Diskussion:Normierter Raum

Norm ausgliedern

Sollte man den Begriff der Norm nicht ausgliedern, da unter anderem eine Norm nicht zwangläufig einen Vektorraum über $\mathbb {R}$ oder C als Definitionsmenge haben muss. --LustigerKreis 19:04, 8. Mär 2005 (CET)

Denkst du an beliebige Teilkörper von C? Die könnte man im Prinzip zulassen. Hättest du etwas über Normen zu schreiben, was nicht in diesen Artikel gehören würde?

Man kann zusätzlich in Vektorräumen über beliebigen bewerteten Körpern (s. Absoluter Betrag#Verallgemeinerung: Betrag und Bewertung) eine Norm definieren. --SirJective 00:08, 9. Mär 2005 (CET)

hmm, fast. Ich hab in erinnerung das alles was von einem Vektoraum nach R geht und die 3 Regeln einhält Norm ist. Z.B. was ist mit der Operatornorm, die passt hier nicht rein oder sehe ich das falsch? --LustigerKreis 01:08, 9. Mär 2005 (CET)

Doch. Viele Gruesse --DaTroll 09:45, 9. Mär 2005 (CET)

Noch als Kommentar: es ist aber zu Ueberlegen, zumindest die Matrixnormen rauszunehmen, weil diese eine weitere Eigenschaft erfuellen. Viele Gruesse --DaTroll 10:36, 9. Mär 2005 (CET)

sorry, verstehe die Antwort nicht. Soll das (vereinfacht gesagt) heissen die Menge der Operatoren formt einen Vektorraum über C? Und kann man nicht z.B. aus Hamming-Abstand sich eine Norm basteln, deren Vektoraum nicht ein Körper zu grunde liegt? Hoffe mal wir reden nicht aneinander vorbei. Ein verwirrter --LustigerKreis 13:26, 9. Mär 2005 (CET)

Ohne Koerper gibt es keinen Vektorraum und ja, der Raum aller Operatoren ist ein Vektorraum. --DaTroll 13:49, 9. Mär 2005 (CET)

Ich denke auch, daß es günstiger wäre, Norm als eigenständigen Artikel zu führen und dort alle (hier gelisteten) Normen kurz anzureißen und bei Bedarf (zB Matrixnormen)in extra Artikel weiter auszuführen. Das ganze unter "normierter Raum" zu führen ist imho unsinnig und erzeugt beim nicht so versierten Leser wohl falsch Eindrücke.
Bedauerlicherweise finden sich auch im gesamten Themenkomplex der Verktorraum-Hierarchie Widersprüche. -- Sebastian (pin.or.z@gmail.com) 213.54.196.146 17:51, 5. Jun 2005 (CEST)

Manhattan-Metrik

Zur "Manhattan-Metrik": Unser Mathe-Professor (TU Wien) hat diese Metrik auch Taxifahrer-Metrik genannt. Is auch ein netter Name. (nicht signierter Beitrag von 84.112.5.163 (Diskussion) 18:28, 18. Mai 2005 (CEST))

Pseudonorm

Die momentane Erwähnung von Pseudonormen ist unverständlich, weil Pseudonormen im Körperfall dasselbe wie Normen sind (wenn ich das richtig verstehe).--Gunther 14:59, 27. Sep 2005 (CEST)

Der Begriff macht für Vektorräume keine Sinn. Das ist mir gar nicht aufgefallen, als ich die Definition von subhomogen nachgetragen habe. Man könnte wohl den ganzen Absatz über Pseudonormen löschen.--UrsZH 16:26, 27. Sep 2005 (CEST)

Leider verrät Pseudonorm auch nicht, wer das eigentlich braucht.--Gunther 17:05, 27. Sep 2005 (CEST)

Ich habe bei Benutzer:JFKCom nachgefragt und ihn gebeten, dazu etwas zu schreiben. Ich weiss selber leider auch nicht mehr.--UrsZH 18:52, 27. Sep 2005 (CEST)

Und dort habe ich auch schon ein bisschen geantwortet. Fallt bitte nicht zu schnell in Löschlaune: Was Pseudonormen genau sind, habe ich nur im dortigen Lemma genau spezifiziert (und ich gebe zu, sehr staubtrocken, ohne Anwendung und andere Nettigkeiten; will ich alles demnächst nachreichen). Die Pseudonorm lebt nämlich allgemeiner auf einem Ring, der einen Pseudobetrag (das ist die analoge Abschwächung eines Betrags) besitzt. Wenn der Ring ein Körper ist und zusätzlich der Pseudobetrag bereits ein Betrag ist, so ist die Pseudonorm auch bereits eine Norm, das müßte wohl stimmen. Kleines Beispiel zur Illustration: $\mathbb {R} [X]$ ist ein Polynomring, auf dem man z.B. den (nicht-archimedischen) Pseudobetrag $f\mapsto 2^{\deg f}$ betrachtet. Dieser eingeschränkt auf den Grundring (=Grundkörper) $\mathbb {R}$ ist der triviale Pseudobetrag $|r|=1$ für $r\neq 0$, $|0|=0$. Obwohl $\mathbb {R}$ ein Körper ist, ist dies kein Betrag. Der Pseudobetrag auf dem Polynomring ist, wenn man $\mathbb {R} [X]$ als rellen Vektorraum auffaßt, eine Pseudonorm, aber keine Norm.

