestimmte Integral einer Funktion $f$ ergibt eine Zahl. Für eine reelle Funktion in einer Variablen gibt diese Zahl den Inhalt der Fläche an, die im zweidimensionalen ${\displaystyle }$Koordinatensystem von der $x$-Achse, zwei Parallelen zur $y$-Achse und dem Graphen der Funktion umschlossen wird. Die $x$-Koordinaten der beiden Parallelen zur $y$-Achse werden als Integrationsgrenzen bezeichnet. Flächenstücke unterhalb der $x$-Achse zählen hierbei negativ. Man spricht vom orientierten Flächeninhalt (auch Flächenbilanz). Diese Vorzeichenkonvention wird gewählt, damit das bestimmte Integral eine lineare Abbildung vom Raum der Funktionen in den Zahlenraum ist, was sowohl für theoretische Überlegungen als auch für konkrete Berechnungen eine zentrale Eigenschaft des Integralbegriffs darstellt. Auch wird so sichergestellt, dass der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung gilt.

• Das unbestimmte Integral einer Funktion ist eine Funktion, deren erste Ableitung gerade die ursprüngliche Funktion ist. Sie wird als Stammfunktion der integrierten Funktion bezeichnet. Eine Stammfunktion behält diese Eigenschaft, wenn eine beliebige Zahl addiert oder subtrahiert wird. Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung gibt Auskunft darüber, wie aus unbestimmten Integralen bestimmte Integrale berechnet werden können.

Insoweit sind Integration und Differentiation Umkehrungen voneinander. Im Gegensatz zur Differentiation existiert für die Integration auch elementarer Funktionen aber kein einfacher und kein alle Fälle abdeckender Algorithmus. Integration erfordert trainiertes Raten, das Benutzen spezieller Umformungen (Integration durch Substitution, partielle Integration), Nachschlagen in einer Integraltafel oder das Verwenden spezieller Computer-Software. Oft erfolgt die Integration nur näherungsweise mittels sogenannter numerischer Quadratur.

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Die bestehende Einleitung ist weitestgehend erhalten. Die Sätze sind nicht mehr so fachsprchlich formuliert. Funktion fällt nicht mehr vom Himmel. Integration und Differentiation als Umkehrungen voneinender genannt. Absatz mit mechanischer und chemischer Flächenbestimmung nach Flächeninhalt verschoben. Gezielte Kritik und Verbesserungsvorschläge sind willkommen, und dann einstellen! --Bleckneuhaus (Diskussion) 12:43, 31. Okt. 2021 (CET)

Kleine Überarbeitung, weil (sparsamer) Einsatz von Symbolen doch den Text vereinfachen hilft:

_____________________________________________________________________

Die Integralrechnung ist neben der Differentialrechnung der wichtigste Zweig der mathematischen Teildisziplin Analysis. Sie ist aus der Aufgabe entstanden, einen Flächeninhalt oder ein Volumen zu berechnen. Unter dem Oberbegriff Integral werden das unbestimmte und das bestimmte Integral einer Funktion zusammengefasst. Die Berechnung von Integralen heißt Integration.

• Das bestimmte Integral einer Funktion $f$ ergibt eine Zahl. Für eine reelle Funktion in einer Variablen gibt diese Zahl den Inhalt der Fläche an, die im zweidimensionalen $xy-$Koordinatensystem von der $x$-Achse, zwei Parallelen zur $y$-Achse und dem Graphen der Funktion umschlossen wird. Die $x$-Koordinaten der beiden Parallelen zur $y$-Achse werden als Integrationsgrenzen bezeichnet. Flächenstücke unterhalb der $x$-Achse zählen hierbei negativ. Man spricht vom orientierten Flächeninhalt (auch Flächenbilanz). Diese Vorzeichenkonvention wird gewählt, damit das bestimmte Integral eine lineare Abbildung vom Raum der Funktionen in den Zahlenraum ist, was sowohl für theoretische Überlegungen als auch für konkrete Berechnungen eine zentrale Eigenschaft des Integralbegriffs darstellt. Auch wird so sichergestellt, dass der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung gilt.

• Das unbestimmte Integral einer Funktion $f$ ist eine Funktion $F$ , deren erste Ableitung gerade die ursprüngliche Funktion $f$ ist. $F$ wird als Stammfunktion der Funktion $f$ bezeichnet. Addiert oder subtrahiert man zu $F$ eine beliebige Zahl, erhält man wieder eine Stammfunktion von $f$. Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung gibt Auskunft darüber, wie aus unbestimmten Integralen bestimmte Integrale berechnet werden können.

