Flächensatz von Bieberbach

Zu den zahlreichen Resultaten, die der Mathematiker Ludwig Bieberbach (1886–1982) auf dem mathematischen Gebiet der Funktionentheorie beigetragen hat, gehört ein Lehrsatz, der von manchen Autoren als Flächensatz von Bieberbach bezeichnet wird. Dieser Lehrsatz liefert eine mathematische Formel für den Flächeninhalt der Bildmenge einer Kreisscheibe in der komplexen Zahlenebene unter einer schlichten holomorphen Funktion.

Formulierung des Satzes

Der bieberbachsche Flächensatz lässt sich wie folgt formulieren:

Gegeben seien in der komplexen Ebene eine den Nullpunkt $0\in \mathbb {C}$ enthaltende offene Teilmenge $U\subseteq \mathbb {C}$ und darin enthalten für eine reelle Zahl $r>0$ die um den Nullpunkt gelegene abgeschlossene Kreisscheibe ${\bar {S}}(0,r)=\{\,z\in \mathbb {C} \colon |z|\leq r\,\}$ vom Radius $r$.

Weiter gegeben sei eine schlichte holomorphe Funktion $w\colon U\to \mathbb {C}$ , welche für $z\in {\bar {S}}(0,r)$ stets die Taylorreihenentwicklung $\textstyle w(z)=\sum _{n=0}^{\infty }{c_{n}z^{n}}\;(c_{n}\in \mathbb {C} \;,\;n=0,1,2,\dotsc )$ haben soll.

Dann lässt sich der Flächeninhalt $A$ der Bildmenge $w\left({\bar {S}}(0,r)\right)$ nach der Formel

$A=\pi \cdot \sum _{n=1}^{\infty }{n\cdot |c_{n}|^{2}\cdot r^{2n}}$

berechnen.

Verwandter Flächensatz

Mit dem obigen Flächensatz von Bieberbach eng verwandt ist ein weiterer als Flächensatz (englisch area theorem) bekannter Lehrsatz, welcher Einar Hille zufolge von Thomas Hakon Grönwall im Jahre 1914 gefunden wurde. Dieser Flächensatz lässt sich folgendermaßen angeben:

Gegeben sei in der komplexen Ebene das Gebiet $G:=\mathbb {C} \setminus {\bar {S}}(0,1)$, also das Äußere des abgeschlossenen Einheitskreises.

Weiter gegeben sei eine schlichte holomorphe Funktion $w\colon G\to \mathbb {C}$ , welche für $z\in G$ stets die Darstellung $\textstyle w(z)=z+b_{0}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {b_{n}}{z^{n}}}\;(b_{n}\in \mathbb {C} \;,\;n=0,1,2,\dotsc )$ haben und deren Bildmenge $w(G)\,$ eine offene Umgebung von $\infty$ sein soll.

Dann gilt die Ungleichung

$\sum _{n=1}^{\infty }{n\cdot |b_{n}|^{2}}\leq 1$.

Literatur

• Ravi P. Agarwal, Kanishka Perera, Sandra Pinelas: An Introduction to Complex Analysis. Springer-Verlag, New York 2011, ISBN 978-1-4614-0194-0 (MR2809236). 
• Heinrich Behnke, Friedrich Sommer: Theorie der analytischen Funktionen einer komplexen Veränderlichen (= Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen. Band 77). Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York 1965. 
• Einar Hille: Analytic Function Theory. Volume II. 2. Auflage. Chelsea Publishing Company, New York, N.Y. 1973. 
• Reiner Kühnau: Der Flächensatz in einer Klasse schlichter Abbildungen. In: Revue Roumaine de Mathématiques Pures et Appliquées. Band 26, 1981, S. 1119–1121 (MR0640086). 
• Rolf Nevanlinna, Veikko Paatero: Einführung in die Funktionentheorie (= Lehrbücher und Monographien aus dem Gebiete der Exakten Wissenschaften, Mathematische Reihe. Band 30). Birkhäuser Verlag, Basel, Stuttgart 1965 (MR0201609).