Was in der Literatur ärgerlich ist: Viele Autoren nennen den Pseudobetrag "Pseudonorm" und den Betrag "Norm", womit diese für maximale Verwirrung sorgen.--JFKCom 01:11, 28. Sep 2005 (CEST)

Eine Stufe komplizierter musst Du das Beispiel schon machen: So sind das alles Beträge (:= definit, multiplikativ, Dreiecksungleichung).--Gunther 01:31, 28. Sep 2005 (CEST)

Oh, da war ich zu flapsig. Ersetze oben $\mathbb {R}$ durch einen kommutativen Ring R (der z.B. nichttriviale Nullteiler hat), und schon ist die Multiplikativität futsch (und wird zur Submultiplikativität). Ihr wolltet aber ein Beispiel in $\mathbb {R}$ sehen:

Beispiel: Polynomraum $\mathbb {R} [X]$: Kann als Vektorraum mit der 1-Norm (Summe der Beträge aller Koeffizienten) ausgestattet werden. Als Algebra (mit der faltungsartigen Polynommultiplikation) aufgefaßt ergibt sich die Submultiplikativität der 1-Norm. Als Ring (mit Polynomaddition u. -multiplikation) haben wir also einen Pseudobetrag, der kein Betrag ist. Adjungieren wir eine weitere freie Variable an diesen Polynomring (bilden also $\mathbb {R} [X][Y]$), so kann $\mathbb {R} [X]$ als Grundring mit Pseudobetrag dienen.--JFKCom 19:51, 28. Sep 2005 (CEST)

Wenn ich nun alles verstanden habe, verwendest Du also auf $\mathbb {R}$ auch noch einen anderen Betrag. Ich denke, dass das nicht klar ist und man müsste wohl noch etwas mehr dazu sagen. Soweit ich das beurteilen kann, wird der grösste Teil der Leser davon ausgehen, dass mit $|\alpha |$ die Standard-Betragsfunktion gemeint ist. In weiten Teilen der Mathematik wird das auch so gehandhabt. Den Begriff Pseudobetrag werden wohl nur wenige mit dieser Siuation in Verbindung bringen. Für den Fall, dass an dieser Stelle der Begriff Pseudonorm wirklich erwähnt werden soll (davon bin ich noch nicht restlos überzeugt), sehe ich folgende Möglichkeiten:

• Wir behandeln zuerst den speziellen Fall mit $\mathbb {R}$ oder $\mathbb {C}$ mit dem Standardbetrag (wie in der Analysis üblich) und fügen einen Abschnitt hinzu, indem auf die Situation mit Körpern mit Pseudobetrag eingegangen wird.
• Wir behandeln hier nur den speziellen Fall mit $\mathbb {R}$ oder $\mathbb {C}$ mit dem Standardbetrag und verweisen auf den Artikel Pseudonorm, wo die allgemeinere Situation mit Ringen und Pseudobeträgen behandelt wird. Ich denke hier wirklich nur an einen Verweis ohne jegliche Definition.
• Wir betrachten hier von Anfang an die allgemeine Situation und der Fall mit $\mathbb {R}$ oder $\mathbb {C}$ mit dem Standardbetrag erhält eine besondere Erwähnung als wichtiger Spezialfall.

Ich persönlich würde die zweite Variante bevorzugen.--UrsZH 09:08, 28. Sep 2005 (CEST)

Dass die letzte Möglichkeit nicht sinnvoll ist, sehen wir wohl alle so. Aber um ein Missverständnis auszuräumen: Die Begriffe "Pseudobetrag" u. "Pseudonorm" entfalten ihre Kraft erst richtig, wenn man statt Körpern allgemeiner kommutative Ringe zuläßt. Das Formulierungsproblem haben wir doch schon deshalb, weil ich diese Verallgemeinerung im Eintrag Pseudonorm bereits für die Standarddefinition verwende (in diesem Fall ist diese abstrakte Stufe auch die sinnvolle). Bei der "Norm" dagegen kann man diese Verallgemeinerung auch vornehmen, was der jetzige Artikel aber noch in keiner Weise macht (klar, da die im täglichen Leben vorkommenden Normen zu 98% über Körpern definiert sind).--JFKCom 19:51, 28. Sep 2005 (CEST)

Das Problem der aktuellen Fassung ist doch viel mehr, dass im Artikel nicht sagt wird, von welchen Voraussetzungen man ausgeht und es dem Leser überlässt, was wohl gemeint ist. So kann es passieren, dass Gunther und ich der Meinung sind, dass man $\mathbb {R}$ mit dem Standardbetrag betrachtet (die Begriff Pseudonorm und Pseudobetrag habe ich übrigens gestern das erste Mal gesehen) und unter dieser Voraussetzung zurecht bemängeln, dass der Begriff Pseudonorm keinen Sinn ergibt. Und ich denke so geht es noch vielen Lesern. Du gehst vermutlich (auf Grund Deines Wissens) schon von Anfang an von einem Pseudobetrag aus und so ergibt die Erwähnung der Pseudonorm plötzlich Sinn. Wenn Du sagst, dass die Begriffe Pseudonorm und Pseudobetrag ihre Kraft erst entfalten, wenn man kommutative Ringe zulässt, stelle ich mir die Frage, ob die in diesem Artikel wirklich hingehören.

Leider sehe ich im Moment nicht, wie Du den Artikel gestalten möchtest. Aber vielleicht sollten wir versuchen, folgende Fragen zu beantworten:

1. Woraus sollen die "Skalare" kommen: Beliebiger kommutativer Ring mit Pseudobetrag, Körper mit Pseudobetrag, Körper der reellen/komplexen Zahlen mit Standardbetrag,...
2. Wie wollen wir den Artikel aufbauen? Beginnen wir mit dem Spezialfall der normierten Vektorräume über den reellen/komplexen Zahlen und hängen einen Abschnitt über Verallgemeinerungen an (wo dann auch die Pseudonorm ihren natürlichen Platz finden würde) oder beginnen wir bereits etwas allgemeiner und wie allgemein in diesem Fall?

Ich tendiere dazu, hier nicht zu viel über die allgemeine Aussage zu sagen und stattdessen auf den Artikel Pseudonorm zu verweisen, wo das Thema umfassend behandelt wird.