Insoweit sind Integration und Differentiation Umkehrungen voneinander. Im Gegensatz zur Differentiation existiert für die Integration auch elementarer Funktionen aber kein einfacher und kein alle Fälle abdeckender Algorithmus. Integration erfordert trainiertes Raten, das Benutzen spezieller Umformungen (Integration durch Substitution, partielle Integration), Nachschlagen in einer Integraltafel oder das Verwenden spezieller Computer-Software. Oft erfolgt die Integration nur näherungsweise mittels sogenannter numerischer Quadratur.

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--Bleckneuhaus (Diskussion) 17:31, 1. Nov. 2021 (CET)

Nachdem ich wieder über die meiner Meinung nach untaugliche Erklärung in der Einführung gestolpert bin, und nachdem hier niemand widersprochen hat, habe ich meinen Text (überarbeitet) eingestellt. --Bleckneuhaus (Diskussion) 15:00, 18. Mai 2022 (CEST)

Neue Integrationsmethode

In der Zeitschrift Spektrum der Wissenschaft ist im Mai 2022 ein Artikel von Manon Bischoff über eine neue Integrationsmethode erschienen (Titel "Revolution in der Analysis"). Thema: Integration durch Differentiation. Die Methode wurde laut Artikel von Achim Kempf, David M. Jackson und Alejandro H. Morales in 2014 entwickelt. Vielleicht kann jemand den Artikel zur Integralrechnung entsprechend ergänzen, der tiefer im Thema Integralrechnung steckt als ich. Ich bin keine Mathematiker. (nicht signierter Beitrag von Slang2 (Diskussion | Beiträge) 17:49, 21. Mai 2022 (CEST))

Unbestimmtes Integral

Der Abschnitt zum unbestimmten Integral widerspricht sich. Zunächst wird "das" unbestimmte Integral als Funktion definiert, dann als Menge. Mathze (Diskussion) 06:09, 26. Dez. 2022 (CET)

Die Menge aller Stammfunktionen einer Funktion $f(x)$ nennt man unbestimmtes Integral der Funktion $f(x)$. Das ist m.E. nicht korrekt. Kommt unten nochmal. Kann sein, dass das Jargon ist und gehört dann nicht hierher. Jedenfalls fehlt die Quelle. TiHa (Diskussion) 15:42, 26. Dez. 2022 (CET)

Unkorrekten Satz in der Einleitung erstmal entfernt. War ohnehin redundant. Das 2. Auftauchen des Satzes ist wg. "manchmal" zunächst unschädlich. --Bleckneuhaus (Diskussion) 16:14, 26. Dez. 2022 (CET)

Eine Google-Suche nach dem von TiHa kritisierten Satz bringt einige Treffer in Büchern: [1] Viele Grüße --Christian1985 (Disk) 16:56, 26. Dez. 2022 (CET)

Danke für den Hinweis. Ich wäre trotzdem dafür, diese Quelle möglicher diesbezüglicher Verständnisschwierigkeiten hier auszumerzen. Es genügt, wenn das (wie aktuell) später im Artikel erwähnt wird. Eine Menge und ein Element dadraus mit demselben Namen zu belegen, ist in jedem Fall ungünstig, auch wenns zum Jargon gehört. --Bleckneuhaus (Diskussion) 17:13, 26. Dez. 2022 (CET)

dx "ein reiner Notationsbestandteil" ??

Im Abschnitt Motivation lese ich: dx wird heute im Allgemeinen als reiner Notationsbestandteil verwendet . Was soll denn das bedeuten? Das x darin ist doch von höchster Bedeutung. --Bleckneuhaus (Diskussion) 11:23, 12. Mär. 2023 (CET)

@HilberTraum: Du hast das hier eingefügt, und was hast Du genau gemeint? Dass das genau so gut weg kann? --Bleckneuhaus (Diskussion) 11:27, 12. Mär. 2023 (CET)

Ich denke, es soll heißen, dass das dx nicht als Faktor eines Produkts betrachtet wird, sondern nur als Bestandteil, der die Integrationsvariable x festlegt. --Digamma (Diskussion) 21:47, 12. Mär. 2023 (CET)

Es ist aber nicht entbehrlich, z.B. in $\int f(x,y)\,\mathrm {d} y$, weil man wissen muss, welche der Veränderlichen intergriert werden soll. "f(t)" ist ja nur ein Symbol für eine Funktion wie "v=s/t" oder sowas. Insofern finde ich "Notationsbestandteil" ok.

