Straffe Blätterung

In der Mathematik, insbesondere in Differentialgeometrie und Topologie sind straffe Blätterungen (engl.: taut foliations) Blätterungen, die sich durch Minimalflächen einer geeigneten Riemannschen Metrik realisieren lassen.

Definition

Sei $M$ eine Mannigfaltigkeit. Eine Blätterung der Kodimension 1 heißt straff, wenn es zu jedem Blatt $L$ eine Abbildung $f\colon S^{1}\rightarrow M$ gibt, deren Bild $L$ transversal schneidet.

Realisierbarkeit durch Minimalflächen

Sei $M$ eine geschlossene, orientierte, differenzierbare Mannigfaltigkeit. Nach einem Satz von Rummler und Sullivan sind die folgenden Bedingungen an eine transversal orientierbare Kodimension 1-Blätterung ${\mathcal {F}}$ äquivalent:

• ${\mathcal {F}}$ ist straff
• es gibt einen zu ${\mathcal {F}}$ transversalen Fluss, der eine Volumenform invariant lässt
• es gibt eine Riemannsche Metrik auf $M$, in der die Blätter von ${\mathcal {F}}$ Flächen kleinster Fläche sind.

Blätterungen ohne Reebkomponenten

Wenn eine Blätterung straff ist, kann es keine Reeb-Komponente, d. h. keine Teilmenge diffeomorph zu einer Reeb-Blätterung, geben. Für atoroidale 3-Mannigfaltigkeiten gilt auch die Umkehrung: jede Blätterung ohne Reeb-Komponenten ist straff.

Straffe Blätterungen von 3-Mannigfaltigkeiten

Für straffe Blätterungen von 3-Mannigfaltigkeiten gibt es eine gut ausgearbeitete Strukturtheorie. Zunächst können nach dem Satz von Novikov-Zieschang auf einer geschlossenen, orientierbaren 3-Mannigfaltigkeit straffe Blätterungen nur dann existieren, wenn $\pi _{2}(M)=0$ oder $M=S^{2}\times S^{1}$, und es müssen dann notwendigerweise alle Blätter inkompressibel sein. Eine hinreichende Bedingung für die Existenz straffer Blätterungen liefert der Satz von Gabai: Sei M eine geschlossene, irreduzible 3-Mannigfaltigkeit mit $H_{2}(M)\not =0$, dann gibt es auf M eine straffe Blätterung. Man kann sogar jedes nichttriviale Element von $H_{2}(M)$ als Blatt einer straffen Blätterung realisieren. Gabais Beweis benutzt genarbte Mannigfaltigkeitshierarchien.

Einen Zugang zur Struktur straffer Blätterungen auf 3-Mannigfaltigkeiten liefert der Satz von Palmeira: Wenn es auf einer geschlossenen, orientierbaren 3-Mannigfaltigkeit $M\not =S^{2}\times S^{1}$ eine straffe Blätterung gibt, dann ist die universelle Überlagerung ${\widetilde {M}}$ diffeomorph zum $R^{3}$ und die hochgehobene Blätterung ist eine Blätterung des $\mathbb {R} ^{3}$ durch Blätter diffeomorph zum $\mathbb {R} ^{2}$. Der Raum der Blätter (der hochgehobenen Blätterung) ist in diesem Fall eine (i.a. nicht-Hausdorffsche) 1-Mannigfaltigkeit und die straffe Blätterung wird also beschrieben durch eine Wirkung von $\pi _{1}M$ auf einer 1-Mannigfaltigkeit.

L-Räume haben keine straffen Blätterungen.

Weblinks

• Manifold Atlas
• Kazez-Roberts: Taut foliations