Ergodischer Fluss

Ergodische Flüsse sind ein Begriff aus der Theorie dynamischer Systeme. Anschaulich bedeutet Ergodizität eines Flusses, dass fast alle Punkte zu einer einzigen Flusslinie gehören.

Definition

Es sei $\mu$ ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf einem Wahrscheinlichkeitsraum $\Omega$ und $\phi \colon \Omega \times \mathbb {R} \to \Omega$ ein Fluss, der das Maß $\mu$ erhält, d. h. für alle $t\in \mathbb {R}$ und alle messbaren Mengen $A\subset \Omega$ gelte $\mu (\phi _{t}(A))=\mu (A)$, wobei $\phi _{t}(A)=\left\{\phi (x,t)\colon x\in A\right\}$.

Dann heißt $\phi$ ein ergodischer Fluss, wenn für jede $\phi$-invariante Menge $A\subset \Omega$ gilt:

$\mu (A)=0$ oder $\mu (A)=1$.

(Eine Menge $A$ heißt $\phi$-invariant, wenn $\phi _{t}(A)=A$ für alle $t\in \mathbb {R}$ gilt.)

Eine äquivalente Definition besagt, dass $\phi$ genau dann ergodisch ist, wenn die einzigen $\phi$-invarianten Funktionen $f\in L^{1}(\Omega ,\mu )$ die konstanten Funktionen sind. (Eine Funktion heißt $\phi$-invariant, wenn für alle $t\in \mathbb {R}$ für $\mu$-fast alle $x\in \Omega$ die Gleichung $f(\phi (x,t))=f(x)$ gilt.)

Eigenschaften

• Weil alle Orbits

$\left\{\phi (x,t),t\in \mathbb {R} \right\}$

(mit $x\in \Omega$) $\phi$-invariant sind, muss insbesondere genau ein Orbit Maß 1 und alle anderen Orbits Maß 0 haben. Insbesondere definiert ein ergodischer Fluss eine ergodische Wirkung der Gruppe der reellen Zahlen $\mathbb {R}$.

• Für ergodische Flüsse gilt der Ergodensatz:

$\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}f(\phi (x,t))dt=\int _{\Omega }fd\mu$

für $\mu$-fast alle $x\in \Omega$ und jede Funktion $f\in L^{1}(\Omega ,\mu )$.

Beispiele

• Der geodätische Fluss einer kompakten Riemannschen Mannigfaltigkeit negativer Schnittkrümmung ist ergodisch.
• Der horozyklische Fluss einer kompakten hyperbolischen Fläche ist ergodisch.

Literatur

• A. Katok und B. Hasselblatt: Introduction to the Modern Theory of Dynamical Systems. Cambridge University Press, Cambridge, 1995, ISBN 0-521-34187-6.