Diskussion:Operatorenrechnung nach Mikusiński

Kleinigkeiten

Sehr guter und vor allem interessanter Artikel; mir sind ein paar mathematische Details aufgefallen:

1. Am Ende von "Schritt 1" haben wir einen kommutativen Ring ohne 1. Dieser wird mit dem Satz von Titchmarsh nullteilerfrei, was ihn aber nicht zum Integritätsbereich (verweist auf Integritätsring, also synonym zu diesem) macht. Macht aber nix, man kann ja trotzdem den Quotientenkörper bilden. Siehe ebenso "Schritt 2" am Anfang.
2. Bei "Der Differentialoperator": Was bedeutet $f(0+)$? Rechtsseitiger Grenzwert (macht nicht so recht Sinn, wenn man ohnehin Stetigkeit hat)? Und die Funktion $f$ sollte wohl auch stetig diff'bar sein.

84.189.32.30 18:53, 12. Dez. 2016 (CET)

Zu 1.: Das ist ein Problem der Definition des Integritätsbereichs. Wie in dem dazugehörigen verlinkten Artikel schon bemerkt wird, definieren manche Autoren (z. B. Gerhard Wunsch: Algebraische Grundbegriffe. Verlag Technik, Berlin 1970, DNB 458706388. ) diesen ohne Einselement. Das war bei der von mir verwendeten Literatur der Fall. Ich füge eine entsprechende Bemerkung hinzu.

Zu 2.: Die betrachteten Funktionen können ja bei $t=0$ eine Unstetigkeitsstelle besitzen, weil sie praktisch für $t<0$ als 0 definiert werden. Um den „Anfangswert“ $f(0)$ vom Wert bei $t<0$ zu unterscheiden, wird manchmal in der Literatur $f(0+)$ oder $f(+0)$ geschrieben. Ich werde es wegen der rechtsseitigen Stetigkeit trotzdem ändern. --Reseka (Diskussion) 21:44, 13. Dez. 2016 (CET)

Relevanz?

Für mich hört sich das sehr nach "algebraischem Unsinn" an... Zumal sich die Frage stellt, weshalb der Kalkül überhaupt entwickelt wurde. Seit den 1930er Jahren gibt es die Theorie der unbeschränkten Operatoren nach von Neumann und Stone. Damit (und mit später entstandenen Verallgemeinerungen wie dem SNAG-Theorem) kann kann zum Beispiel Ausdrücken wie ${\frac {2{\sqrt {-\Delta }}+2{\frac {\partial ^{2}}{\partial x\,\partial y}}}{-\Delta +1}},\quad \tan(\Delta ),\quad \Theta (\Delta )$ eine klare Bedeutung geben, auch die in der Physik auftretenden Operatoren $-{\frac {1}{2}}\Delta +{\frac {1}{\vert {\vec {x}}\vert }},\quad -{\frac {1}{2}}\Delta +\delta ({\vec {x}})$ sind greifbar, als Operatoren mit klar definiertem Definitionsbereich und klar definierter Wirkung, deren Spektrum man untersuchen kann, usw. Genauer gesagt, kann jede messbare Funktion eines Operators bzw. einer Familie kommutierender Operatoren gebildet werden. Auch dafür braucht man keine Fouriertransformation oder Laplace-Transformation. Im Unterschied zu dieser Operatorenrechnung nach Mikusiński wird diese Theorie auch tatsächlich angewandt in der mathematischen Physik, bis heute, und es existiert eine breite Lehrbuchliteratur (z.B. Teschl Mathematical Methods in Quantum Mechanics, Reed/Simon Methods of Modern Mathematical Physics Vols. 1 - 4, Werner Funktionalanalysis, ...). Darauf wird überhaupt nicht eingegangen, es wird nur ein Vergleich zum Heaviside-Ansatz gezogen. Im Artikel wird überhaupt nicht erwähnt, wie man mit dieser Operatorenrechnung irgendwas machen kann, außer Objekte zu definieren. Wenn ich richtig verstehe, wie die Theorie aufgebaut ist, kann auch gar nicht mehr herauskommen: Es wird ja nur formal ein Integritätsring zu einem Körper erweitert, ohne dass dieser Körper in irgendeiner Weise analytisch charakterisiert wird. Auch der eingeführte Konvergenzbegriff wirkt extrem willkürlich. Was heißt Konvergenz "im klassischen Sinne"? Punktweise? Hat dieser Konvergenzbegriff irgendwelche Konsequenzen? Zum Beispiel in der Operatortheorie betrachtet man Konvergenz im starken und Norm-Resolventensinn, im letzteren Falle kann man zum Beispiel zeigen, dass das Spektrum des Operatorgrenzwertes mit dem Mengenlimes der Operatorspektren übereinstimmt, im ersteren Falle ist es zumindest darin enthalten. --138.246.2.201 21:23, 1. Feb. 2018 (CET)

Am Anfang des Artikels kommt leider nicht klar zum Ausdruck, dass es sich bei der Operatorenrechnung nach Mikusiński um eine Operatorenrechnung der Elektrotechnik und der Systemtheorie der Nachrichtentechnik handelt. Ich werde diese Information ergänzen. Diese Operatorenrechnung wird also insbesondere zur „Behandlung“ von linearen zeitinvarianten Systemen eingesetzt (wie die Beispiele zeigen). Sie wurde als „Ersatz“ der Laplace-Transformation entwickelt und hat die gleichen Einsatzgebiete wie diese. Wie im Artikel dargestellt, konnte sie die Laplace-Transformation aus verschiedenen Gründen weder in der Theorie (ein Versuch waren die angeführten Lehrbücher von Peter Vielhauer) noch in der Praxis „ablösen“. Ein Hauptgrund dafür wird in der fehlenden mathematischen Ausbildung der Ingenieure der Elektrotechnik gesehen. Zum Vorwurf des "algebraischem Unsinns" (wie du es nennst) habe ich bisher noch keine Literatur gefunden. Übrigens der Begriff des Operators der Funktionalanalysis war und ist den meisten Ingenieuren völlig unbekannt. Ich finde ihn beispielsweise erst im Band V des Lehrgangs der höheren Mathematik von Smirnow. Da sich dieser Artikel mit der Operatorenrechnung nach Mikusiński befasst, muss er auf die von dir angesprochenen Themen nicht unbedingt eingehen. Jedoch halte ich die Ergänzung geeigneter Wikilinks auf entsprechende (existierende) Artikel für angebracht. --Reseka (Diskussion) 21:35, 2. Feb. 2018 (CET)