Um auch da keine Missverständnisse aufkommen zu lassen, es geht mir überhaupt nicht um den Artikel Pseudonorm, und die Art wie dort Begriffe eingeführt werden, sondern nur darum, dass die aktuelle Form von normierter Raum in Teilen nicht ganz ideal ist.--UrsZH 09:22, 29. Sep 2005 (CEST)

(Ich geh' mal mit der Einrückung wieder ganz nach vorn). Schon klar, dass die jetzige "Formale Definition" hier noch ziemlich unglücklich ist. Laßt uns doch an folgender Variation des Kapitels hier einfach etwas rumbasteln, bis sie uns allen schmeckt (wir müssen hier auf der Diskussionsseite nur Überschriften vermeiden, die ich deshalb einfach fettgeschrieben habe):-JFKCom 19:59, 29. Sep 2005 (CEST)

Formale Definition (Spezialfall reelle und komplexe Vektorräume) Sei V ein Vektorraum über dem Körper $\mathbb {K}$ der reellen oder komplexen Zahlen. Eine Funktion $\|\cdot \|:V\to \mathbb {R} _{+}$ in die nichtnegativen reellen Zahlen heißt Norm auf V, wenn für alle Vektoren $x,y\in V$ und alle Skalare $\alpha \in \mathbb {K}$ die folgenden axiomatischen Bedingungen erfüllt sind:

1. $\|x\|=0\;\Rightarrow \;x=0$ (Definitheit);
2. $\|\alpha \cdot x\|=|\alpha |\cdot \|x\|$ (Homogenität);
3. $\|x+y\|\leq \|x\|+\|y\|$ (die Dreiecksungleichung).

Ein Vektorraum mit einer Norm heißt normierter Vektorraum oder normierter Raum.

Allgemeine formale Definition Den Begriff einer Norm kann man wesentlich allgemeiner betrachten, in dem man den Vektorraum V allgemeiner durch einen Modul M ersetzt:

Sei $M$ ein $R$-(Links)-Modul über einem unitären Ring mit Betrag $(R,|\cdot |)$. Eine Funktion $\|\cdot \|:M\to \mathbb {R} _{+}$ in die nichtnegativen reellen Zahlen heißt Norm auf M, wenn für alle $x,y\in M$ und alle Skalare $\alpha \in R$ die folgenden axiomatischen Bedingungen erfüllt sind:

1. $\|x\|=0\;\Rightarrow \;x=0$ (Definitheit);
2. $\|\alpha \cdot x\|=|\alpha |\cdot \|x\|$ (Homogenität);
3. $\|x+y\|\leq \|x\|+\|y\|$ (die Dreiecksungleichung).

Bemerkungen:

• Aus der Homogenität folgt $\|0\|=0$ (d.h. in 1. gilt sogar $\Leftrightarrow$) und $\|-x\|=\|x\|$.
• Wenn auf die Definitheit (Bedingung 1.) verzichtet wird, dann ist $\|\cdot \|$ nur eine Halbnorm. Aus einem Raum mit Halbnorm erhält man einen normierten Raum als Faktorraum. Dazu werden Elemente $x$ und $y$ miteinander indentifiziert, die $\|x-y\|=0$ erfüllen.
• Wenn im Grundring R der Betrag durch einen Pseudobetrag ersetzt wird (d.h. die Multiplikativität von $|\cdot |$ zur Submultiplikativität abgeschwächt wird) und im Modul M die Homogenität von $\|\cdot \|$ zur Subhomogenität abgeschwächt wird, erhält man den Begriff der Pseudonorm. Subhomogenität bedeutet, dass $\|\alpha \cdot x\|\leq |\alpha |\cdot \|x\|$ für alle Vektoren $x$ und jeden Skalar $\alpha$ gilt.

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Diesen Vorschlag finde ich echt gut. Ich hätte es wohl nicht annähernd so gut hingekriegt. Ich bin dafür, dass man dies in den Artikel überträgt.--UrsZH 08:59, 30. Sep 2005 (CEST)

Kleinigkeit: $\mathbb {R} _{+}$ kann entweder $x>0$ oder $x\geq 0$ bedeuten; die Notation $\mathbb {R} _{\geq 0}$ ist nicht erklärungsbedürftig und damit vorzuziehen.--Gunther 11:13, 30. Sep 2005 (CEST)

Wegen der Zweideutigkeit hatte ich eigentlich die Prosa "... in die nichtnegativen reellen Zahlen ..." eingefügt. Die Schreibweise $\mathbb {R} _{\geq 0}$ wirkt auf mich etwas exotisch; ich kenne sie aus keinem Buch, nur von hier aus der Wikipedia (oder ist das auch schon ein Buch? grins). Wenn Euch $\mathbb {R} _{\geq 0}$ besser gefällt, tippt es fröhlich oben rein, ich habe da kein Problem damit.--JFKCom 17:11, 30. Sep 2005 (CEST)

Ich habe schon alle Varianten gesehen und soweit ich mich erinnere mit allen möglichen Definitionen, die halbwegs passen. Ich würde aber auch $\mathbb {R} _{\geq 0}$ bevorzugen, weil es wohl die klarste Bezeichnung ist..--UrsZH 19:29, 30. Sep 2005 (CEST)

So, hab' jetzt die obige Version mit der $\mathbb {R} _{\geq 0}$-Änderung reingeklatscht. Nun sollten wir aber geschwind zu der weiteren großen Problematik dieser Seite gehen: Meiner Meinung nach sind 80% dieser Seite in einen eigenen Artikel "Norm (Mathematik)" auszugliedern (s. obigen Diskussionspunkt, der leider irgendwie vom Thema abkam).--JFKCom 21:32, 1. Okt 2005 (CEST)

Jetzt ist $\mathbb {R} _{+}$ wieder drin. Ich halte $\mathbb {R} _{0}^{+}$ wirklich für klarer (steht auch so in Norm (Mathematik)) und ändere es jetzt entsprechend. -- UKoch (Diskussion) 16:18, 7. Jan. 2015 (CET)