Von Leibniz war es als Faktor gemeint. Wenn man "infinitesimal" denkt, was in der Physik m.W. üblich ist, bedeutet es eben das Produkt aus dem Wert der Veränderlichen mit einem klitzeklitzekleinen Delta d. Evtl. sollt man das erklären. TiHa (Diskussion) 07:40, 13. Mär. 2023 (CET)

Nein, $dx$ ist 1 Symbol und nichts, was aus 2 Faktoren besteht. Der Teil hinter dem $d$ dient (hier) dazu, die Integrationsvariable anzugeben. - Ich habe den Text verbessert (und dabei auch gleich einen Editunfall ausgelöst). --Bleckneuhaus (Diskussion) 11:30, 13. Mär. 2023 (CET)

TiHa meinte etwas anderes: es ist $dx$ ein Faktor im Produkt $f(x)dx$, was in der Annäherung des Integrals $\int f(x)dx$ durch Unter- bzw. Obersummen von Rechtecken dann als Produkt von Höhen bei (im Grenzwert) infinitisimalen Grundseiten dieser Rechtecke gedeutet werden kann. Liebe Grüße -- Googolplexian (Diskussion) 14:52, 13. Mär. 2023 (CET)

Danke - auch für dein aufmerksames Lesen! Das d ist historisch m.W. ein "Infinitesimal" - war also schon etwas rechnerisch Konkretes. In neueren Ansätzen ist es als Hyperreelle Zahl zurückgekehrt... TiHa (Diskussion) 06:52, 14. Mär. 2023 (CET)

Ja, das $d$ steht anschaulich für „infinitesimale Differenz“. Das $dx$ hat aber darüber hinaus definitiv eine Bedeutung, auch noch heute. Es weist das Objekt $f(x)dx$ ($f$ stetig auf offenem Intervall $I\subset \mathbb {R}$) als 1-Form auf dem Intervall $I$ aus. Für differenzierbare $x\mapsto f(x)$ gilt dann allgemein die Rechenregel $df=f'(x)dx$. Liebe Grüße -- Googolplexian (Diskussion) 09:13, 14. Mär. 2023 (CET)

Variablentrennung

Offenbar ist die Variablentrennung fundamental wichtig für die Integration. Eine Wiki-Suche ergibt nur wenige Treffer. Kommt in diesem Artikel wohl auch nicht vor. Grüße Michael --176.2.146.78 23:48, 20. Apr. 2024 (CEST)

Die Trennung der Variablen ist eine Methode, um gewöhnliche Differentialgleichungen zu lösen, und besitzt sogar einen eigenen Artikel. Man braucht dabei zwar Integralrechnung, aber es ist eher umgekehrt: Die Integralrechnung ist fundamental wichtig, um Differentialgleichungen mit Hilfe der Trennung der Variablen zu lösen. --Digamma (Diskussion) 19:41, 21. Apr. 2024 (CEST)

Beispiel aus der Physik

Nachdem das Integral aufgestellt wurde, verselbstständigt sich das kinetische Beispiel aus der Physik. Bis zur Bewegungsgleichung kann ich noch nachvollziehen, was das mit Integration zu tun hat, da man aus der Integration ein Gesetz gewinnt, doch was das Ableiten danach noch mit Integrtion zu tun hat, ist mir unklar. Ich würde deshalb den Rest nach der Bewegungsgleichung löschen, würde mir aber hier noch Meinungen dazu anhören. --Mathze (Diskussion) 15:29, 23. Apr. 2024 (CEST)

Ich habe das geschriebene umgesetzt. Weitere Frage an die Physiker unter Euch: Im Beispiel steht, dass $l={\frac {g}{2}}\cdot t^{2}$ eine "Bewegungsgleichung" sei. Das hat mich überrascht. Würde man in der Physik diese Gleichung als "Bewegungsgleichung" bezeichnen.Ich hätte vermutet, dass man im Zusammenhang mit dem freien Fall in Erdnähe vielmehr die Gleichung $g={\ddot {x}}$ als Bewegungsgleichung bezeichnen würde. --Mathze (Diskussion) 16:26, 24. Apr. 2024 (CEST)

Für mich ist das ein "Weg-Zeit-Gesetz". Als Bewegungsgleichung würde ich auch die zugehörige Differentialgleichung bezeichnen. --Digamma (Diskussion) 21:33, 24. Apr. 2024 (CEST)

Und nebenbei: Mich irritiert, dass der Weg mit $l$ und nicht mit $s$ bezeichnet wird. --Digamma (Diskussion) 21:35, 24. Apr. 2024 (CEST)

Ich denke $l$ für Länge. Wenn $s$ die übliche Bezeichnung ist gerne ändern. (Ich kann mit meinen zwei Semstern Physik kein fundiertes Urteil dazu abgeben.) --Mathze (Diskussion) 23:05, 24. Apr. 2024 (CEST)

Neuer Artikel

Der Artikel muss aus meiner Sicht von Grund auf neu geschrieben werden. Das wird ein enormer Kraftakt sein, und sollte im besten Fall unter enger Abstimmung mit allen Kollegen des Portals Mathematik geschehen. Allein die Sichtung der Literatur, aber auch die konzeptionelle Planung, und die Darstellung des Themas, von anschaulicher Motivation bis hin zur mathematischen Rigorosität, dürfte Wochen bis Monate dauern. Liebe Grüße -- Googolplexian (Diskussion) 10:31, 25. Apr. 2024 (CEST)