Genarbte Mannigfaltigkeit

Genarbte Mannigfaltigkeiten (engl.: sutured manifolds) sind ein Begriff aus dem mathematischen Gebiet der 3-dimensionalen Topologie, der insbesondere bei der Konstruktion straffer Blätterungen und bei der Berechnung des Knotengeschlechts Verwendung findet.

Definition

Eine genarbte Mannigfaltigkeit ist eine kompakte orientierte 3-Mannigfaltigkeit mit einer Zerlegung des Randes

$\partial M=\partial _{\tau }M\cup \partial _{\pitchfork }M$,

wobei

• $\partial _{\pitchfork }M=A\cup T$ aus Vereinigungen von Kreiszylindern $A$ und Tori $T$ besteht und
• das Innere jedes Kreiszylinders in $A$ eine homologisch nichttriviale Kurve (die Narbe) enthält und
• alle Komponenten von $\partial _{\tau }M$ orientiert sind.

Man bezeichnet mit $R_{+}$ bzw. $R_{-}$ die Vereinigungen der Komponenten von $\partial _{\tau }M$, deren Orientierungen mit denen von $\partial M$ übereinstimmen bzw. nicht übereinstimmen.

Eine genarbte Mannigfaltigkeit heißt straff, wenn $M$ irreduzibel ist und jede Komponente von $\partial _{\tau }M$ die Thurston-Norm in ihrer Homologieklasse minimiert.

Eine genarbte Mannigfaltigkeit heißt ein genarbtes Produkt, wenn sie von der Form $M=S\times \left[0,1\right]$ mit $A=\partial S\times \left[0,1\right]$ für eine Fläche $S$ ist.

Zerlegung genarbter Mannigfaltigkeiten

Sei $M$ eine genarbte Mannigfaltigkeit und $S\subset M$ eine eigentlich eingebettete Fläche, deren Schnitt mit jeder Komponente von $\partial _{\pitchfork }M$ entweder ein eigentlich eingebettetes Intervall oder eine zu einer Narbe homologe einfache geschlossene Kurve oder eine homologisch nichttriviale geschlossene Kurve in einer Torus-Komponente ist, wobei nicht mehr als eine zueinander homologe Kurven als Schnitte mit einer Toruskomponente vorkommen dürfen. Dann ist

$M^{\prime }:=M\setminus N(S)$

(das Komplement einer Tubenumgebung von $S$) ebenfalls eine genarbte Mannigfaltigkeit mit

$\partial _{\pitchfork }M^{\prime }:=(\partial _{\pitchfork }M\cap M^{\prime })\cup N(S_{+}\cap R_{-})\cup N(S_{-}\cap R_{+})$

$R_{+}^{\prime }:=((R_{+}\cap M^{\prime })\cup S_{+})\setminus int(\partial _{\pitchfork }M^{\prime })$

$R_{-}^{\prime }:=((R_{+}\cap M^{\prime })\cup S_{-})\setminus int(\partial _{\pitchfork }M^{\prime })$,

wobei $S_{+},S_{-}$ die beiden Kopien von $S$ in $\partial M^{\prime }=\partial (M\setminus N(S))$ sind.

Eine genarbte Mannigfaltigkeit heißt zerlegbar, wenn es eine Folge

$M_{1},M_{2},\ldots ,M_{n}$

gibt mit $M_{1}=M$, so dass $M_{n}$ ein Produkt und jedes $M_{i+1}$ eine Zerlegung von $M_{i}$ ist. Die Folge $M_{1},M_{2},\ldots ,M_{n}$ heißt genarbte Mannigfaltigkeitshierarchie (engl.: sutured manifold hierarchy).

Gabai beweist die Existenz genarbter Mannigfaltigkeitshierarchien unter folgenden Voraussetzungen.

Satz: Es sei $M$ eine straffe genarbte Mannigfaltigkeit, die keine atoroidale rationale Homologiesphäre ist. Dann hat $M$ eine genarbte Mannigfaltigkeitshierarchie.

Wenn $M\setminus N(S)$ straff ist, dann ist auch $M$ straff mit Ausnahme von $M=D^{2}\times S^{1}$.

Das erlaubt es häufig, Induktionsbeweise über die Längen genarbter Hierarchien zu führen.

Scheibenzerlegung

Eine Scheibenzerlegung (engl. disk decomposition) ist eine genarbte Mannigfaltigkeitshierarchie, bei der die zerlegenden Flächen in jedem Schritt Kreisscheiben sind.

Scheibenzerlegungen können zur Bestimmung des minimalen Geschlechts der Seifertfläche $\Sigma$ eines Knotens $K\subset S^{3}$ verwandt werden. Wenn $S^{3}\setminus N(\Sigma )$ mit Narbe $\partial _{\Sigma }\cap N(K)$ eine Scheibenzerlegung besitzt, dann ist $\Sigma$ eine Seifertfläche minimalen Geschlechts.

Analog können Scheibenzerlegungen zur Berechnung der Thurston-Norm in beliebigen 3-Mannigfaltigkeiten $M$ verwandt werden. Wenn $\sigma \subset M$ eine eigentlich eingebettete Fläche ist und $M\setminus N(\Sigma )$ eine Scheibenzerlegung besitzt, dann minimiert $\Sigma$ das Geschlecht in ihrer Homologieklasse, berechnet also die Thurston-Norm.

Invarianten

Zu den Invarianten genarbter Mannigfaltigkeiten gehören genarbte Floer-Homologie, genarbte Khovanov-Homologie und genarbte topologische Quantenfeldtheorie.

Literatur

• David Gabai: Foliations and the topology of 3-manifolds. J. Differential Geom. 18 (1983), no. 3, 445–503. pdf
• Martin Scharlemann: Sutured manifolds and generalized Thurston norms. J. Differential Geom. 29 (1989), no. 3, 557–614. pdf
• Danny Calegari: Foliations and the geometry of 3-manifolds. Oxford Mathematical Monographs. Oxford University Press, Oxford, 2007, ISBN 978-0-19-857008-0 (Kapitel 5)

Weblinks

• Sutured Manifold (MathWorld)