Eigenschaft R

Eigenschaft von Knoten

Eigenschaft R ist eine Eigenschaft von Knoten, die nach Gabai's Property R Theorem (vormals Property R conjecture) allen Knoten zukommt und die besagt, dass 0-Chirurgie an einem Knoten nur für den Unknoten ergibt. Diese Eigenschaft ist in der niedrig-dimensionalen Topologie von Bedeutung, unter anderem bei der Berechnung von Seiberg-Witten-Floer-Homologie- und Heegaard-Floer-Homologie-Gruppen.

Unknoten

Motivation

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Dehn-Chirurgie ist ein auf Max Dehn zurückgehendes Verfahren zur Konstruktion 3-dimensionaler Mannigfaltigkeiten, indem aus der 3-dimensionalen Sphäre ein Knoten (oder eine aus mehreren Knoten bestehende Verschlingung) herausgebohrt und anders wieder eingeklebt wird. Nach dem Satz von Lickorish-Wallace erhält man jede geschlossene 3-Mannigfaltigkeit durch Dehn-Chirurgie an einer geeigneten Verschlingung.

Im Allgemeinen kann man ein und dieselbe 3-Mannigfaltigkeit auf unterschiedliche Weisen durch Dehn-Chirurgien an unterschiedlichen Verschlingungen konstruieren. Zum Beispiel liefert die "triviale"  -Chirurgie an einer beliebigen Verschlingung stets wieder die 3-Sphäre.

Dagegen kann man die Mannigfaltigkeit   nur auf eine Weise durch 0-Chirurgie an einem Knoten konstruieren, nämlich durch die 0-Chirurgie am Unknoten. Diese Tatsache wird als Eigenschaft R bezeichnet, sie wurde ursprünglich 1974 von Valentin Poénaru vermutet und 1987 von Gabai bewiesen. Sie impliziert einige von Poénaru aufgestellte Vermutungen über 3- und 4-Mannigfaltigkeiten.

Gabai's Property R Theorem

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Sei   ein Knoten und   die durch Dehn-Chirurgie am Knoten   mit Koeffizienten 0 (kurz: 0-Chirurgie) erhaltene 3-Mannigfaltigkeit.

Wenn   nicht der Unknoten ist, dann ist   nicht homöomorph zu  .

Beweisstrategie

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Gabai beweist, dass es eine straffe Blätterung des Knotenkomplements gibt, die den Randtorus in Longituden schneidet. In der durch 0-Chirurgie erhaltenen 3-Mannigfaltigkeit   beranden diese Longituden disjunkte Kreisscheiben, man erhält also eine straffe Blätterung von  . Mit dem Satz von Novikov folgt daraus die Irreduzibilität von  , insbesondere ist  .[1]

Andere Beweise stammen von Gordon-Luecke[2] und Parry[3].

Verallgemeinerung

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Sei   ein Knoten und   die durch Dehn-Chirurgie am Knoten   mit Koeffizienten   erhaltene 3-Mannigfaltigkeit.

Wenn   nicht der Unknoten   ist, dann ist   nicht orientierungserhaltend homöomorph zu  .[4]

Siehe auch

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Literatur

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Einzelnachweise

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  1. David Gabai: Foliations and the topology of 3-manifolds. III. J. Differential Geom. 26 (1987), no. 3, 479–536.
  2. Cameron Gordon, John Edwin Luecke: Knots are determined by their complements. J. Amer. Math. Soc. 2 (1989), no. 2, 371–415.
  3. Walter Parry: All types implies torsion. Proc. Amer. Math. Soc. 110 (1990), no. 4, 871–875.
  4. Peter Kronheimer, Tomasz Mrowka, Peter Ozsváth, Zoltán Szabó: Monopoles and lens space surgeries. Ann. of Math. (2) 165 (2007), no. 2, 457–546.