Elementarer vorhersagbarer stochastischer Prozess

Die elementaren (vorhersagbaren) stochastischen Prozesse oder einfach (vorhersagbaren) stochastischen Prozesse, meist einfach elementare Prozesse genannt,[1] sind eine Klasse von stochastischen Prozessen in der Wahrscheinlichkeitstheorie. Sie zeichnen sich durch ihre Einfachheit aus und entsprechen einer stochastischen Verallgemeinerung der Treppenfunktionen. Das Ito-Integral lässt sich aus den elementaren Prozessen durch Vervollständigung gewinnen, ähnlich der Konstruktion des Lebesgue-Integrals aus den einfachen Funktionen. Somit gehören die elementaren Prozesse zur Grundlage der stochastischen Analysis.

Definition

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Gegeben sei

  • ein Wahrscheinlichkeitsraum  
  • die Indexmenge  
  • eine Filtration  .

Dann heißt ein reellwertiger stochastischer Prozess   auf   ein elementarer Prozess, wenn es ein   gibt, so dass Zahlen

 

existieren und für    -messbare Zufallsvariablen   existieren, so dass

 

ist. Dabei bezeichnet   die charakteristische Funktion auf der Menge  

Varianten in der Definition

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Die Definitionen unterscheiden sich in der Literatur teilweise dadurch, dass in der Definition die Beschränktheit der Zufallsvariablen   gefordert wird. Geschieht dies nicht in der Definition, so werden die elementaren Prozesse nachträglich auf die Menge der beschränkten elementaren Prozesse eingeschränkt.

Des Weiteren wird für die gesamte Konstruktion des Ito-Integrals vorausgesetzt, dass die üblichen Bedingungen gelten, diese zusätzliche Annahme hat aber keinen Einfluss auf die in diesem Artikel besprochenen Eigenschaften.

Erläuterung

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Interpretiert man   als zeitlichen Verlauf des Prozesses, so besteht der elementare Prozess in dem Zeitraum

  unverändert aus der Zufallsvariable  ,

um dann zum Zeitpunkt   zur nächsten Zufallsvariable überzugehen. Somit kann der Prozess als "stückweise konstant" angesehen werden. Dies wird noch eindeutiger, wenn man ein   auswählt und die Funktion

 

betrachtet. Sie ist eine Treppenfunktion und nimmt auf dem Intervall   den Wert   an.

Eigenschaften

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Ein elementarer Prozess ist immer ein linksstetiger Prozess. Dies folgt daraus, dass die Intervalle   rechts abgeschlossen sind. Daher ist für alle   die Treppenfunktion (vgl. oben)

 

eine linksstetige Funktion und damit auch der Prozess linksstetig.

Des Weiteren sind elementare Prozesse wegen der  -messbarkeit der   immer adaptiert.

Aufgrund der Definition der vorhersagbaren σ-Algebra folgt aus der Linksstetigkeit und Adaptiertheit eines Prozesses die Vorhersagbarkeit des Prozesses. Folglich sind elementare Prozesse stets vorhersagbar.

Außerdem bildet die Menge der elementaren Prozesse einen Vektorraum, der ein Unterraum der reellwertigen Funktionen auf   ist. Bezeichnet man mit   die Menge der beschränkten elementaren Prozesse, so lässt sich darauf eine Abbildung

 

durch

 

definieren. Dabei handelt es sich um eine Halbnorm.

Literatur

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Einzelnachweise

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  1. Meintrup, Schäffler: Stochastik. 2005, S. 413.