Norm auslagern

Ich habe obige Diskussion nochmals nachgelesen. Mir ist nicht ganz klar, was Du auslagern willst und was Du genau damit bezweckst. Meiner Meinung nach kann man die Begriffe Norm und normierter Raum nicht wirklich voneinander trennen. Bei jeder Norm habe ich eine Menge, auf der diese definiert ist, und diese wird dann zu einem normierten Raum. Was allenfalls Sinn ergeben könnte, einzelne speziellen Normen, die wesentlich mehr Eigenschaften haben (wie die oben erwähnten Matrixnormen) auszulagern, weil da wohl vieles zu sagen wäre, was nicht mehr mit allgemeinen Normen zu tun hat.--UrsZH 22:47, 1. Okt 2005 (CEST)

Vgl. Portal_Diskussion:Mathematik#Listen_von_Redirects.--Gunther 22:50, 1. Okt 2005 (CEST)

Ich klinke mich dort drüben ein.--JFKCom 23:12, 1. Okt 2005 (CEST)

Die Diskussion dort ist schon ein bissel her, und eigentlich hier ohnehin besser aufgehoben.--Gunther 23:14, 1. Okt 2005 (CEST)

1) Schon zu spät, aber dann kehre ich eben hier zurück.

2) Warum eigentlich? Ist das Thema nicht ein übergreifendes (z.B. Metrik / metrischer Raum, Topologie / topologischer Raum, Wahrscheinlichkeit / Wahrscheinlichkeitsraum etc.).--JFKCom 23:37, 1. Okt 2005 (CEST)

Mir war nicht klar, dass Du diesen allgemeinen Punkt in Frage stellen wolltest. Zu diesem siehe dort. Ich wollte nur darauf hinweisen, dass es schon eine kurze Diskussion zur Frage gab, ob man die Beispiele für Normen auslagern sollte, und sie zu dem Ergebnis kam, dass man das für die Matrixnormen definitiv tun sollte.--Gunther 23:49, 1. Okt 2005 (CEST)

Absoluter Betrag

hallo Gunther. betrifft: gelöschte links

eigentlich ist mit nicht klar, wieso eine "Norm auf einem Körper" keine Norm (Körpererweiterung) ist, wo doch Absoluter Betrag ausdrücklich in beiden artikeln als spezialfall angeführt ist.. wie auch immer: was ist der unterschied zwischen der Norm eines Raumes und der auf einen Körper? der einleitungssatz hier sagt "Der mathematische Begriff der Norm": wenn beide gleich wären, gäb's ja keine probleme, die zwei zu verlinken, wenn aber nicht, gibt's da einen interdisziplinären "Kampf" um einen Begriff, und umsomehr sollten die beiden auf einander verweisen, um dem leser zu erklären, was eine "Norm (Mathematik)" ist (über die erwähnung auf der BKL Norm hinaus). --W!B: 21:34, 14. Okt 2005 (CEST)

Hm, eigentlich sollte ja aus den beiden Artikeln hervorgehen, dass es zwei verschiedene Begriffe sind :-( Die Norm im Kontext von Körpererweiterungen ist keine wählbare Abbildung, sondern durch die Körpererweiterung bestimmt. Der Absolutbetrag ist keine Norm im Sinne der Körpererweiterungen; das Quadrat des Absolutbetrages ist die Norm von $\mathbb {C}$ über $\mathbb {R}$.

Rein formal ist das auch der einzige gemeinsame Spezialfall: Normen von normierten Räumen haben Zielmenge $\mathbb {R}$, und die einzige Körpererweiterung von $\mathbb {R}$ ist $\mathbb {C}$.--Gunther 19:59, 15. Okt 2005 (CEST)

hilf mir: wird bei einer Koordinatentransformation eine Skalierung durchgeführt, so wird zwar $D\equiv {\mathbb {R} }$ auf ${\bar {D}}\equiv {\mathbb {R} }$ abgebildet, aber ${\bar {D}}$ ist formal eine Teilmenge von $D$, folglich $D$ eine Körpererweiterung von ${\bar {D}}$ - soweit die Definition in Körpererweiterung. Die Abbildung $x\in D\to {\bar {x}}\in {\bar {D}}={x \over d}$ - also die Normalisierungs-Vorschrift - ist laut Norm (Körpererweiterung) also die "körpertheoretische" Norm von ${\mathbb {D} }$.

Da aber jede x-Koordinate eines Punktes $|x|\cdot \pm {{\vec {e}}_{0}}\to |{\bar {x}}|\cdot \pm {{\vec {\bar {e}}}_{0}}$ abgebildet wird, ist also die Vorschrift auch die "vektorielle" Norm auf den normierten Raum $D$ - was ja der intuitiven Vorstellung von "Normieren" entspricht. dann ist aber jede Skalierung gemeinsamer Spezialfall, was ja zu erwarten ist, da eine Zahlenebene sowohl als Vektorraum als auch als Körper aufgefasst werden kann, insbesondere die Norm des Normierens in beiden Disziplinen funktioniert. oder hab ich den Begriff "Norm" noch immer nicht verstanden? --W!B: 22:41, 15. Okt 2005 (CEST)

Du hast vor allem den Begriff "Körpererweiterung" nicht verstanden. Die Inklusionsabbildung muss ein Körperhomomorphismus sein, das trifft auf $x\mapsto {\frac {x}{d}}$ nicht zu (da im allgemeinen ${\frac {x}{d}}\cdot {\frac {y}{d}}\neq {\frac {xy}{d}}$). Es gibt keinen Körperhomomorphismus $\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ außer der Identität.--Gunther 23:13, 15. Okt 2005 (CEST)

Ah..! Ich danke sehr, das war die bildungslücke --W!B: 05:17, 20. Okt 2005 (CEST)

Ich sehe schon, dass ich da eh' mitten in eine umfangreichere Diskussion geplatzt bin (!) um die Frage "Norm (Mathematik)" - erfüllen Normalisierung und Skalieren (bzw. Normieren) die Bedingungen, die an eine "Norm" gestellt werden??

