Fukaya-Kategorie

In der Mathematik ist die Fukaya-Kategorie einer symplektischen Mannigfaltigkeit eine $A_{\infty }$-Kategorie, die in der (von Kontsevich vermuteten) homologischen Spiegelsymmetrie verwendet wird. Sie ist benannt nach dem japanischen Mathematiker Kenji Fukaya.

Die Objekte der Fukaya-Kategorie sind die Lagrangeschen Untermannigfaltigkeiten $L$ der symplektischen Mannigfaltigkeit $M$, die Morphismen $Hom(L_{0},L_{1})=CF^{*}(L_{0},L_{1})$ sind (im Fall transversaler Schnitte) die Schnittpunkte $L_{0}\cap L_{1}$. Man hat weitere Abbildungen

$m_{d}\colon CF^{*}(L_{d-1},L_{d})\otimes \ldots CF_{*}(L_{0},L_{1})\to CF^{*}(L_{0},L_{d})$,

die die Axiome einer $A_{\infty }$-Kategorie erfüllen. Insbesondere ist $m_{1}$ das Differential der Lagrangeschen Floer-Homologie und $m_{2}$ das Cup-Produkt. Definiert wird $m_{d}$ durch das Zählen von pseudoholomorphen Polygonen mit je $d+1$ in $L_{0},\ldots ,L_{d}$ abzubildenden Kanten.

Literatur

• K. Fukaya: Morse homotopy, $A_{\infty }$ category and Floer homologies, MSRI preprint No. 020-94 (1993)
• M. Kontsevich: Homological algebra of mirror symmetry, Proceedings of the International Congress of Mathematicians, Vol. 1, 2 (Zürich, 1994), 120–139, Birkhäuser, Basel, 1995

Weblinks

• Fukaya category (nLab)
• D. Auroux: A beginners introduction to Fukaya categories