"Jede Norm [...] induziert [...] eine Metrik." (Normierter Raum#Beispiele: durch Normen erzeugte Metriken) .. das wäre eigentlich der satz, den ich unter dem Schlagwort "Norm (Mathematik)" erwartet hätte (vgl #Norm auslagern und JFKCom 23:13, 1. Okt 2005 (CEST) in Portal_Diskussion:Mathematik#Listen_von_Redirects) - ist das als Definition für "Norm" richtig? gilt dieser Satz auch für die Norm der Körpertheorie?? --W!B: 05:17, 20. Okt 2005 (CEST)

Nein, das ist keine Definition des Begriffes Norm, sondern nur eine seiner Eigenschaften. Und nein, Normen von Körpererweiterungen (der Einfachheit halber: KNorm) induzieren i.a. keine Metrik. Ich habe unter Norm (Körpererweiterung) mal zwei Beispiele hinzugefügt, das mittlere zeigt ein paar Eigenschaften, die auf Normen normierter Räume (kurz: RNorm) nicht zutreffen: Die KNorm von $1+{\sqrt {2}}$ bezüglich der Körpererweiterung $\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})/\mathbb {Q}$ ist $1^{2}-2\cdot 1^{2}=-1<0$, also ist diese KNorm selbst keine RNorm und auch nicht das Quadrat einer RNorm.--Gunther 11:55, 20. Okt 2005 (CEST)

Gut so! Das hat (mir) viel gebracht! Den neuen Einleitungsatz von SirJective finde ich so prägnant, daß ich ihn analog auch in Normierter Raum gestellt habe, und KNorm, RNorm in Norm, sowie Körpernorm redir. Vielen Dank für die "Nachhilfestunde"! --W!B: 02:22, 23. Okt 2005 (CEST)

übrigens ist erstaunlicherweise Körpererweiterung nicht nach Norm (Körpererweiterung) verlinkt! --W!B: 03:31, 23. Okt 2005 (CEST)

Der Artikel Körpererweiterung ist schon ziemlich umfangreich. Ich bin nicht sicher, dass es gut wäre, möglichst viele Begriffe, die mit Körpererweiterungen zu tun haben, in diesem Artikel zu erwähnen: Komplexe Zahl verweist auch nicht auf jeden Artikel, in dem sie eine wichtige Rolle spielen. ;)

Zu meinem neuen Einleitungssatz möchte ich noch loswerden, dass beide Begriffe noch verallgemeinerbar sind, und die Bezeichnungen Vektornorm und Körpernorm nur eine Richtung vorgeben: Man kann die Körpernorm verallgemeinern, indem man anstelle einer Körpererweiterung eine endlichdimensionale Erweiterung freier Moduln verwendet und dort Determinanten von Endomorphismen (als Verallgemeinerung der Linksmultiplikationen) betrachtet. Dieser Exkurs gehört aber eher ans Ende von Norm (Körpererweiterung) - ich kenne nur keinen anderen Namen dafür außer relative Norm. ;) --SirJective 18:37, 23. Okt 2005 (CEST)

Noch ein anderes Problem mit der augenblicklichen Fassung des Artikels: Nach dem Abschnitt "Definition" sind Normen für Vektorräume definiert. Demgemäß ist die Betragsfunktion höchstens dann eine Norm, wenn $\mathbb {R}$ als arithmetischer Vektorraum über sich selbst aufgefasst wird. Das Problem tritt auch dann auf, wenn von Körpererweiterungen abgesehen wird. Das ist aber nicht erwähnt (und geht auch nicht aus der Schreibweise vor). Oder ist "Norm" nicht nur für Vektorräume und Moduln, sondern auch (als innere Struktur) für Körper definierbar? Kluge Kommentare hierzu? --Psychironiker 23:22, 23. Aug. 2011 (CEST)

Tschebyschew-Norm

Hallo, ich habe in einem PDF [[1]] gelesen, dass die Tschebyschew-Norm der manhattan-Norm entspricht (also $\|x\|_{1}$) und nicht, wie in dem Artikel steht, der Maximumnorm ($\|x\|_{\infty }$). Was ist denn nun eigentlich richtig? Und was ist die Supremum-Norm? --Cepheiden 18:43, 29. Nov 2005 (CET)

Dein Link funktioniert nicht. Es ist aber so, dass die Tschebyschew-Norm die Supremumsnorm (Supremum aller Komponenten-Beträge) ist; die Maximum-Norm ist einfach der Spezialfall der Supremumsnorm im endlich-dimensionalen Fall, wo man stets sicher ist, dass das Supremum der endlich vielen Werte gleich ihrem Maximum ist.--JFKCom 22:32, 25. Jan 2006 (CET)

Definitheit

Die Eigenschaft $\|x\|=0\;\Leftarrow \;x=0$ ist eine Konsequenz der Homogenität (wie in den Bemerkungen ja auch erläutert) und gehört daher nicht zur Definition. --Rotkraut 21:43, 25. Jan 2006 (CET)

Ich würde eher sagen: Deshalb ist es egal, ob man es dazuschreibt oder nicht.--Gunther 21:44, 25. Jan 2006 (CET)

Nein. Erstens muß man jede Eigenschaft, die zur Definition gehört, eigens zeigen, wenn man überprüfen will, ob eine gegebene Abbildung eine Norm ist. Deshalb sollte man Definitionen immer so knapp wie möglich halten. Zweitens würde diese Eigenschaft - wenn man sie denn in die Definition der Norm nehmen wollte - nicht zur Definitheit, sondern zur Homogenität gehören. Die Abbildung n(x) := ||x||+1 ist durchaus positiv definit, aber nicht homogen. --Rotkraut 21:36, 7. Feb 2006 (CET)

Definitionen müssen nicht minimal sein und sind es häufig auch nicht (z.B. müsste man auch nicht fordern, dass die Norm nichtnegative Werte hat, das folgt aus Homogenität und Dreiecksungleichung; ein extremeres Beispiel ist das so genannte Oktahedralaxiom, bei dem man nach rund 30 Jahren festgestellt hat, dass es überflüssig ist). Nach meiner Vorstellung beinhaltet die Definitheit auch $\|0\|=0$, genau wie es zu einer Metrik gehört, dass $d(x,x)=0$ gilt; in letzterem Falle kann man ja meist auch gar nicht von Homogenität reden. Auf ein Beispiel, in dem der Beweis von $\|0\|=0$ einen erwähnenswerten Aufwand darstellt, wäre ich gespannt.--Gunther 11:49, 8. Feb 2006 (CET)

Überprüfung Spektralnorm

Hallo

Ich wollte mal eine Überprüfung der Angaben zur Spektalnorm anregen. Mir, und auch anderen Leuten, ist aufgefallen das es bei der Spektralnorm unterschiedliche Angaben zur Berechnung gibt. Einmal wir die Adjungierte und ein anderes Mal die Transponierte Matrix zu A angegeben. Da ich kein Mathematiker bin überlasse ich das dann mal lieber anderen das nochmals zu überprüfen. Spektralnorm

Patrick

Das kommt daher das bei reellen Matrizen das Adjungieren einen Matrix genau dem Transponieren der Matrix entspricht. (siehe Adjungierte Matrix) Und leider wird oft nur der (für die praxis relevanteste) Fall der reellen Matrizen behandelt, für die man die Spetktralnorm dann auch so definieren kann. Wdvorak 23:30, 20. Aug 2006 (CEST)

Matrixnorm

Auf der Seite steht, dass alle Matrixnormen submultiplikativ sind. Das stimmt aber nicht (allerdings alle von einer Vektornorm induzierten Matrixnormen). 18:36, 30.10.2006 (CET)

Doch, es ist sogar Teil der Definition einer Matrixnorm. --P. Birken 22:49, 30. Okt. 2006 (CET)

Es hängt wohl am Verständnis vom Begriff "Matrixnorm". Die gängigen p-Normen auf Matrizenalgebren sind jedenfalls nur für gewisse p submultiplikativ (siehe Pseudonorm für genaueres); wenn man diese auch als "Matrixnormen" bezeichnen würde, wäre der Widerspruch da.--JFKCom 23:54, 30. Okt. 2006 (CET)

Eine Matrixnorm ist eine submultiplikative Norm auf dem Raum der Matrizen. Normen auf dem Raum der Matrizen, die nicht submultipplikativ sind, heissen nicht Matrixnorm. Verwirrend wird das ganze dadurch, dass Matrixnorm ein Redirect auf den Artikel hier ist und das Thema hier gar nicht so richtig hingehoert. --P. Birken 08:58, 31. Okt. 2006 (CET)

folgende frage sollte man explizit beantworten: ist die von einer vektornorm induzierte matrixnorm im allgemeinen NUR mit dieser vektornorm vertraeglich? 193.49.162.7 12:32, 16. Jun. 2008 (CEST)

Zusammenhänge zwischen den p-Normen

Was bedeutet das n in den Gleichungen? das ist nirgendwo erklärt.--Axel Wagner 23:23, 25. Dez. 2007 (CET)

Ohne schauen zu müssen: $n$ ist bei Normen (normalerweise fast immer) die Dimension des betrachteten Vektorraumes. Das steht da bestimmt auch irgendwo. --χario 12:52, 27. Dez. 2007 (CET) PS: Ja, nämlich drei Sätze drüber in der Einleitung von Normierter_Raum#p-Normen.

Für $q>p\geq 1$ gilt $\|x\|_{p}\geq \|x\|_{q}$. Irgendein Experte hat das wieder raus gelöscht, da das angeblich widersprüchlich zu dem Teil drueber ist. Ich sehe da keinen Widerspruch außerdem bin ich mir sicher, dass es gilt.

Das war ich, könnte sein, dass ich mich verlesen habe und p und q im Index verwechselt hab, deswegen fand ichs nicht plausibel. Wenn sich noch jemand dazu äußert (oder Quelle?) mach ichs heute abend wieder rein ;-). Kein Rev.- Terror meinerseits geplant --χario 10:41, 23. Jan. 2008 (CET)

• hier ist eine Beweisskizze Acren 17:19, 24. Jan. 2008 (CET)

Hey, das ist cool. Danke für den Link! Ich entschuldige mich für vorschnelles Revertieren und habs rückgängig gemacht. --χario 21:43, 24. Jan. 2008 (CET)

Hmm, unabhängig vom Artikel, ist der Beweis von dir? In der zweiten Zeile wird das 1/p² rausgezogen - da müsste aber der hintere Summand noch mit p multipliziert werden... Dann wird die Abschätzung um einiges schwerer, oder? Oder übersehe ich was? --χario 22:33, 24. Jan. 2008 (CET)

Ich habe das p in die Summe und dann in den Exponent vom Logarithmus gezogen. Die Norm ist übrigens nur monoton fallend (ein Gegenbeispiel im $R^{n}$ ist $e_{1}$). (Der vorstehende, nicht signierte Beitrag stammt von 85.181.81.118 (Diskussion • Beiträge) 13:24, 25. Jan 2008) χario 14:00, 25. Jan. 2008 (CET)

Yeah, jetzt seh ichs, merci. Das streng war irgendwie mit reingerutscht... --χario 14:00, 25. Jan. 2008 (CET)

Definitionen der Weiterleitungen auslagern

Dieser Artikel befasst sich nun mit einigem! "Norm (Mathematik), Vektornorm, Halbnorm (Seminorm), Operatornorm, Matrixnorm und Frobeniusnorm" werden hier abgehandelt. Ich bin vor Kurzem zum ersten mal auf die Seite gestoßen und hatte den Eindruck hier auf einen sehr überladenen Artikel zu stoßen. Meint ihr, es ist aus diesem Grund vielleicht sinnvoll gesondert Artikel beispielsweise für Vektornormen, Matrixnormen etc. anzulegen? --92.228.77.188 14:05, 9. Dez. 2008 (CET)

Hierzu passt auch, dass bereits die Seite Euklidische Norm existiert. Sie beinhaltet nicht mehr Informationen, als im Abschnitt Normierter Raum#Euklidische Norm angegeben. Würde ein Redirect zu Normierter Raum#Euklidische Norm da nicht mehr Sinn machen? -- Nuke160 23:07, 6. Feb. 2010 (CET)

Siehe dort. -- Pberndt _(DS) 00:26, 7. Feb. 2010 (CET)

Ich bin auch der Ansicht, dass zu diesem Thema ein paar weitere Lemmata wie zum Beispiel Operatornorm und Halbnorm von Nöten sind. Um den Artikel Operatornorm würde ich mich auch selbst kümmern. --Christian1985 03:05, 7. Feb. 2010 (CET)

Fehler

Hinweis auf Fehler: Die Aussage, dass alle Normen auf endlich dimensionalen Vektorräumen äquivalent seien, ist so falsch (jedenfalls wenn man Normen über bewerteten Körpern betrachtet). Die Vollständigkeit des Grundkörpers ist dann notwendig. So gibt es auf den rationalen Zahlen adjungiert sqrt(5) als (2-dim.) VR über Q nicht-äq. Normen. [ PS. Sorry, kenne mich nicht mit Gepflogenheiten der Diskussionsseiten aus. ] (nicht signierter Beitrag von 87.189.4.222 (Diskussion) 21:53, 28. Februar 2009 (CEST))

Schur Norm == Frobenius Norm

http://www.tu-harburg.de/ins/lehre/glossar/s.html (nicht signierter Beitrag von 85.179.196.142 (Diskussion | Beiträge) 11:49, 18. Sep. 2009 (CEST))

Veranschaulichung in der Ebene

Hey,

mir fehlen da die Normen mit 0 < p < 1 sowie 2 < p < ∞. So in etwa stelle ich mir das vor:

Sicher noch überarbeitungswürdig, da man auf dem Thumbnail so nicht so viel erkennt. Aber die Idee sollte rüberkommen.

Was haltet ihr davon? -- Pberndt _(DS) 19:24, 31. Okt. 2009 (CET)

finde ich schön anschaulich! (nicht signierter Beitrag von 84.133.149.73 (Diskussion | Beiträge) 22:37, 10. Dez. 2009 (CET))

Die "p-Norm" für 0 < p < 1 ist keine Norm. Aus der Dreiecksungleichung folgt, dass Normbälle konvex sind. -- Digamma 22:45, 29. Dez. 2010 (CET)

p = 2: Euklidische Norm

tach zusammen. im artikel steht zur p=2-norm:

   * Die 2-Norm $\|x\|_{2}={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}|x_{i}|^{2}}}$

wieso denn |x_i|? ist das wirklich so definiert? ich habe es zumindest so nicht in erinnerung, aber abi ist ja schon ein weilchen her. oder heist es nicht eher x_i? das quadrat macht den betrag doch wohl überflüssig, was aber nicht zwingend heist, dass es nicht zur definition gehört. dennoch kenne ich das nur ohne betrag im inneren, wofür auch spricht dass der ganze ausdruck meineserachtens die definition betrages (betragsnorm=euklidische norm) sein soll. die formel mit betrag im inneren ist also sowas wie eine zirkuläre referenz (aussen wird für n dimensionale vektoren definiert, im innerern aber wird die definition für n=1 schon als bekannt vorausgesetzt), oder um es mit lucie van peltz zu sagen: eine chrysantheme ist eine chrysantheme ist eine chrysantheme. signum: pizzazz, 10.12.2009 (nicht signierter Beitrag von 84.133.149.73 (Diskussion | Beiträge) 22:37, 10. Dez. 2009 (CET))

Der Betrag im inneren wird wichtig, sobald die $x_{i}$ keine reellen Zahlen mehr sind. Naheliegenstes Beispiel für die Notwendigkeit des Betrages ist ein komplexer Vektorraum. In $\mathbb {C} ^{3}$ hätte der Vektor $(1+i,0,0)$ ohne die Betragsstriche die Norm $1+i$, entgegen der Forderung, dass eine Norm mach $\mathbb {R}$ abbilden soll. Mit Betragsstrichen innen hat er dagegen die Norm ${\sqrt {2}}$, wie man's erwartet. -- Pberndt _(DS) 23:45, 10. Dez. 2009 (CET)

Äquivalenz von Normen

Auf einem endlichdimensionalen Vektorraum über den reellen oder komplexen Zahlen, also z.B. auf $\mathbb {R} ^{n}$, sind alle Normen äquivalent.

Waere hier nicht ein Beweis angebracht, oder eine Beweisskizze (je nach Umfang)? --Chromate 15:18, 17. Jul. 2010 (CEST)

Naja Wikipedia ist kein Beweisarchiv, sondern stellt eher die Resultate dar. --Christian1985 15:37, 17. Jul. 2010 (CEST)

Wie wäre es denn damit einen Beweis ins Beweisarchiv zu stellen und selbigen dann zu verlinken? --93.129.178.128 16:52, 11. Apr. 2011 (CEST)

Ja das wäre sehr gut! --Christian1985 (Diskussion) 17:34, 11. Apr. 2011 (CEST)

Äquivalenz von Normen auf Q^n

Im Text stand "Dagegen gibt es beispielsweise auf ${\mathbb {Q} }^{n}$ Normen, die nicht äquivalent sind". Wahrscheinlich waren hier die p-adischen Bewertungen gemeint. $\mathbb {Q} ^{n}$ ist aber weder ein $\mathbb {R}$- noch ein $\mathbb {C}$-Vektorraum, von denen hier offenbar die Rede ist. Daher müsste diese Aussage weiter erläutert werden. Ich habe diesen Satz deshalb bis auf weiteres entfernt.--FerdiBf 13:11, 5. Jun. 2011 (CEST)

Ähm, du hast den Satz nicht entfernt. --Daniel5Ko 14:04, 5. Jun. 2011 (CEST)

$\|(x,y)\|=|x-ya|$ für a irrational ist eine Halbnorm auf R^2, deren Einschränkung auf Q^2 definit ist. (nicht signierter Beitrag von 84.166.246.18 (Diskussion) 09:32, 9. Jun. 2011 (CEST))

Weitere Bilder

Man kennt immer diese Standardbeispiele (1-Norm, 2-Norm, Maximumsnorm). Ich habe nun auch einmal Bilder des Einheitskreises in anderen Normen angefertigt:

• 
  Einheitskreis der 1,5-Norm
• 
  Einheitskreis der 2,5-Norm
• 
  Einheitskreis der π-Norm

Was haltet ihr davon? Ich habe die Bilder natürlich auch für die Standardbeispiele und kann auch beliebige andere anfertigen, die würde ich dann auch noch hochladen, falsch erwünscht. --Jobu0101 18:37, 19. Aug. 2011 (CEST)

Ich finde die Bilder hübsch. Bau sie doch ein, etwas kleiner halt. -- UKoch 15:01, 7. Sep. 2011 (CEST)

p = 2: Euklidische Norm

Unter p = 2: Euklidische Norm steht: Die Menge aller Vektoren mit Norm 1 bildet ... im $\mathbb {R} ^{n}$ die (n-1)-dimensionale Einheitssphäre. Ist es wirklich nicht die n-dimensionale Einheitssphäre? Für n = 2 ist es der Kreis, etc. -- UKoch 15:00, 7. Sep. 2011 (CEST)

Hallo, ich denke du verstehst unter Kreise nicht die runde Fläche, sondern den Rand, der sie begrenzt. Dieser ist eindimensional, man kann nämlich jede offene Umgebung des Kreisrandes auf $\mathbb {R} ^{1}$ homöomorph abbilden. --Christian1985 (Diskussion) 15:23, 7. Sep. 2011 (CEST)

O ja, dumm von mir. Hätte mir schon beim Kreis-Bsp. auffallen müssen. Schäm... -- UKoch 02:53, 10. Sep. 2011 (CEST)

Geschichte

Bitte nochmal checken, ob Minkowski nicht doch die Einheitskugel als Eichkörper bezeichnet hat, sonst passt's nicht mit der Konvexität. Danke! -- HilberTraum 15:07, 17. Dez. 2011 (CET)

Das Buch spricht vom Einheitskreis als Beispiel für einen Eichkörper, aber ob hier der Einheitsvollkreis gemeint ist, ist mir nicht so richtig klar. Viel mehr habe ich allerdings die Randbemerkung "(Konvexität bedeutet dabei Gültigkeit der Dreiecksungleichung, Zentralsymmetrie bedeutet: |x| = |−x|.)" überlesen. --Christian1985 (Diskussion) 15:34, 17. Dez. 2011 (CET)

Ich habe das hier gefunden [2], also dürfte schon der "Vollkörper" mit Norm $\leq 1$ gemeint sein. -- HilberTraum 15:52, 17. Dez. 2011 (CET)

Ja, wie man nachliest, ist der Eichkörper im minowskischen Sinne schon die Einheitskugel. Ich würde dazu noch einen kurzen Satz als Fußnote in Norm (Mathematik)#Normkugeln ergänzen. Bei der Gelegenheit hätte ich noch eine Anmerkung zum Artikel Einheitssphäre: in der Einleitung steht nur was zur Verallgemeinerung der Kugel auf allgemeine Dimensionen, nicht aber auf allgemeine Metriken. Sollte man das dort nicht noch ergänzen? Viele Grüße, --Quartl 16:13, 18. Dez. 2011 (CET)

Ich kenne die Einheitssphäre nur bzgl der euklidischen Metrik.--Christian1985 (Diskussion) 16:47, 18. Dez. 2011 (CET)

Dann müsste man den Abschnitt Einheitssphäre#In metrischen Räumen entfernen. Viele Grüße, --Quartl 17:00, 18. Dez. 2011 (CET)

Oh ja das wäre konsequent, insbesondere da keine Quellen vorhanden sind. Ich warte mal noch ne Weile bevor ich das entferne, vielleicht verfolgt noch jemand die Diskussion und kennt Quellen. --Christian1985 (Diskussion) 17:12, 18. Dez. 2011 (CET)

Ich habe ein wenig gegoogelt: zumindest für allgemeine Normen wird der Begriff Einheitssphäre schon häufig verwendet: [3] [4] [5] [6]. Für allgemeine Metriken habe nur den Begriff Sphäre gefunden [7] [8]. Viele Grüße, --Quartl 20:16, 18. Dez. 2011 (CET)

Ich ergänze jetzt einfach mal im Artikel Sphäre "und auf allgemeine Metriken". @Christian: Zumindest auf Riemannschen Mannigfaltigkeiten spricht man auch von (Einheits-)Sphären. --Digamma 20:37, 18. Dez. 2011 (CET)

Danke! Was mich jetzt noch ein wenig stört ist, dass wir derzeit drei Artikel

• Kugel: weitgehend 3D, am Ende auch nD, aber immer Euklidisch
• Einheitskugel: für allgemeine normierte Räume
• Sphäre (Mathematik): Euklidisch nD und für allgemeine metrische Räume

haben, aber keinen eigenen Artikel Einheitssphäre. Irgendwie passt das alles nicht sonderlich gut zusammen. Viele Grüße, --Quartl 21:56, 18. Dez. 2011 (CET)